高三年级上册期中数学真题分类汇编（新高考）专题17统计与概率（十二大题型）

专题17统计与概率

!题型oi।统计图表

1.（2022秋•河北唐山•高三开滦第二中学校考期中）2022年，我国彩电、智能、计算机等产量继

续排名全球第一，这标志着我国消费电子产业已经实现从“跟随”到“引领”的转变，开启了高质量发

展的新时代.如图是2022年3月至12月我国彩电月度产量及增长情况统计图（单位：万台，%）,

则关于这10个月的统计数据，下列说法正确的是（）（注：同比，即和去年同期相比）

A.这10个月我国彩电月度产量的中位数为1726万台

B.这10个月我国彩电月度平均产量不超过1600万台

C.自2022年9月起，各月我国彩电月度产量均同比下降

D.这10个月我国彩电月度产量同比增长率的极差不超过

【答案】D

【分析】根据条形图结合中位数，平均数和极差定义分别判断各个选项即可.

【详解】将这10个月我国彩电月度产量（单位：万台）按从小到大排列依次为1513,1540,1553,

1650,1727,1783,1802,1846,1926,2097,

中位数为第5个数与第6个数的平均数，即1727：1783=]755,A错误；

2

这10个月我国彩电月度平均产量

-1513+1540+1553+1650+1727+1783+1802+1846+1926+2097…一

x=-------------------------------------------------------------------------------------=1743.7万台，B错误；

自2022年9月起，我国彩电月度产量虽然逐月减少，但同比是与去年同月相比，

由同比增长率可知，9月、10月、11月的同比增长率均为正数，故月度产量同比有所增长，C错误;

由题图可知，这10个月产量的同比增长率的最大值与最小值分别为25.6%与-8.3%,

故其极差为25.6%+8.3%=33.9%<0.4,故D正确.

故选:D.

2.（江苏省苏州市太仓市明德高级中学20222023学年高三上学期期中）下图反映2017年到2022

年6月我国国有企业营业总收入及增速统计情况

根据图中的信息，下列说法正确的是（）

A.20172022年我国国有企业营业总收入逐年增加

B.20172022年我国国有企业营业总收入逐年下降

C.20172021年我国国有企业营业总收入增速最快的是2021年

D.20172021年我国国有企业营业总收入的平均数大于630000亿元

【答案】C

【分析】根据题意结合统计相关知识逐项判断即可.

【详解】因为2022下半年企业营业总收入未知，

所以无法判断2022年我国国有企业营业总收入是否增长，故A、B错误；

由图可知20172021年我国国有企业营'业总收入增速依次为13.69%,10.0%,6.9%,2.1%,18.5%,

所以增速最快的是2021年，故C正确：

20172021年我国国有企业营业总收入的平均数为

1（522014.9+587500.7+625520.5+632867.7+755543.6）=624689.48亿元，

因为624689.48<630000,故D错误.

故选：C.

3.（2022秋•河北保定•高三河北省唐县第一中学校联考期中）（多选）已知某地区中小学生人数如图

①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法

抽取了10%的学生进行视力调查，调查数据如图②所示，下列说法正确的有（）

图①图②

A.该地区的中小学生中，高中生占比为20%

B.抽取调查的高中生人数为200人

C.该地区近视的中小学生中，高中生占比超过40%

D.从该地区的中小学生中任取3名学生，记近视人数为九则J的数学期望约为0.81

【答案】ABD

【分析】根据扇形统计图计算高中生的占比，可判断A选项；利用分层抽样可判断B选项；计算出

近视的中小学生中，高中生的占比，可判断C选项；分析可知4〜8（3,需），利用二项分布的期望

公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，由图①可知，该地区的中小学生中，高中生占比为

2000

x100%=20%,A对;

2000+3500+4500

对于B选项，用分层抽样抽取了10%的学生，则抽取的高中生人数为2000xl0%=200人，B对;

对于C选项，该地区近视的中小学生中，小学生近视的人数为3500x0.1=350人，

初中生近视的人数为4500x0.3=1350人，高中生近视的人数为2000x0.5=1000A,

所以，该地区近视的中小学生中，高中生占比为350+鬻L。。吟咚0错；

对于D选项，从该地区中的中小学生中任意抽取一名，该学生近视的概率为

2700_27

3500+2000+4500-100r

从该地区的中小学生中任取3名学生，记近视人数为则J〜8（3,磊）

77

所以，E（4）=3x志=0.81,D对.

