历届中考数学基础知识手册

历届中考数学基础知识手册

单选题（经典例题高频考点一名师出品必属精品）

1、如图，乙1、乙2、43中是△/比外角的是（）

A.乙1、42B.乙2、乙3c,乙1、乙3D.41、乙2、43

答案：C

解析：

根据三角形外角的定义进行分析即可得到答案.

解：属于△力比:外角的有乙1、乙3共2个.故选C.

小提示：

本题考查三角形外角的定义，解题的关键是掌握三角形的定义.

2、如图，在448。中，AC=8,QE是4ABC的中位线，则DE的长度是（）

A.4B.5C.6D.3

答案:A

解析：

由DE是4A8C的中位线，根据三角形中位线的性质，求得DE的长度

•••DE是2L4BC的中位线，AC=8,

「•DE/C=*=4,

故选：A.

小提示：

本题考查了三角形中位线的性质，题目难度不大，注意数形结合思想的应用.

3、下列计算正确的是（）

A.3a+2b=5abB.（-3a2b2）2=-6a4b2

C.V27+V5=4V3D.（a—b）2=a2—b2

答案：C

解析：

分别根据合并同类项，积的乘方，二次根式（无理数）的加法，及完全平方公式，对各个选项逐一计算，作出

判断即可.

A.3a与2〃不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B.应为（一3a2b2）2=9a14故原选项错误；

C.V27+V3=3V34-V3=4V3,故原选项正确；

D.应为（a-b）2=a?-2ab+产,故原选项错误.

故选C

小提示：

本题主要考查合并同类项，积的乘方，二次根式（无理数）的加法，及完全平方公式的知识，扎实掌握合并同

类项，积的乘方，二次根式（无理数）的加法，及完全平方公式，是解答本题的关键.

4、估计2次+3的值应在（）

2

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

答案：D

解析：

首先确定日的值，进而可得答案

解：-.V5«2.2

2>/5«4.4

A2A/5+3«7.4

.•.7<2V5+3<8,

故选：〃.

小提示：

此题主要考查实数的估算，解题的关键是熟知实数的大小及性质.

5、约分：-3%产嬴=()

A•一奈•一歌•一5D・4

答案：A

解析：

先进行乘法运算，然后约去分子分母的公因式即可得到答案.

原式二箸

~^y'

故选A.

3

小提示:

本题主要考查分式的乘法运算法则，掌握约分，是解题的关键.

6、下列各式因式分解正确的是()

A.a2+4ab+4b2=(a+4b)2B.2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2

C.3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b)D.a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)

答案：D

解析：

根据因式分解的定义：把一个多项式写成几个因式的积的形式进行判断即可.

a2+4ab+4b2=(a+2b)2,故选项A不正确；

2a2-4ab+9bJ(2a-3b『不是因式分解，B不正确；

3a2-12b2=3(a+2b)(a-2b),故选项C不正确；

a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)是因式分解，D正确，

故选D.

小提示：

本题考查的是因式分解的概念，把一个多项式写成几个因式的积的形式叫做因式分解，在判断一个变形是否是

因式分解时，看是否是积的形式即可.

7、对于函数y=-2%+2,下列结论正确的是()

A.它的图象必经过点(-1,O)B.它的图象经过第二、三、四象限

C.y的值随x值的增大而增大D.当x>1时，y<0

答案：D

解析：

4

代入x=-l求出y值，进而可得出点（-1,0）不在一次函数y=-2x+2的图象上，结论A不正确；由在二

-2<0,b=2>0,利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y=-2x+2的图象经过第一、二、四象限,

结论B不正确；由4=-2<0,利用一次函数的性质可得出y的值随丫的增大而减小，即结论C不正确；代入

求出y值，结合y的值随犷的增大而减小，可得出当时，y<0,即结论D正确.

解：解：A、当尸-1时，y=-2x（-1）+2=4,

」•函数P=-2x+2的图象经过点（-1,4）,选项A不符合题意；

B、\'k=-2<0,6=2>0,

・.・函数/=-2*+2的图象经过第一、二、四象限，选项B不符合题意；

C、vA=-2<0,

.•J的值随x值的增大而减小，选项C不符合题意；

D、当y<0时，-2x+2<0,解得：才>1,

.,.当x>l时，y<0,选项D符合题意.

