河北省秦皇岛市卢龙县2025届数学九年级第一学期开学统考模拟试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共6页河北省秦皇岛市卢龙县2025届数学九年级第一学期开学统考模拟试题题号一二三四五总分得分A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）若a使得关于x的分式方程有正整数解。且函数y=ax−2x−3与y=2x−1的图象有交点,则满足条件的所有整数a的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42、（4分）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美 B．中华游 C．爱我中华 D．美我中华3、（4分）如图，，点是垂直平分线的交点，则的度数是（）A． B．C． D．4、（4分）已知下面四个方程：+3x＝9；+1＝1；＝1；＝1．其中，无理方程的个数是()A．1 B．2 C．3 D．45、（4分）下列代数式是分式的是（）A． B． C． D．6、（4分）已知一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．， B．，C．， D．，7、（4分）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，则AB的长度为（）A．7 B．8 C．9 D．108、（4分）下列方程中，判断中错误的是（）A．方程是分式方程 B．方程是二元二次方程C．方程是无理方程 D．方程是一元二次方程二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，，、分别是、的中点，平分，交于点，若，，则的长是______．10、（4分）如图，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直角∠DFE的顶点F是AB中点，两边FD，FE分别交AC，BC于点D，E两点，当∠DFE在△ABC内绕顶点F旋转时（点D不与A，C重合），给出以下个结论：①CD=BE；②四边形CDFE不可能是正方形；③△DFE是等腰直角三角形；④S四边形CDFE=S△ABC．上述结论中始终正确的有______．（填序号）11、（4分）不等式的非负整数解为_____．12、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为_____________．13、（4分）我国很多城市水资源短缺，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费标准．某市居民月交水费y（单位：元）与用水量x（单位：吨）之间的关系如图所示，若某户居民4月份用水18吨，则应交水费_____元．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）阅读理解：定义：有三个内角相等的四边形叫“和谐四边形”.(1)在“和谐四边形”中，若，则；(2)如图，折叠平行四边形纸片，使顶点，分别落在边，上的点，处，折痕分别为，.求证：四边形是“和谐四边形”.15、（8分）解分式方程：16、（8分）某商店分两次购进A．B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．17、（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣4，m）．（1）求反比例函数y＝的解析式；（2）若点P在x轴上，AP＝5，直接写出点P的坐标．18、（10分）计算：×2－÷；B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，经过点B（－2，0）的直线与直线相交于点A（－1，－2），则不等式的解集为．20、（4分）若分解因式可分解为，则=______。21、（4分）若是整数，则最小的正整数n的值是_____________。22、（4分）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过A（0，1）和B（2，0）两点，则关于x的不等式ax+b＜1的解集是_____．23、（4分）在计算器上按照下面的程序进行操作：下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果：x

-2

-1

0

1

2

3

y

-5

-2

1

4

7

10

上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，AF平分∠DAE，DF//AE，AF与CD相交于点G.（1）如图1，当∠AEC=，AE=4时，求FG的长；（2）如图2，在AB边上截取点H，使得DH=AE，DH与AF、AE分别交于点M、N，求证：AE=AH+DG25、（10分）学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元。（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共80只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯的3倍，问如何购买最省钱，说明理由。26、（12分）如图，大拇指与小指尽量张开时，两指尖的距离称为指距，某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数，下表是测得指距与身高的一组数据：（1）求出h与d之间的函数关系式；（2）某人身高为196cm,一般情况下他的指距应是多少？

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】

先解分式方程，求得a的值，再由函数图象有交点求得a的取值范围，则可求得a的值，可求得答案．【详解】解分式方程可得x=4−，∵a使得关于x的分式方程有正整数解，∴a的值为0、2、4、6，联立y=ax−2x−3与y=2x−1，消去y,整理可得ax−4x−2=0，由函数图象有交点,可知方程ax−4x−2=0有实数根，当a=0时，方程有实数解，满足条件，当a≠0时，则有△⩾0，即16+8a⩾0，解得a⩾−2且a≠0，∴满足条件的a的值为0、2、4、6，共4个，故选D.此题考查分式方程的解，二次函数的性质，一次函数的性质，解题关键在于求得a的值.2、C【解析】

将原式进行因式分解即可求出答案．【详解】解：原式=（x2-y2）（a2-b2）=（x-y）（x+y）（a-b）（a+b）由条件可知，（x-y）（x+y）（a-b）（a+b）可表示为“爱我中华”故选C．本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式，提取公因式法，并考查学生的阅读理解能力．3、B【解析】

利用线段垂直平分线的性质即可得出答案.【详解】解：连接OA，OB∵∠BAC=80°∴∠ABC+∠ACB=100°又∵O是AB和AC垂直平分线的交点∴OA=OB，OA=OC∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，OB=OC∴∠OBA+∠OCA=80°∴∠OBA+∠OCB=100°-80°=20°又∵OB=OC∴∠BCO=∠CBO=10°故答案选择B.本题主要考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质.4、A【解析】