故选：ABD.

4.（福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2023届高三期中）（多选）某医

院护士对甲、乙两名住院病人一周内的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有（）

A.病人甲体温的极差为0.3y

B.病人乙的体温比病人甲的体温稳定

C.病人乙体温的众数、中位数与平均数都为36.4%：

D.病人甲体温的上四分位数为36.4%：

【答案】BC

【分析】根据折线图，结合极值，百分位数，众数，中位数和平均数的计算，对每个选项进行逐一

分析，即可判断和选择.

【详解】对于选项A：病人甲体温的最大值为366C,最小值为36.2。©,故极差为0.4%：,故A错

误；

对于选项B：病人乙的体温波动较病人甲的小，极差为0.2。（3,也比病人甲的小，因此病人乙的体

温比病人甲的体温稳定，故B正确：

对于选项C：病人乙体温按照从小到大的顺序排列为：

36.3℃,36.3℃,36.4℃,36.4℃,36.4℃,36.5℃,36.5℃,

病人乙体温的众数、中位数都为36.4。（2,

病人乙体温的平均数为：；（36.3+36.3+36.4+36.4+36.4+36.5+36.5）=36.4（,故C正确；

对于选项D：病人甲体温按照从小到大的顺序排列为：

36.2℃,36.2℃,36.4℃,36.4℃,36.5℃,36.5℃,36.6℃,

又7x75%=5.25,

病人甲体温的上四分位数为上述排列中的第6个数据，QP36.5℃,故D错误.

故选：BC.

5.（2022秋•江苏南京•高三南京市第二十九中学校考期中）（多选）随着国民经济的快速发展和人民

生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔.社会物流总费用与GDP的

比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是2017-2022年我国社会物流总费用与GDP的比率统

计，贝！1（）

A.2018-2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2021年增长的最多

B.2017-2022这6年我国社会物流总费用的70%分位数为万亿元

C.2017-2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为0.3%

D.2022年我国的GDP超过了121万亿元

【答案】AD

【分析】由图表逐项判断可得答案.

【详解】由图表可知，2018-2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长的最多，艮增

长为16.7-14.9=1.8万亿元，故A正确；

因为6x70%=4.2,则70%分位数为第5个，即为，所以这6年我国社会物流总费用的70%分位数

为万亿元，故B错误；

由图表可知，2017-2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为14.8%-14.6%=0.2%,

故C错误；

由图表可知，2022年我国的GDP为17.8+14.7%~121.1万亿元，故D正确.

故选：AD.

题型02

6.（2022秋•重庆沙坪坝•高三重庆一中期中考试）要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽

取100人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如图，现从成绩在120,140）之间的学生

中用分层抽样的方法抽取5人，应从［120,130）间抽取人数为6,则（）.

A.a=0.025,b=2B.a=0.025,b=3

C.4=0.030,b=4D.a=0.030,b=3

【答案】D

【分析】先由频率之和为1解得。值，再分别计算各段学生人数，根据抽样比得6.

【详解】由题得10x（0.005+0.035+0+0.020+0.010）=1,所以a=0.030.

在［120,130）之间的学生：100创00.030=30人,

在［130,140）之间的学生:100创00.020=20人,

在［120,140）之间的学生：50人，

又用分层抽样的方法在［120,140）之间的学生50人中抽取5人，即抽取比为：

所以成绩在［120,130）之间的学生中抽取的人数应为30x'=3,即6=3.

故选：D.

7.（河北省高碑店市崇德实验中学2023届高三上学期期中）（多选）为了向社会输送优秀毕业生，

中等职业学校越来越重视学生的实际操作（简称实操）能力的培养.中职生小王在对口工厂完成实

操产品100件，质检人员测量其质量（单位：克），将所得数据分成5组：

［95,97）,［97,99）,［99,101）,［101,10）,［103,105］.根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中

质量在［99,101）内的为优等品.对于这100件产品，下列说法正确的是（）

A.质量的平均数为克（同一区间的平均数用区间中点值代替）B.优等品有45件

C.质量的众数在区间［98,100）内D.质量的中位数在区间［99,101）内

【答案】ABD

【分析】根据频率分布直方图的性质，以及其数据特征估计值的计算，可得答案.