故选：D.

小提示：

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项

的正误是解题的关键.

8、如图，。。中，直径A8为8cm,弦CD经过。力的中点P,则PC?+PD?的最小值为（）

A.12cm2B.24cm2c.36cm2D..40cm

5

答案：B

解析：

连结49,8C,根据。。中，直径力8为8cm,得出出二加=4cm,根据弦CO经过。力的中点P,得出胫=8=2cm,

根据乙力力J乙例(DAP=Z_BCP,可证△力以*△孙得出勺=誓，得出PCBP=2x6=12,

PCBP

(尸C勿)00,即PC2+pD2>2PCPD=2x12=24.

解:连结AD,BC、

「O。中，直径48为8cm,

0A=0及4cm、

•・•弦CD经过。A的中点P,

:OP=2QV(}T

•:乙AD七jCBP、LDAP=^LBCP,

:.△AD2RCBP、

,PA_DP

"'~PC-BP'

：.PC-DP=PA-BP=2x6=12,

•••(PC-Pl^2>0,即22PCPD=2x12=24.

故选B.

6

小提示:

本题考查圆的基本知识，同弧所对圆周角性质，三角形相似判定与性质，非负数应用，掌握圆的基本知识，同

弧所对圆周角性质，三角形相似判定与性质，非负数应用是解题关键.

9、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

答案:A

解析：

利用轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可.

A选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

B选项既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；

C选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

故选：A.

小提示：

本题考查了轴对称图形、中心对称图形的定义，即一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合,

那么这个图形叫做轴对称图形；一个图形绕着中心点旋转180。后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图

形.

10、下列三个数中，能组成一组勾股数的是（）

A.V3,V4,V5B.32,42.52C..12,15,9

345

答案：D

7

解析：

勾股数的定义：满足/+/二°2的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解.

-22_2

解：A、(V3)+(V4)=70(V5)=5,故此选项错误；

B、(32)2+(42)2=337*(52)2=625,故此选项错误;

C、(丁+(3="和故此选项错误；

D、92+122=225=152,故此选项正确；

故选D.

小提示：

本题考查了勾股数的定义，注意：作为勾股数的三个数必须是正整数.

填空题(经典例题高频考点-名师出品必属精品)

11、如图，抛物线y=-*+》+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,点D在抛物线上，且

CD〃AB.AD与y轴相交于点E,过点E的直线PQ平行于x轴，与抛物线相交于P,Q两点，则线段PQ的长

为一.

答案：2V5

解析：

利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A,B,C,D的坐标，由点A,D的坐标，利用待定系数法可求出

8

直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特

征可得出点P.Q的坐标，进而可求出线段PQ的长.

解：当y=0时，-色+'+2=0,

解得：Xin-2,X2=4,

•・•点A的坐标为(-2,0)；

当x=0时，y=・*+声+2=2,

•••点C的坐标为(0.2)；

当y=2时，-*+1+2=2,

解得：Xt=0,X2=2,

•••点D的坐标为(2,2).

设直线AD的解析式为y=kx+b(k#0),

将A(-2,0),D(2,2)代入y=kx+b,得：

心算/I解得:Cl'

・・・直线AD的解析式为y=，+1.

当x=0时，y=1x+l=l,

点E的坐标为(0,1).

当y=l时，-*+刎2=1,

解得』二1・遥，X2=1+V5,

•••点P的坐标为(1・Z，1),点Q的坐标为(1+遥，1),

9

PQ=1+V5-(1-V5)=2V5.

所以答案是：2V5.

小提示：

本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数

图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点P.Q的坐标是解题的关键.

12、因式分解.

答案：(*+l)(x-1)(/+1).

解析：

两次运用平方差公式进行因式分解即可得到答案.

解：X4-1=(工2-1)(7+1)=@+i)Q_i)(x2+D

所以答案是：(x+l)(x-1)(/+1).

小提示：

本题考查了运用平方差公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

13、将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若乙400=108。，则乙C08=.

oD

10

解析：

由乙AOB二4COD二90°,4AOC=4BOD,进而乙AOC二乙BOD=108°-90°=18°,由此能求出乙BOC.