无理方程的定义是:根号下含有未知数的方程即为无理方程,根据定义即可判断.【详解】无理方程的定义是:根号下含有未知数的方程即为无理方程,根据定义只有第一个方程为无理方程.即+3x＝9，1个，故选：A．本题直接考查了无理方程的概念--根号下含有未知数的方程即为无理方程.准确掌握此概念即可解题..5、D【解析】

判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】、、的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式;分母中含有字母，因此是分式.故选：D.考查分式的定义，掌握分式的定义是判断代数式是不是分式的前提.6、D【解析】

根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．【详解】如图所示，一次函数y=kx+b的图象，y随x的增大而增大，所以k＞1，直线与y轴负半轴相交，所以b＜1．故选D．本题考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞1时，直线必经过一、三象限；k＜1时，直线必经过二、四象限；b＞1时，直线与y轴正半轴相交；b=1时，直线过原点；b＜1时，直线与y轴负半轴相交．7、D【解析】

根据勾股定理即可得到结论．【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，∴AB=AC2故选D．本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8、C【解析】

逐一进行判断即可．【详解】A.方程是分式方程，正确，故该选项不符合题意；B.方程是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意；C.方程是一元二次方程，错误，故该选项符合题意；D.方程是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意；故选：C．本题主要考查方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程的概念是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、.【解析】

根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE=0.5AB=5，根据平行线的性质、角平分线的定义求出DF，计算即可.【详解】解：、分别是、的中点，，，，，平分，，，，，故答案为.本题考查的是角平分线的定义、三角形中位线定理，掌握平行线的性质、角平分线的定义是解题的关键.10、①③④【解析】

首先连接CF，由等腰直角三角形的性质可得：，则证得∠DCF=∠B，∠DFC=∠EFB，然后可证得：△DCF≌△EBF，由全等三角形的性质可得CD=BE，DF=EF，也可证得S四边形CDFE=S△ABC．问题得解．【详解】解：连接CF，

∵AC=BC，∠ACB=90°，点F是AB中点，∴∠DCF=∠B=45°，

∵∠DFE=90°，

∴∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFB=90°，

∴∠DFC=∠EFB，

∴△DCF≌△EBF，

∴CD=BE，故①正确；

∴DF=EF，

∴△DFE是等腰直角三角形，故③正确；

∴S△DCF=S△BEF，

∴S四边形CDFE=S△CDF+S△CEF=S△EBF+S△CEF=S△CBF=S△ABC．，故④正确．

若EF⊥BC时，则可得：四边形CDFE是矩形，

∵DF=EF，

∴四边形CDFE是正方形，故②错误．

∴结论中始终正确的有①③④．

故答案为：①③④．此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定等知识．题目综合性很强，但难度不大，注意数形结合思想的应用．11、0，1，1【解析】

首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．【详解】解不等式得：，∴不等式的非负整数解为0，1，1．故答案为：0，1，1．本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．12、(2，1)【解析】【分析】直接运用线段中点坐标的求法，易求N的坐标.【详解】点N的坐标是：（），即（2，1）.故答案为：(2，1)【点睛】本题考核知识点：平面直角坐标系中求线段的中点.解题关键点：理解线段中点的坐标求法.13、38.8【解析】

根据图形可以写出两段解析式，即可求得自来水公司的收费数．【详解】将(10,18)代入y=ax得：10a=18，解得：a=1.8，故y=1.8x(x⩽10)将(10,18),(15,31)代入y=kx+b得：，解得：，故解析式为：y=2.6x−8(x>10)把x=18代入y=2.6x−8=38.8.故答案为38.8.本题考查用一次函数解决实际问题，关键是应用一次函数的性质.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）根据四边形的内角和是360°，即可得到结论；（2）由四边形DEBF为平行四边形，得到∠E＝∠F，且∠E＋∠EBF＝180°，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB＝∠DCB＝∠ABC即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是“和谐四边形”，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∵∠B＝135°，∴∠A＝∠D＝∠C＝（360°−135°）＝75°，故答案为：75°；（2）证明：∵四边形DEBF为平行四边形，∴∠E＝∠F，且∠E＋∠EBF＝180°．∵DE＝DA，DF＝DC，∴∠E＝∠DAE＝∠F＝∠DCF，∵∠DAE＋∠DAB＝180°，∠DCF＋∠DCB＝180°，∠E＋∠EBF＝180°，∴∠DAB＝∠DCB＝∠ABC，∴四边形ABCD是“和谐四边形”．本题主要考查了翻折变换−折叠问题，四边形的内角和是360°，平行四边形的性质等，解题的关键是理解和谐四边形的定义．15、【解析】