【详解】对于选项A,质量的平均数为

（96x0.025+98x0.15+100x0.225+102x0.075+104x0.025）x2=99.7（克），选项A正确；

对于选项B,优等品有0.225x2x100=45件，选项B正确：

对于选项C,频率分布直方图上不能判断质量众数所在区间，质量众数不一定落在区间［98,100）

内，所以选项C错误：

时于选项D,质量在［99,101）内的有45件，质量在［10L103）内的有15件，质量在［103,105］内的有

5件，所以质量的中位数一定落在区间［99,101）内，所以选项D正确.

故选：ABD.

8.（重庆市第一中学校2023届高三上学期期中）（多选）近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质

健康已经在社会形成高度共识，某校为了了解学生的身体素质状况，举行了一场身体素质体能测试,

以便对体能不达标的学生进行有效地训练，促进他们体能的提升，现从全部测试成绩中随机抽取200

名学生的测试成绩，进行适当分组后，画出如图所示频率分布直方图，则()

A.a=0.020

B.在被抽取的学生中，成绩在区间［80,100］内的学生有70人

C.估计全校学生体能测试成绩的平均数为77

D.估计全校学生体能测试成绩的69%分位数为84

【答案】AD

【分析】根据频率分布直方图中频率和等于1可求出判断A；求出成绩落在［80,100］内的频率,

再乘以总人数可判断B；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C；根据百分位数的定义

求解可判断D.

【详解】对于A,根据频率和等于1得104=1-10x(0.005+0.030+0.035+0.010)=0.20,解得

。=0.020,故A正确；

对于B,成绩在区间［80,100］内的学生人数约为200x10x(0.035+0.010)=90,故B错误；

对于C,学生体能测试成绩的平均数约为

(55x0.005+65x0.020+75*0.030+85x0.035+95x0.010)x10=77.5,故C错误；

对于D,0.005x10+0.020x10+0.030x10=0.55<0.69.

0.005xl0+0.020xl0+0.030xl0+0.035xl0=0.9>0.69,

所以这组数据的69%分位数的估计值落在区间［80,90)内，

又因为80+需f^xl0=84,故学生体能测试成绩的69%分位数为84,故D正确，

故选：AD.

9.(广东省深圳市红岭中学20222023学年高三上学期期中)(多选)在某市高三年级举行的一次调

研考试中，共有30000人参加考试.为了解考生的某科成绩情况，抽取了样本容量为〃的部分考生成

绩，已知所有考生成绩均在［50,10()］,按照［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］的分组作出如图

所示的频率分布直方图.若在样本中，成绩落在区间［50,60)的人数为16,则由样本估计总体可知下

列结论正确的为()

A.x=0.016

B./?=1000

C.考生成绩的第70百分位数为76

D.估计该市全体考生成绩的平均分为71

【答案】AC

【分析】根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1,即可判断A,根据成绩落在区间［50,60)

内的人数和频率可判断B,根据百分位数的定义和平均数的定义可判断CD.

【详解】对于A,因为(x+0.030+0.040+0.010+0.004)xl0=l,解得x=0.016,故A正确；

对于B,因为成绩落在区间［50,60)内的人数为16,所以样本容量〃=二!■■工=100,故B错误；

0.016x10

对于C,0^(0.016+0.030)x10=0.46<0.7,(0.016+0.030+0.040)x10=0.86>0.7,

所以考生成绩的第70百分位数落在区间［70,80),

设考生成绩的第70百分位数为机，则0.46+(x-70)x0.04=0.7,解得根=76,

即考生成绩的第70百分位数为76,故C正确；

对于D,学生成绩平均分为

0.016x10x55+0.030x10x65+0.040x10x75+0.010x10x85+0.004x10x95=70.6D错误.

故选:AC.