解：•••4AOB二乙COD二90。，

•••ZAOC=ZBOD,又/AOD=108°,

•••ZAOC=^BOD=108°-90°=18°,

•••^BOC=90°-18°=72°.

所以答案是：72°.

小提示：

本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键.

14、点P关于x轴对称点是(。,2),点尸关于y轴对称点是(一3")，贝心+匕=.

答案：1

解析：

根据关于坐标轴的对称点的坐标特征，求出a,b的值，即可求解.

・・,点户关于x轴对称点是(a,2),

••P(a.-2),

•••点P关于y轴对称点是(-3,b),

•*-b--2,a—3,

「♦a+b=1,

故答案是：1.

11

小提示:

本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握“关于X轴对称的两点，横坐标相等，纵坐标互为相

反数；关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等”是解题的关键.

15、如果抛物线(0・1)/有最低点，那么勿的取值范围为一.

答案：卬>1

解析：

直接利用二次函数的性质得出/〃-1的取值范围进而得出答案.

解：,•,抛物线尸(加-1)/有最低点，

'''m—1>0,

解得.m>l.

故答案为勿>1.

小提示：

本题考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键.

16、a的相反数是2022,则。=.

答案：-2022

解析：

相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.据此判断即可.

解..解：a的相反数是2022,故&是-2022.

所以答案是：-2022

小提示：

12

本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键.

17、如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端8向上翘起，

石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm,已知杠杆的动力臂4c与阻力臂

8C之比为6:1,要使这块石头滚动，至少要将杠杆的力端向下压_____cm.

答案：60

解析：

首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点力向下压的长度.

解：如图；必翻都与水平线垂直，即AM//BN-,

易知：△力©"△80V;

.AC_AM

""BC~BN'

•••力。与比之比为6:1,

•潦=黑=6,即处6微；

oCD/V

当8性10的时，川460的；

故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点力向下压60c勿.

所以答案是：60.

小提示：

13

本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键.

18、添括号：

(1)2x2—3x+1=2x24-()；(2)a2—a4-1=a2—()；

(3)a—2b+6c—4=Q—()=a+2()；

(4)(x+y-z+3)(x-y+z-3)=[x+()][x-()]；

(5)(m4-n)2—6m—6n4-9=(m+n)2—6()+9.

答案：一3%+1a-12b—6c+4—b+3c—2y-z+3y—z+3m+n

解析：

根据添括号法则逐一求解即可.

解:⑴2x2-3x+1=2x2+(-3x+1)；

(2)a2-a+1=a2-(a-1)；

(3)a—2b+6c—4=a—(2b—6c+4)=a+2(—b4-3c—2)；

(4)(x+y-z+3)(x—y+z-3)=[x+(y-z+3)][x-(y—z4-3)]；

(5)(m+n)2-67n-6n4-9=(m+n)2—6(m+n)4-9.

所以答案是：(1)—3%+1；(2)a—1；(3)2b—6c+4,—b4-3c—2；(4)y—z+3,y—z+3；(5)

m+n.

小提示：

本题主要考查了添括号法则，熟练掌握添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括

号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号是解题的关键.

19、社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、

白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程.整

14

理数据后，制作了"摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数

比较多的是（填“黑球”或“白球”）.

L。评出黑球的频率

0.8

0.6

0.4

0.2

O50100150200250300350400450500摸球的总次数

答案：白球

解析：

利用频率估计概率的知识，确定摸出黑球的概率，由此得到答案.

解：由图可知：摸出黑球的频率是02

根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为02

••・可以推断盒子里个数比较多的是白球，

所以答案是：白球.

小提示：

此题考查利用频率估计概率，正确理解图象的意义是解题的关键.

20、为了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查.整理样本数据，得到下表：

根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是-

视力4.7以下4.74.84.94.9以上

人数102988093127

答案：7200名

解析：

15

求出不低于4.8的人数所占的百分比再乘12000即可求出结论.

解:12000x吧翳4二7200名

所以答案是：7200名.

小提示：

此题考查的是统计表，求出不低于4.8的人数所占的百分比是解决此题的关键.

解答题（经典例题高频考点一名师出品必属精品）

21、已知：在A4BC中，点E在直线AC上，点在同一条直线上，且84=BD,^BAE=ZD.

【问题初探】⑴如图1,若BE平分4ABe求证：UEB+乙BCE=180°.

