高考数学一轮复习专练48利用空间向量研究距离问题

四十八利用空间向量研究距离问题(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)已知平面α的一个法向量为n=-1,-2,2,点A0,1,0为α内一点,A.4 B.3 C.2 D.1【解析】选D.因为AP=1,-1,1,n=-1,-2,2,所以AP则点P到平面α的距离d=AP·n2.(5分)如图是一棱长为1的正方体,则异面直线A1B与B1D1之间的距离为 ()A.3 B.33 C.12 【解析】选B.分别以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图空间直角坐标系,则D1B1=(1,1,0),设n=(x,y,z)与D1B1和则D1B1·取n=(1,1,1),又因为D1A所以异面直线D1B1和A1B间的距离为d=|D1A1·3.(5分)如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,O为正方形ADD1A1的中心,若P为平面OD1B内的一个动点,则P到直线A1B1的距离的最小值为 ()A.22B.12C.64【解析】选A.如图,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则有B(1,1,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B1(1,1,1),因为O为正方形ADD1A1的中心,得O(12,0,1A1B1=(0,1,0),OB=(12,1,1设平面OBD1的法向量为n=(x,y,z),利用OB·n=0D取x=1,解得n=(1,0,1),有A1B1·n=0,且A1B1⊄平面OD1B,则直线A1B1∥平面OD设直线A1B1到平面OD1B的距离为d,取直线上一点B1,与平面OD1B上一点B,则BB1利用空间中点面距离公式有d=BB1·4.(5分)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点P是线段AA1的中点,点Q是线段DB1上的动点(包括端点),则PQ的最小值为 ()A.12B.22C.3【解析】选B.分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示:则点P的坐标为1,设点Q的坐标为λ,则PQ=(=3λ2-3λ当且仅当λ=12时,不等式取等号即PQ的最小值为225.(5分)如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离 ()A.等于55B.和EF的长度有关C.等于23D.和点Q的位置有关【解析】选A.取B1C1的中点G,连接PG,CG,DP,则PG∥CD,所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离,与EF的长度无关,B错.又A1B1∥平面PGCD,所以点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离,即点Q到平面PEF的距离,与点Q的位置无关,D错.如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系,则C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),P(a2,0,a),所以DC=(0,a,0),DA1=(a,0,a),DP设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,则由n·DP令z=1,则x=2,y=0,所以n=(2,0,1)是平面PGCD的一个法向量.设点Q到平面PEF的距离为d,则d=DA1·nn=-2a6.(5分)(多选题)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,P是棱AB上一动点,则P到平面A1C1D的距离可能是 ()A.33 B.3 C.423 【解析】选BC.如图,以D1为坐标原点,以D1A1,D1C1,D1D的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A1(2,0,0),B(2,2,2),P(2,λ故A1C1=(2,2,0),设平面A1C1D的法向量n=(x,y,z),由n·取x=1,则n=(1,1,1)为平面A1C1D的一个法向量,A1P=(0,所以P到平面A1C1D的距离d=A1P·因为0≤λ≤2,所以d∈233,433,而22247.(5分)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1C1D的距离d是 ()A.36 B.33 C.233 【解析】选B.如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,连接BD1,BD,BD交AC于点E,则B(1,1,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),E(12,12因为DD1⊥AC,AC⊥BD,BD∩DD1=D,所以AC⊥平面D1DB,所以BD1⊥AC.同理可证BD1⊥AB1.因为AC∩AB1=A,所以BD1⊥平面AB1C,即BD1是平面AB1C因为平面AB1C∥平面A1C1D,所以点D到平面AB1C的距离即为两平面之间的距离.因为DE=12,12,所以d=|DE·BD18.(5分)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AB=2,CC1=22,E为B1C1的中点,F为C1D1的中点,则直线BD与EF之间的距离为________.

【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),E(1,2,22),F(0,1,22),所以DF=(0,1,22),EF=(1,1,0),DB=(2,2,0).因为EF=12DB,所以EF∥DB,所以直线BD与EF之间的距离d即为点D到直线EF设<DF,EF>=θ,则cosθ=DF·EF|所以sinθ=346所以所求距离为d=|DF|sinθ=3×346=34答案:349.(10分)如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=23,求点A到平面MBC的距离.【解析】如图,取CD的中点O,连接OB,OM,因为△BCD与△MCD均为正三角形,所以OB⊥CD,OM⊥CD,又平面MCD⊥平面BCD,平面MCD∩平面BCD=CD,OM⊂平面MCD,所以MO⊥平面BCD.以O为坐标原点,直线OC,BO,OM分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz.因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,所以OB=OM=3,则O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0,3),B(0,3,0),A(0,3,23),所以BC=(1,3,0),BM=(0,3,3).设平面MBC的法向量为n=(x,y,z),由n⊥BCn⊥即x+取x=3,可得平面MBC的一个法向量为n=(3,1,1).又BA=(0,0,23),所以所求距离为d=|BA·n【能力提升练】10.(5分)(多选题)如图所示,三棱锥SABC中,△ABC为等边三角形,SA⊥平面ABC,SA=3,AB=2.点D在线段SC上,且SD=13SC,点E为线段SB的中点,以线段BC的中点O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x,y轴,过点O作SA的平行线为z轴,建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是 (A.直线CE的一个方向向量为1B.点D到直线CE的距离为8C.平面ACE的一个法向量为3D.点D到平面ACE的距离为1【解析】选ABD.依题意,S(3,0,3),A(3,0,0),B(0,1,0),C0,-1,0,E(32因为SD=13SC,则D(233则CE=(32,32,因为CE=3(12,32,32),故CD=(233,23,2),AC=(3,1,0),AE=(32,12,32),故点D到直线CE的距离d=CD2设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则AC·n=0AE令y=3,则n=(3,3,2)为平面ACE的一个法向量,故C错误;而CD=(233,23,2),故点D到平面ACE的距离d1=CD·n11.(5分)如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到BD的距离为________.