10.(2022秋・江苏南通・高三统考期中)(多选)某书店为了解其受众人群，对100名顾客的年龄(x)

进行调研，并将所统计的数据制成如图所示的频率分布直方图.已知…,G是各个小矩形上短

边的中点,若点中点C在一条直线上，点C,。,瓦F,G在一条直线上，且c=0.024,g=0.0064,则下

列描述正确的是()

A./的值为

B.数据x的众数大于中位数

C.数据x的中位数小于平均数

D.数据x的第80百分位数大于60

【答案】AC

【分析】先从直线的性质，可求出。/,。/,%/达的值，再利用众数、中位数、平均数、百分位数的

概念求解即可.

【详解】因为点CRE,尸,G在一条直线上，且CD,瓦尸,G的横坐标的差相同，

所以它们的纵坐标的差值也相同，

因为"生”蛆=034,

4

所以d=0.024-0.0044=0.0196,e=0.0196-0.0044=0.015：,f=0.0152-0.0044=0.0108.

0.1-0.0196-0.0152-0.0108-0.0064=0.048,

点48,C在一条直线上，

所以6=^^=0.016,4=0.048-0.024-0.016=0.008,A正确；

数据x的众数的估计值为双产=35，

设中位数为，,因为(0.008+0.016+0.024)xl0=0.48,

所以0.0196x(7-40)=0.02,

解得141.02,即数据x的中位数约为，

所以数据x的众数小于中位数，B错误；

因为三=15x0.08+25x0.16+35x0.24+45x0.196+55x0.152+65x0.108+75x0.064=42.6,所以平均

数大于中位数，C正确：

因为1-(0.0108+0.0064)x10=0.828,所以数据x的第8()百分位数小于60,D错误.

故选：AC.

11.(湖北省七市(州)教研协作体2023届高三上学期期中)某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯

式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三挡：月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，

超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.

(1)求某户居民月用电费N(单位：元)关于月用电量x(单位：度)的函数解析式；

(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后

得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%,

求。力的值.

0.5x,0<x<200

【答案】(1)0.8x-60,200<x<400,

x-140,x>400

(2)。=0.0015,6=0.0020

【分析】(1)根据题目条件，分段列出函数解析式即可；

(2)将)，=260代入(1)中解析式得到x的值，再结合频率分布直方图求。用的值；

【详解】(1)当04x4200时，y=0.5x；

当200Vx4400Il'J,y=0.5x200+0.8x(x-200)=0.8x-60,

当X〉400时，^=0.5x200+0.8x200+1.0x(x-400)=x-140,

f0.5x,0<x<200

所以V与x之间的函数解析式为V=0.8x-60,200<x440(),

[x-140,x>400

(2)由(1)可知：当y=260时,x=400,则尸(x4400)=0.80,

0.1+2x1006+0.3=0.8

结合频率分布直方图可知:

100a+0.05=0.2

a=0.0015,/)=0.0020

线性回归方程

12.（湖北省荆门市龙泉中学2023届高三上学期期中）已知两组数据％,生,…,生。和4也,…，狐，其中

141410且iwZ时，a.=i-且ieZ时，bl0=a,我们研究这两组数据的相关性，

在集合｛8』1,12,13｝中取一个元素作为。的值，使得相关性最强，则所（）

A.8B.IIC.12D.13

【答案】B

【分析】根据相关性与线性回归方程的关系即可得到答案.

【详解】设点坐标为（《,4）,14"10旦iwZ,

由题意得前9个点位于直线V=x上，面须=10,则要使相关性更强，如应更接近10,

四个选项中11更接近10,

故选：B.

13.（安徽省合肥市庐江第五中学20222023学年高三上学期期中）（多选）某同学将收集到的六对数

据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为4：i=0.68x+i,计算其相关系数为小决定系数为

/?,.经过分析确定点尸为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为

l2-.y=bx+0.6S,相关系数为4,决定系数为火；.下列结论正确的是（）

A.%>0B.

C.0<6<0.68D.否>0.68

【答案】AC

【分析】根据散点图对相关性的强弱的影响即可判断四个选项.

【详解】由图可知两变量呈现正相关，故4＞0,弓＞0,去掉"离群点''后，相关性更强，所以耳＜々，

故凡2＜RJ,故A正确，B不正确.