图1

请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程.

要证乙4E3+NBCE=180。。ABEC=ABCE〈ZDBE=BC〈ZD^BAE=SBDC已知条

【变式再探】⑵如图2,若BE平分44BC的外角乙4BR交。4的延长线于点瓦问：乙4EB和NBCE的数量关

系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由.

图2

16

【拓展运用】(3)如图3,在(2)的条件下.若481BC.CD=1,求EC的长度.

图3D

答案：(1)见解析(2)4BEC=；理由见解析(3)1+V2

解析：

(1)根据ASA证明Z1A8EW40BC得BE二BC,得/BEC=ZBCE,进一步可得结论；

(2)根据ASA证明/ABE=4D8C得BE=BC,得NABE=乙BCE；

(3)连结4D,分别求出乙AEB二乙ADE二4ACB=22.5。,再证明AE二CD,4ADC二90。，由勾股定理可得AC,由

EC=EA+AC可得结论.

解：(1)证明.」BE平分匕ABC,

•••/.ABE=Z.DBC,

在448E和4D8C中,

Z-BAE=z£>

BA=BD

乙ABE=LDBC

/.AABE三ADBC(ASA\

BE=BC,

17

•••LBEC=乙BCE,

•••乙AEB+乙BCE=Z.AEB+乙BEC=180°；

(2)NBEC=乙BCE.

理由：vBE平分乙4BR

•••Z-ABE=Z-EBF=Z.CBD,

在ZL4BE和/OBC中，

Z.BAE=Z.D

BA=BD

LABE=乙DBC

/.AABE=ADBC(ASA),

:.BE=BC,

:.乙BEC=乙BCE.

(3)连结力D,

-AB1BC,

•••Z.ABE=乙EBF=乙CBD=45°,

vAABE^ADBC,

•••Z.BAE=48DC,且乙E=zE,

...Z.ABE=Z.ACD=45°,

由(2)得8E=BC,

18

，乙BCD=乙BCE=/.BEC=22.5°,

vAB=BD,

:./.BAD=LBDA=22.5°,

二乙BEC=Z.BDA,

AE=AD,^.DAC=45°=Z.ACD,

•••CD=1,

AD=1=AE,AC=Vl2+l2=\[2,

FC=1+V2.

小提示：

此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接AD是解答此题的关键.

22、印卷时，工人不小心把一道化简题前面一个数字遮住了，结果变成：・/丫一,孙2-2(一：孙+：/)一

2]+5xy2.

(力某同学辨认后把“■”猜成10,请你帮他算算化简后该式是多少；

(2)老师说：“你猜错了，我看到该题目遮挡部分是单项式一等的系数和次数之积遮挡部分是多少？

(3)若化简结果是一个常数，请算算遮挡部分又该是多少？

答案：(1)13/%(2)遮挡部分应是-4；(3)遮挡部分为-3.

解析：

(1)把换成10.原式去括号合并即可得到结果；

(2)求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可；

(3)设遮挡部分为d原式去括号合并后，根据化筒结果为常数，确定出a的值即可.

解：(1)根据题意得：

19

原式二10/六(5xj/+9y-3/片9切+5加

(30

2\41.9

=10Vy-bxy--xy+3xy+-xy+5xy

=13A；

(2)是单项式-喑的系数和次数之积为：・》3二-4.

答:遮挡部分应是-4；

(3)设遮挡部分为兄

原式二ax》-(5xy+^xy-3xy-^xy)+5^/

°少4242

=cixy-5xy--xy+3xy+-xy+bxy

=(a+3)//,

因为结果为常数，即a+3=0,

解得：a=-3,

所以遮挡部分为-3.

小提示：

本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

23、分解因式：(/-2x)2-12(/-2x)+36.

答案：(/-2x-6)2

解析：

仔细观察把/-2%看做一个整体，可以发现正好是一个完全平方式，直接利用公式法分解因式得出答案.

解:原式=(*-2x-6)

所以答案是；(/・2x・6)

20

小提示:

本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够准确观察出原式是一个完全平方式.

24、某工厂计划在规定时间内生产24000个零件.由于销售商突然急需供货，工厂实际工作效率比原计划提高

了50%,并提前5天完成这批零件的生产任务.求该工厂原计划每天加工这种零件多少个？

答案：该工厂原计划每天加工这种零件1600个.

