湖南省郴州市部分学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

高二数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集，，所以，又因为，.故选：D.2.已知复数（），且，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为，，所以，解得，因为，所以.故选：D,3.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为,又因为,所以,所以.故选：A.4.已知定义在上的函数满足，且当时，，则（）A.2 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用题意结合奇函数定义判断是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在上的函数满足，所以是奇函数，且，故，解得，故当时，，由奇函数性质得，而，故，故A正确.故选：A5.在正方体中，二面角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接，可得是二面角的平面角，求解即可.【详解】取的中点，连接，由正方体，可得，所以，所以是二面角的平面角，设正方体的棱长为2，可得，所以，在中，,所以二面角的正切值为.故答案为：D.6.已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设出动点和动点的坐标，找到动点和动点坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设，，由中点坐标公式得，所以，故，因为A在圆上运动，所以，化简得，故B正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为，所以，因为侧棱垂直于底面，所以面，如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，因为分别是所在棱中点，所以所以，，故，即得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时，所以，，故，所以不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时，故，，即，所以不垂直，则下列3个直观图中满足的有个，故B正确.故选：B8.已知过点的直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点，则的最小值为（）A.12 B.8 C.6 D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意可知直线的斜率存在设为，分别解出两点的坐标，表示出的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线的斜率存在．设直线的斜率为，直线的方程为，则，所以，当且仅当，即时，取等号.所以的最小值为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的图象关于点中心对称D.的值域为【答案】ABD【解析】【分析】求得最小正周期判断A；求得对称轴判断B；求得对称中心判断C；求得值域判断D.【详解】因为，所以的最小正周期为，故A正确；由，可得，所以图象的对称轴为，当时，图象的关于对称，故B正确；由，可得，所以图象的对称中心为，当时，图象的关于点对称，故C不正确；由，故的值域为，故D正确.故选：ABD.10.若数据，，和数据，，的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据，，，，，与数据，，的平均数相等B.数据，，，，，与数据，，的方差相等C.数据，，，，，与数据，，的极差相等D.数据，，，，，与数据，，的中位数相等【答案】ABC【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据的平均数为，数据的平均数也为.那么数据的平均数为，所以数据与数据的平均数相等，A选项正确.设数据的方差为，数据的方差也为.对于数据，其方差计算为,所以数据与数据的方差相等，B选项正确.设数据的极差为，数据的极差也为.对于数据，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是，所以数据与数据的极差相等，C选项正确.设数据按从小到大排列为，中位数为.设数据按从小到大排列为，中位数为.对于数据按从小到大排列后，中位数不一定是，所以数据与数据的中位数不一定相等，D选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱底面是边长为6的菱形，平面，，，点P满足，其中，，，则（）A.当P为底面的中心时，B.当时，长度的最小值为C.当时，长度的最大值为6D.当时，为定值【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A，当为底面的中心时，由，则故，故A错误；对于B，当时，当且仅当，取最小值为，故B正确;对于C，当时，，则点在及内部，而是以为球心，以为半径的球面被平面所截图形在四棱柱及内的部分，当时，，当时，，可得最大值为，故C正确；对于D，，，而，所以，则为定值，故D正确.故答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，.若，则__________.【答案】【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算结合平面向量垂直的性质建立方程，求解参数即可.【详解】因为向量，，所以，因为，所以，解得.故答案为：13.已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.【答案】【解析】【分析】利用向量的线性运算求得，根据向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值.【详解】，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：14.已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】令，可得或，函数有三个零点，则需方程有两个解，则y=gx与的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令，可得，所以，所以或，由，又，可得，解得或，方程无解，方程有一解，故有一解，要使函数有三个零点，则有两解，即y=gx与的图象有两个交点，作出函数y=gx由图象可得，解得.所以的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得，代入求解可得；（2）由根据角的范围得，由正弦定理结合二倍角公式可得，从而得，再利用余弦定理求边，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为，所以由正弦定理得，，又代入上式得，所以，由，则为锐角，且，所以.【小问2详解】由（1）知，，因为，，所以，则，，故，或（舍去）所以，又，，由正弦定理得，则，则，由余弦定理得，则，化简得，解得，所以.故的面积为.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率；第2种情况的概率；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为.17.如图，在几何体中，平面，，，，，分别为棱，的中点.（1）证明：平面．（2）证明：.（3）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证平面，得到，结合（1）中的结论，可得.（3）问题转化为直线与平面所成角的正弦值.设，表示的长，利用体积法求到平面的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接.在中，，分别为棱，的中点，所以,，又平面，平面.所以平面.【小问2详解】因为平面，平面，所以，又,平面，且，所以平面.因为平面，所以.又因为，所以.【小问3详解】因为，所以直线与平面所成角与直线与平面所成角相等，设为.不妨设，则.设到平面的距离为.则.又.在中，，，所以.所以.所以.故直线与平面所成角的正弦为.18.设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”．（1）若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；（2）若集合是“等差集”，求m的值；（3）已知正整数，证明：不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用，即逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合，，存在3个不同的元素a，b，，使得，则或或.【小问2详解】因为集合是“等差集”，所以或或,计算可得或或或，又因为正整数,所以.【小问3详解】假设是“等差集”，则存在,成立，化简可得,因为,所以,所以x=1与集合的互异性矛盾，所以不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线．（1）已知直线：，直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由．（2）在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上．若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标．（3）已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，利用定积直线的定义可得或，进而，计算即可；（3）设直线，直线，其中，计算得，利用基本不等式可求的取值范围.【小问