根据图象当去掉F点后，直线的基本在A,B,C,D,E附近的那条直线上，直线的倾斜程度会略向x轴

偏向，故斜率会变小，因此可判断0＜右＜0.68,故C正确,D错误.

故选：AC.

14.（2022秋•浙江绍兴•高三绍兴一中校考期中）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百

千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.

（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数厂并加以说

明（若上|＞。万，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；

（2）求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产量的增加量约

为多少？

za-初乂-力^x^.-nxy

附：相关系数公式厂=

（Z-7）2y^-ny'

参考数据：疝*0.55,回“0.95

回归方程f=&+6中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

Z(x,-•亍)(％一刃Zx^-nxy

b=M

i=l

【答案】（1"=0.95,说明见解析

(2)j^=0.3x+2.5；550T•克

【分析】（I）根据散点图中的数据分别求得可得嚏，y，矶乂-3），

进而求得相关系数厂，再与比较卜结论.

（2）结合（1）中的数据，分别求得％,3写出回归方程，然后将x=10代入求解.

【详解】（1）由己知数据可得了=-------------=5,y=-------------=4,

所以£(西_可(乂一同=(-3)x(-l)+(-1)x0+0xO+1xO+3xl=6,

(-3)2+(-1)2+02+1+32=2店,

i-歹)2=7(-l)2+02+02+02+l2=y/2,

力(X,-可包-J)

6需皿5

所以相关系数==15T15----------------------

2>/5xV2

V/=!V1=1

因为,•>0.75,所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.

£(占一可包-7)6

(2)b=-^-^-----------=—=0.3,0=4-5x0.3=26,

X")220

/=1

所以回归方程为f=O3x+2.5.

当x=10时，y=0.3x10+2.5=5.5.

即当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产量的增加量约为55（）千克

15.（江苏省徐州市20222023学年高三上学期期中）如图是某采矿厂的污水排放量双单位：吨）与

矿产品年产量以单位：吨）的折线图：

（1）依据折线图计算相关系数r（精确到0.01）,并据此判断是否可用线性回归模型拟合夕与x的关系？

（若|网>0.75,则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

（2）若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立J关于x的线性回归方程，并预测年产量为10吨

时的污水排放量.

ZU-立乂-刃

相关公式：”],,,参考数据：风=0.55,洞20.95.

住《-可£（乃-7）2

V/=1r=l

,£（项-丁）（必-月.

回归方程3=+&中，b=------------,a=y-bx.

£（x,-x）2

i=l

【答案】（1）相关系数0.95,可用线性回归模型拟合y与x的关系

（2）j=0.3x+2.5,5.5吨

【分析】（1）代入数据，算出相关系数?，将其绝对值与0.75比较，即可判断可用线性回归模型拟

合y与x的关系.

（2）先求出回购方程，求出当x=10时的值，即为预测值.

【详解】（I）由折线图得如下数据计算得：

5

x=5,歹=4,Z（x,-项必-力=6,

/=1

所以相关系数厂=万三方=屈々0・95,

因为|r|>0.75,所以可用线性回归模型拟合y与x的关系

（2）5=二=0.3,

20

6=7一宸=4-03x5=2.5,

所以回归方程为？=0.3X+2.5,

当x=10时，/=5.5,

所以预测年产量为10吨时的污水排放量为5.5吨

16.（湖北省部分省级示范高中20222023学年高三上学期期中）小李准备在某商场租一间商铺开服

装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位：n?）和

2020

日均客流量y（单位：百人）的数据（x,,»）（i=l,2,…,20）,并计算得》>,=2400,£%=210,

r=li=l

2020

£（x,.-x）2=42000,Xa-可（必-刃=6300.

f=lf=l

（1）求y关于X的回归直线方程；

（2）已知服装店每天的经济效益〃=左五+妙（左>0,，*>0）,该商场现有60〜150m2的商铺出租，根据

（1）的结果进行预测，要使单便理积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺？

£（毛-可（％-刃

附：回归直线J=R+&的斜率和截距的最小二乘估计分别为：B=J--------------,a=y-bx.

f（占一元『

/=!