解析：

设该工厂原计划每天加工这种零件x个，则实际每天加工这种零件（1+50%）A■个，根据工作时间二工作总量+

工作效率结合实际比原计划少用5天完成这批零件的生产任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即

可得出结论.

解：设该工厂原计划每天加工这种零件x个，则实际每天加工这种零件（1+50%）x个，

依题意，得：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.等一

「

---2-4-0--0-0---=5

（l+50%）x

解得.x=1600,

经检验，*=1600是原方程的解，且符合题意.

答：该工厂原计划每天加工这种零件1600个.

小提示：

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

25、已知抛物线c尸-/-2x+3和直线上尸$+4将抛物线。在x轴上方的部分沿x轴翻折180。，其余部

分保持不变，翻折后的图象与彳轴下方的部分组成一个“M”型的新图象（即新函数加：尸-|/+2x-3|的图象）。

⑴当直线/与这个新图象有且只有一个公共点时，出；

⑵当直线/与这个新图象有且只有三个公共点时，求"的值；

21

⑶当直线/与这个新图象有且只有两个公共点时，求d的取值范围；

⑷当直线/与这个新图象有四个公共点时，直接写出"的取值范围.

答案：⑴启:；⑵启一：或"二一荒⑶一土衣，或衣―而•⑷一登<“<一擀。

解析：

(1)令-2x+3二权+d求解即可；

(2)设抛物线c尸-#-2彳+3与x轴交于点力(-3,0),点跃L0),则根据方程有两个相等的实根求出P的坐

标，然后求解即可；

(3)(4)根据(2)求出的P点坐标进行数形结合画图找出d的取值范围即可.

解：(1)当直线/经过点力(-3,0)时，止!

(2)设抛物线仁尸-V-2x+3与X轴交于点A(-3,0),点用Q),

直线上尸1+d与抛物线c尸/+2x-3(-3〈xvl)相切于点尸，则点尸的横坐标恰好是方程%+占/+2x-3,

即2/+3x-2d-6=0(-3<x<l)的两个相等实数根，解△=9+8(2"6)=0得d=-箓

1b

•••点夕的坐标为(一:，一月.

①当直线/经过点&L0)时，直线/与这个新图象有且只有三个公共点，解得由

②当直线/经过点勺-：，-累)时，直线，与这个新图象有且只有三个公共点，解得

,57

F；

22

・•・综合①、②得"二t或占一届

⑶①由平移直线/可得：直线/从经过点4-3,0）开始向下平移到直线/经过点片-：，一书的过程中，直线/

与这个新图象有且只有两个公共点，可得一9衣,

②直线,从经过点尸一黑）继续向下平移的过程中，直线/与这个新图象有且只有两个公共点，可得

416

.57

衣一直；

.••综合①、②得：-;＜衣弓或衣—今；

⑷如图：当直线/经过点耳L0）时，直线，与这个新图象有且只有三个公共点，解得六-1

当直线/继续向下平移的过程中经过点夕弓，直线/与这个新图象有且只有三个公共点，可得

23

•••要使直线/与这个新图象有四个公共点则d的取值范围是一孑<衣

loN

小提示：

本题考查的是二次函数综合运用，关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系.

26、如图，ZL4BC内接于。0,LCBG=CD为直径，0C与48相交于点E,过点E作E产1BC,垂足为£

延长CD交G8的延长线于点P,连接BD.

(1)求证：PG与。。相切：

(2)若a=I，求器的值；

(3)在(2)的条件下，若。。的半径为4,PD=OD,求EC的长.

答案：(1)见解析；⑵：；(3)6->/13.

解析：

(1)要证如与。。相切只需证明乙如6=90°,由乙/C与乙版是同弧所对圆周角且乙说乙如。可得

人CBG二2DBC、结合乙弧％乙胸耳。。即可得证；

24

(2)求急需将德与/或％相等线段放入两三角形中，通过相似求解可得，作连接的，证

△BEF-△血"得黑=霹，由4月地、力二%知第=簿结合第=飘可得；

(3)Rt△戚中求得BC=46、/〃侬30°,在Rt△"T中设小x,知除2x、FC二圾x、BF=4A/3-V3x,继

而在Rt△麻厂中利用勾股定理求出x的，从而得出答案.