【解析】如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),所以PB=(3,0,1),BD=(3,4,0).设<PB,BD>=φ,所以cosφ=BD·PB|所以sinφ=1310所以点P到BD的距离d=|PB|·sinφ=135答案:1312.(5分)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD之间的距离为______.

【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),从而EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(2,0,4),BF=(2,0,4),所以EF=MN,AM=BF,所以EF∥MN,AM∥BF,所以平面AMN∥平面EFBD.设n=(x,y,z)是平面EFBD的一个法向量,从而n·解得x=2取z=1,得n=(2,2,1).因为AB=(0,4,0),所以点A到平面EFBD的距离为|n·AB||n|=83答案:813.(10分)如图,边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直,A1C=3AC1,M为线段AC的中点.(1)求证:平面BMC1⊥平面A1BC1;【解析】(1)因为四边形A1ACC1为菱形,所以A1C⊥AC1.又因为A1C=3AC1,所以∠ACC1=60°,即△ACC1为等边三角形.因为AC1=CC1,M为线段AC的中点,所以AC⊥C1M.因为AB=BC,M为线段AC的中点,所以AC⊥BM.又因为C1M∩BM=M,所以AC⊥平面BMC1.又因为AC∥A1C1,所以A1C1⊥平面BMC1.又A1C1⊂平面A1BC1,所以平面BMC1⊥平面A1BC1.13.(10分)如图,边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直,A1C=3AC1,M为线段AC的中点.(2)求点C到平面A1BC1的距离.【解析】(2)因为平面A1ACC1⊥平面ABC,交线是AC,且C1M⊥AC,所以C1M⊥平面ABC.以M为原点,MB,MC,MC1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示:C(0,1,0),B(3,0,0),C1(0,0,3),A1(0,2,3),则A1C1=(0,2,0),BC1=(3,0,3),设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则n·令x=1,则n=(1,0,1),所以点C到平面A1BC1的距离d=|CC1·n14.(10分)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,M,N分别是BB1,B1C1的中点.(1)求直线MN到平面ACD1的距离;【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则知点A(1,0,0),D1(0,0,1),C(0,1,0),M(1,1,12),N(1所以AD1=(1,0,1),MN=(12所以MN=12因为直线MN与AD1不重合,所以MN∥AD1.又因为MN⊄平面ACD1,AD1⊂平面ACD1,所以MN∥平面ACD1.故直线MN到平面ACD1的距离等于点M到平面ACD1的距离.AC=(1,1,0),AD1=(设平面ACD1的一个法向量为m=(x,y,z),所以m·AD1令x=1,得y=z=1,所以m=(1,1,1).因为AM=0,所以|AM|=1+14=52.而|m所以点M到平面ACD1的距离为|m·AM||m|=1+123=14.(10分)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,M,N分别是BB1,B1C1的中点.(2)若G是A1B1的中点,求平面MNG与平面ACD1的距离.【解析】(2)连接A1C1,因为G,N分别为A1B1,B1C1的中点,所以GN∥A1C1.又因为A1C1∥AC,所以GN∥AC.因为GN⊄平面ACD1,AC⊂平面ACD1,所以GN∥平面ACD1.同理可得MN∥平面ACD1.因为MN∩GN=N,MN,GN⊂平面MNG,所以平面MNG∥平面ACD1,所以平面MNG与平面ACD1的距离即为直线MN到平面ACD1的距离,由(1)知两平面间的距离为32【加练备选】如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长均为4,N是CC1的中点.(1)求点N到直线AB的距离;【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(23,2,0),C(0,4,0),C1(0,4,4),因为N是CC1的中点,所以N(0,4,2).(1)AN=(0,4,2),AB=(23,2,0),则|AN|=25,|AB|=4.设点N到直线AB的距离为d1,则d1=|AN|2-如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长均为4,N是CC1的中点.(2)求点C1到平面ABN的距离.【解析】(2)设平面ABN的法向量为n=(x,y,z),则由n⊥AB,n⊥AN,得n·令z=2,则y=1,x=33即n=33易知C1N=(设点C1到平面ABN的距离为d2,则d2=|C1N·n【素养创新练】15.(5分)如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为3,点H在棱AA1上,且HA1=1,在侧面BCC1B1内作边长为1的正方形EFGC1,P是侧面BCC1B1内一动点,且点P到平面CDD1C1的距离等于线段PF