【答案】（l）j>=0」5x-7.5

（2）小李应该租100n?的商铺

【分析】（I）由已知条件结合回归直线公式可求出回归直线方程，

（2）根据题意得Z=^="应三+"，604x4150,构造函数〃x）=更经心亘，利用二次

XXX

函数的性质可求出其最大值，从而可求出Z的最大值

120120

【详解】（1）由已知可得亍=h2%=120,7=少乏>,=1。5,

20

.za-可(%-刃6300

b=-----------=_^_=0/5,

g_、242000

二(x,-x)

/=1

&=歹一衍=10.5-0.15x120=-7.5,

所以回归直线方程为了=0」5x-7.5.

(2)根据题意得z="=与包叵三巨+加，604x4150.

XX

0.15X-7.50.157.5令'j专皿〜

设/(x)=~2—2

XXX

则/(X)=g(f)=0.15,-7.5r=-7.5x(z-0.01)2+0.00075,

当1=0.01,即x=100时，/(x)取最大值,

又因为上m>0,所以此时Z也取最大值,

因此，小李应该租1OOn?的商铺.

题型04非线性回归方程

17.(2022秋•浙江杭州•高三学军中学校考期中)害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义.已知某

种害虫产卵数N(单位：个)与温度x(单位：。C)有关，测得一组数据(x2,)(i=L2,L,20),可

用模型V=qe。”进行拟合，利用z=Iny变换得到的线性回归方程为2=O.3x+(5.若

2020

X毛=600,=120,则q的值为.

/=1»=1

【答案】e-3

【分析】将非线性模型”4片两边同时取对数可得Efx+lnq=0.3x+&,再将样本中心点(R)

代入回归方程可得Inq=&=-3,即可计算出q=e-3.

【详解】对尸弓户两边同时取对数可得Iny=lnkei)=lnq+lne°/fx+lnq；

即乞=c2x4-lnc)=0.3x+G,可得q=0.3,Inq-a

2020

由工耳二600,y^lny-=120可得％=30,Iny=z=6,

/=1r=l

彳弋入2=0.3x+a可得力=一3,HPInc,j=a=-3,所以q=e".

故答案为：e-3

18.(河北省石家庄市第十七中学2023届高三上学期期中)抗体药物的研发是生物技术制药领域的

一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗体药物的一个重要方面.

某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据作了初步处理，得

到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为X(单位：mg),体内抗体数量为y

（单位：AU/mL）.

10101010

Zz,

1=1i=l1=1r=l

1216

(1)根据经验，我们选择y=cxJ作为体内抗体数量v关于抗体药物摄入量x的回归方程，将y=ex"两

边取对数，得lny=lnc+dlnx,可以看出Inx与Iny具有线性相关关系，试根据参考数据建立了关

于x的回归方程，并预测抗体药物摄入量为25mg时，体内抗体数量V的值；

(2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z大幅提高，经试验统计得z服从正态分布N:(0.48,0.032),

那这种抗体药物的有效率z超过的概率约为多少？

附：①对于一组数据=,10),其回归直线$=/“+♦的斜率和截距的最小二乘估计分别

〃_

为万=二'a—v—^u;

2

-WM

>=i

②若随机变量Z〜则有尸(〃-b<Z<〃+b)=0.6826,P(〃-2b<Z<〃+2b)x0.9544,

P(p-3<T<Z<p+3cr)«0.9974；

③取e=2.7.

［答案］(l)j=ex°5；y=13.5AU/mL

(2)0.0228

【分析】(1)用最小二乘法求解回归直线方程，再求非线性回归方程即可；

(2)根据正态分布的对称性求解给定区间的概率即可.

【详解】(1)将y=c/两边取对数,得lny=lnc+dlnx,

设z=lny,，=lnx,则回归方程变为z=lnc+力，

由表中数据可知，Z=RZZ=1.6,t=^yti=\.2,

1Uj=|Iv/=|

10_

所以八Vt.Z争i—10一7,z=292-10xL2xl.6

ln£=5-防=1.6-0.5x1.2=l，

%-10尸34.470x1.22

i=l

所以，=1+0.5/，即In>>=1+0.5Inx=Ine+Inx05=Inex"',

故y关于x的回归方程为i=ex°$,

当x=25mg时，夕=e•2505«2.7x5=13.5AU/mL.