观察可得最简公分母是（x-3）（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：去分母，得：2（x-2）=3（x-3）去括号，得：2x-4-3x+9=0解得：x=5检验：当x=5时，（x-3）（x-2）=6≠0，∴x=5是原方程的解．本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根16、（1）A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元；（2）当购进A种商品800件、B种商品2件时，销售利润最大，最大利润为120元．【解析】试题分析：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w与m之间的函数关系式，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．试题解析：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据题意得：，解得：．答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元．（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，根据题意得：w=（30﹣20）（1000﹣m）+（100﹣80）m=10m+1．∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，∴1000﹣m≥4m，解得：m≤2．∵在w=10m+1中，k=10＞0，∴w的值随m的增大而增大，∴当m=2时，w取最大值，最大值为10×2+1=120，∴当购进A种商品800件、B种商品2件时，销售利润最大，最大利润为120元．考点：一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解一元一次不等式.17、（1）y＝﹣；（2）P点的坐标是（﹣7，0）或（﹣1，0）．【解析】

(1)先求出A的坐标，再代入反比例函数解析式求出即可；(2)根据勾股定理求出即可．【详解】(1)∵A(﹣4，m)在一次函数y＝﹣x上，∴m＝4，即A(﹣4，4)，∵A在反比例函数y＝(x＜0)的图象上，∴k＝﹣16，∴反比例函数y＝的解析式是y＝﹣；(2)∵Rt△ABP中，∠ABP=90°，AB=4，AP=5，∴BP==3，-4-3=-7，-4+3=-1，∴P点的坐标是(﹣7，0)或(﹣1，0)．本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，勾股定理，熟练掌握相关内容是解题的关键.注意数形结合思想与分类讨论思想的运用.18、4【解析】试题分析：先算乘除，再合并同类二次根式。×2－÷考点：本题考查的是二次根式的混合运算点评：解题的关键是熟知二次根式的乘法法则：，二次根式的除法法则：.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、【解析】分析：不等式的解集就是在x下方，直线在直线上方时x的取值范围．由图象可知，此时．20、-7【解析】

将（x+3）(x+n)的形式转化为多项式，通过对比得出m、n的值，即可计算得出m+n的结果.【详解】（x+3）（x+n）=+（3+n）x+3n，对比+mx-15，得出：3n=﹣15，m=3+n，则：n=﹣5，m=﹣2.所以m+n=﹣2﹣5=﹣7.本题考查了因式分解，解题关键在于通过对比两个多项式，得出m、n的值.21、1【解析】

是整数则1n一定是一个完全平方数，把1分解因数即可确定．【详解】解：∵1=1×1，

∴n的最小值是1．

故答案为：1．本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．也考查了=|a|．22、x＞1【解析】

观察函数图象，写出在y轴右侧的自变量的取值范围即可．【详解】当x＞1时，ax+b＜1，即不等式ax+b＜1的解集为x＞1．故答案为：x＞1本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）1的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．23、+、1【解析】设y=kx+b，把x=-2，y=-5；x=0，y=1代入得：解之得即y=3x+1．所以第三个键和第四个键应是+、1．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）FG＝2；（2）见解析.【解析】

（1）根据正方形的性质，平行线的性质，角平分线的性质可得出∠DAF=∠F=30°，进一步可求得∠GDF=∠F=30°，从而得出FG=DG，利用勾股定理可求出DG=2，故FG=2.（2）根据已知条件可证得AE=DH且AE⊥DH，从而证得∠MAH=∠AMH,∠DMG=∠DGM,从而证得AH=MH，DM=DG，而AE=DH=DM+MH即AE=AH+DG.【详解】（1）当∠AEC＝120°，即∠DAE＝60°，即∠BAE＝∠EAG＝∠DAG＝30°，在三角形ABE中，AE＝4，所以，BE＝2，AB＝2，所以，AD＝AB＝2，又DF∥AE，所以，∠F＝∠EAG＝30°，所以，∠F＝∠DAG＝30°，又所以，∠AGD＝60°，所以，∠CDG＝30°，所以FG＝DG在△ADG中，AD＝2，所以，DG＝2，FG＝2（2）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAH=∠ABE=90°，AD=AB,在Rt△ADH和Rt△BAE中∴Rt△ADH≌Rt△BAE，∴∠ADH=∠BAE,∵∠BAE+∠DAE=90°，∴∠ADH+∠DAE=90°，∴∠AND=90°.∵AF平分∠DAE，∴∠DAG=∠EAG,∵∠ADH=∠BAE,∴∠DAG+∠ADH=∠EAG+∠BAE.即∠MAH=∠AMH.∴AH=MH.∵A