(1)证明：如图，连接。&

:OB=OD,

•••Z.BDC=Z.DBO,

'：Z.BAC=乙GBC、乙BDC=Z.BAC,

:.乙GBC=Z.BDC,

••CD是O。的直径，

二.乙版=90°,

Z.DBO+LOBC=90°,

:.Z.GBC+Z.OBC=90。，

:.乙GBO=90°,

・•・PG与。。相切；

.；0C：0A,OM1AC,

25

^AOM=^.COM=^AOC,

vAC=AC,

•••Z.ABC=^Z-AOCt

」.LEBF-LAOM,

又；4EFB=Z.OMA=90°,

ABEF-AOAM,

EFBE

:，一=一,

AMOA'

•：AM=^AC,OA=OC,

EFBE

J.-：--=一

\ACOC'

0EF5

又.J不，，

(3)W：PD=OD,"30=90。，

BD=OD=4,

在Rt/DBC中，BC=>JCD2-BD2=V82-42=4疯

又；OD=OB,

・••/DOB是等边三角形,

26

乙DOB=60°,

-Z.DOB=£OBC+Z.OCB,OB=OC,

:.£OCB=：乙DOB=30°,

EC=2ER由勾股定理FC=y/EC2-EF2=y/4EF2-EF2=yf3EF

，设EF=x,贝IjEC=2x、FC=V3x,

•••BF=4^3-V3x,

•••丽，且OC=4,

•••BE=5,

在RtjBE「中，BE2=EF2+BF2,

25=/+(4百一岳)2

整理得4/-24x+23=0

△=242-16X23=208>0

解得：方誓二丝咨

；手>4,舍去，

：.x=9,

2

:•EC=6-氐.

小提示：

本题主要考查圆的综合问题，涉及圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质,

一元二次方程的解法等知识,熟练掌握和运用相关的性质与定理进行解题是关键.

27、先化简，再求值：[(5m-7i)2-(5m+?i)(5m-7i)]+(27i),其m=n=2020

27

答案：—5m+7i；2021.

解析：

先进行整式的化简求值运算，再将m、n数值代入求值即可.

[(5m—n)2—(5m+n)(5m—ri)]+(2n)

=(25m2—IQmn+n2-25m2+n2)+(2n)

=(—10mn+2n2)+(2n)

=-57n+n

当血=一:n=2020时，

原式=+2020

=2021

小提示：

本题考查了整式的混合运算和代数式求值，解答关键是按照相关法则进行计算.

28、已知：在zL48c中，点E在直线AC上，点8,。,E在同一条直线上，且BA=BD,LBAE=zD.

【问题初探】(1)如图1,若BE平分/ABC,求证：乙AEB4-乙BCE=180°.

图1

请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程.

要证乙4E3+N5CE=180。。ABEC=ABCE〈ZDBE=BC^BAE=SBDC已知条

28

【变式再探】⑵如图2,若8E平分zL48c的外角乙4BF,交CA的延长线于点匕问：乙4EB和4的数量关

系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由.

【拓展运用】(3)如图3,在(2)的条件下.若481BC,CD=1,求EC的长度.

答案：(1)见解析(2)=；理由见解析(3)1+V2

解析：

(1)根据ASA证明ZL4BE会4DBC得BE=BC,得NBEC=乙BCE,进一步可得结论；

(2)根据ASA证明Z1ABE=4D8C得BE=BC,得/ABE=乙BCE；

(3)连结4。分别求出乙AEB二乙ADE二乙ACB=22.5。,再证明AE二CD,4ADC二90。，由勾股定理可得AC,由

EOEA+AC可得结论.

解：(1)证明；BE平分N4BC,

BC

图1

29

LABE=乙DEC,

在44BE和dDBC中，

Z.BAE=LD

BA=BD

Z.ABE-Z.DBC

AABE^ADBC(ASA),

BE=BC,

:.乙BEC=乙BCE,

:.乙AEB4-乙BCE=Z.AEB+乙BEC=180°；

(2"BEC=乙BCE.

理由：vBE平分4ABF,

•••Z.ABE=乙EBF=Z.CBD,

在44BE和dDBC中，