(2)因为z服从正态分布N(0.48,0.032),其中〃=0.48,b=0.03,

所以F(〃-2cr<z<〃+2b)=P(0.42<z<0.54卜0.9544,

所以尸(z>0.54)」.P(°42；z<。54)=「*44,

=0022

故这种抗体药物的有效率z超过的概率约为0.0228.

19.(河北省沧州市沧县中学2023届高三上学期期中)经观测，长江中某鱼类的产卵数了与温度x有

关，现将收集到的温度占和产卵数%(i=l,2,…,10)的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散

点图及一些统计量表.

1010101010、

2之％可

/=|1=1/=1i=\»=1

36054.5136044384

10.101010

Eu-n£(D(M-力之(须-可(必一力

1=11=11=1/=1

3588326430

_110

表中4=J匕,z,=姑必,彳=高24

(1)根据散点图判断，夕=0+云/=〃+加4与'=。声"哪一个适宜作为》与X之间的回归方程模型并

求出V关于X回归方程；(给出判断即可，不必说明理由)

(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个

鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个

数的分布列及数学期望.

附：对于一组数据(％#)(右,匕)「一("”匕,)，其回归直线丫=&+例的斜率和截距的最小二乘估计分

别为B=千-----------。=v-pu.

Z=1

【答案】（l）y=qe,2,适宜，j=

17

（2）分布列见解析,—.

【分析】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以y=qe"适宜作为》与

x之间的回归方程模型：令z=lny,转化线性回归方程求解，进而得夕关于x回归方程；

（2）由题意，J的取值为01,2,由全概率公式求得对应的概率，从而可求分布列及数学期望.

【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，

所以y=。卢,适宜作为V与x之间的回归方程模型;

£io(x,.-x)(z,.-z)32i

令z=/，贝Ijz=c?x+Inc-,,c2=-----------=—=—

ZU-)238412

1=1

Inq=z-c2x=z=^x+1.4,

y关于x的回归方程为；y-_ve：-C-

（2）由题意，设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为自，则&的取值为01,2,

设4="所取两个鱼卵来自第i批”[=1,2）,所以R=纥=；,

设瓦="所取两个鱼卵有i个”“死卵”（i=1,2）,

由全概率公式

p（g=o）=尸（闻4）尸（4）+尸（闻4"（4）=3m+9言=言,

1c1C11C'C144Q

尸("i)=尸(刃4)P(4)+P®4)尸⑷=5x^+5屋广痛,

产(“2)=p⑷4)*4)+尸⑷幻尸(幻=31+3卷=言，

所以取出“死卵”个数的分布歹IJ为:

02

5344973

P

M0840840

E⑷=0x至+lx记+2乂卫=59517

v714084084084024

所以取出“死卵”个数的数学期望三.

20.（福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2023届高三上学期期中）中医药是包

括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是具有悠久历史传统和独特理论技术方法的

医药体系，长期呵护着我们的健康，为中华文明的延续作出了突出贡献.某科研机构研究发现，某味

中药的药用量x（单位：克）与药物功效j（单位：药物功效单位）之间具有关系j=10x-x2.

（1）估计该味中药的最佳用量与功效；

（2）对一批含有这昧中药的合成药物进行检测，发现这味中药的药用量平均值为6克，标准差为2,

估计这批合成药的药物功效j的平均值.

【答案】（1）该药物使用量为5克时可达最大功效25.

（2）20

【分析】（1）根据用量x与功效j之间具有关系$=结合二次函数的性质，即可求解；

III1II_]〃1〃

（2）根据题意求得一\>,=6,—\>,2-矛=4,结合则y=—»>，=-即可求解.

〃1=1〃/=1n;=|n1=1

【详解】（1）解：由题意，某味中药的药用量X与药物功效i之间具有关系$=10》一》2,

可得S=I0X-X2=-（X-5）2+25，所以当X=5时，ymx=50-25=25.

即该药物使用量为5克时可达最大功效25.

_1"1«1n

（2）解：由题意，得x=—>>,=6,52=一»,2—元2=4,所以一Z±2=40,

〃/=|〃i=l〃/=1

则必」£（10%7；）=1043=60-40=20,

〃,=1〃/=1〃1=1〃/,=1

这批合成药的药物功效平均值为20.

21.（2022秋•辽宁沈阳•高三沈阳市第一二。中学校考期中）五一小长假期间，文旅部门在某地区推

出/,B,C,D,E,尸六款不同价位的旅游套票，每款套票的价格占（单位：元；i=l,2,…,6）与

购买该款套票的人数上（单位：千人）的数据如下表:

套票类别ABCDEF

套票价格玉（元）405060657288

购买人数匕（千人）

（注：A,B,C,D,E,F对应i的值为1,2,3,4,5,6）为了分析数据，令w=ln%,3=ln,,

发现点（4⑼）集中在一条直线附近.

（1）根据所给数据，建立购买人数y关于套票价格x的回归方程；

（2）规定：当购买某款套票的人数y与该款套票价格x的比值在区间g,会上时，该套票为“热门套

票”.现有甲、乙、丙三人分别从以上六款旅游套票中购买一款.假设他们买到的套票的款式互不相

同，且购买到“热门套票''的人数为X,求随机变量X的分布列和期望.

66

附：①参考数据：Zf=75.3,3=4.1，石=3.05，1^=101.4.

1=11=1

②对于一组数据值⑼）,（彩,牡），…，”"，?），其回归直线卷=标+3的斜率和截距的最小二乘估计分

〃__

Z4可—nvco

别为「=母-------厂，3=石-加.

i=l

【答案】（l）y=e£；

（2）分布列见解析，期望为2.

【分析】（1）利用给定的数据，结合最小二乘法公式求出a5的回归方程，再代换作答.

（2）利用（1）的结论结合已知，求出“热门套票”数，再借助超几何分布求出分布列、期望作答.

【详解】（1）由已知点（匕M,）（i=l,2,…,6）集中在一条直线附近，设|可归有线方程为血=加+0,

66

由y=4.=3.05,=75.3,£Y：=101.4,

Vv4w.-nv（o

;£底,

得不二弋---------75.3-6x4.1x3.05=

10I.4-6x4.1222

1=1

因此变量。关于V的回归方程为而=1V+1，

2

令u=lnx,/=lny,则lny=elnx+l,即/=©1，

所以V关于x的回归方程为y-ex2.

（2）由2=工=二£［士，昌，解得49Kxs81,所以＞50,60,65,72,

xx|97

X2

于是B,C,D,E为“热门套票”，则二人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布，X的可能取值为

1,2,3,

P(X=D=警=>22)=罟=

所以X的分布列为:

22.（2022秋•黑龙江牡丹江・牡丹江一中上学期期中）当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深

刻改变了人们的沟通、交流乃至整个生活方式.4G网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随

着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而5G作为一种新型移动通

信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实、虚拟现实、超高清（3。）

视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物、物与物的通信问题，从而满足

移动医疗、车联网、智能家居、工业控制、环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对5G网络

的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x（单位：元）与

购买人数y（单位：万人）的数据如下表:

套餐ABCDEF

月资费X（元）384858687888

购买人数y（万人）

对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表:

6666

Ew-N电A；

1=1/=1i=\i=l

其中匕=1叫,外=1期，且绘图发现，散点3，,9）（1金46）集中在一条直线附近.

（1）根据所给数据，求出V关于x的回归方程；

（2）已知流量套餐受关注度通过指标T（x）=——来测定，当7（x）e了,不时相应的流量套餐受大

众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.

记四人中使用“主打套督'’的人数为X,求随机变量X的分布列和期望.

附：对于一组数据（匕⑼）,（匕，电），…,（匕，。,），其回归方程3=加+”的斜率和截距的最小二乘估计

值分别为£=j-----------,a-而.

Z（v/-?）2

1=1

【答案】（l）y=ex；

Q

（2）分布列见解析，数学期望=1

【分析】（1）根据数据和最小二乘法公式求出。和i即可；

（2）因为是一家4口购买不同的套餐，套餐的种类只有6