数学教学设计：二项式定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教学设计1．3二项式定理eq\o(\s\up7(），\s\do5(整体设计))教材分析《二项式定理》是多项式运算的推广．在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的形式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙,只是在中学阶段还没有显示的机会．将本小节内容安排在计数原理之后来学习，一方面是因为二项式定理的证明要用到计数原理,可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也为学习随机变量及其分布做准备．另外,由于二项式系数是一些特殊的组合数,由二项式定理可导出一些组合数的恒等式,这对深化组合数的性质有很大好处．总之,二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思想是“先猜后证”．与以往教科书比较,猜想不是通过对n取1、2、3、4的展开式的形式特征的分析而归纳得出，而是直接应用两个计数原理对(a＋b）2展开式的项的特征进行分析．这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也是为证明猜想提供了基本思路．课时分配3课时1．3。1二项式定理教学目标知识与技能1．能用计数原理证明二项式定理;2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．过程与方法1．运用归纳的方法,经历多项式的展开由2到n的过程；2．引导学生借助计数原理与组合知识证明二项式定理．情感、态度与价值观1．培养学生的归纳思想、化归思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；3．培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和严谨．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．重点难点教学重点：用计数原理分析(a＋b)2的展开式，得到二项式定理．教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．eq\o（\s\up7（）,\s\do5（教学过程)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（引入新课）)我们已学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式,请同学们回顾：(1)两个计数原理的内容是什么？（2）排列的定义与排列数公式是什么?(3)组合的定义与组合数公式是什么?活动设计：学生先独立回忆,必要时可以看书，也可以求助同学．活动结果：(板书)(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．（2)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．Aeq\o\al(m，n)＝n（n－1)（n－2)…(n－m＋1）＝eq\f(n！,(n－m）！）。（3）一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n(n－1)（n－2）…(n－m＋1），m！)＝eq\f（n！，m！（n－m）！）.设计意图：复习已经学过的计数原理、排列、组合的有关知识，让学生回顾认知基础,形成认知环境，为二项式定理的引入打下基础．提出问题:如何利用两个计数原理得到(a＋b）1，(a＋b)2，（a＋b)3的展开式？活动设计：教师提出问题,引导学生关注展开的两个步骤:（1)用乘法法则展开;（2）合并同类项．学生先独立思考，允许小组合作．活动成果：(a＋b)1＝a＋b（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a＋b）3＝(a＋b)2(a＋b）＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3设计意图:引导学生将（a＋b)2与(a＋b）3的展开式与两个计数原理联系起来,教师提醒学生，用计数原理分析展开式的项数,应当分析项中的字母是如何选取的，并引导学生分析同类项的个数，得到展开式的系数．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(探究新知）)（a＋b）4＝(a＋b）(a＋b）（a＋b）（a＋b）的展开式各项都是4次式，即展开式的各项应该具有如下形式：a4,a3b，a2b2，ab3，b4.提出问题1：（1)以a2b2项为例，有几种情况相乘均可得到a2b2项？这里的字母a,b各来自哪个括号？（2)既然以上字母a，b分别来自4个不同的括号，a2b2项的系数你能用组合数来表示吗？(3）你能将问题(2）所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？活动设计：学生自由发言．活动成果：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b。每个括号只能取一个字母，任取两个a、两个b，然后相乘．设计意图：帮助学生找到求出展开式系数的基本方法．提出问题2：请用类比的方法,求出二项展开式中的其他各项系数，并将式子：(a＋b)4＝（a＋b）（a＋b）(a＋b）（a＋b）＝()a4＋()a3b＋（)a2b2＋（）ab3＋(）b4括号中的系数全部用组合数的形式进行填写．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．活动成果:展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即Ceq\o\al(0,4)种,a4的系数是Ceq\o\al（0，4）；恰有1个取b的情况有Ceq\o\al（1,4)种，a3b的系数是Ceq\o\al(1,4),恰有2个取b的情况有Ceq\o\al(2,4）种,a2b2的系数是Ceq\o\al（2,4)，恰有3个取b的情况有Ceq\o\al(3，4)种，ab3的系数是Ceq\o\al(3，4）,有4个都取b的情况有Ceq\o\al(4,4）种，b4的系数是Ceq\o\al(4,4)，∴（a＋b）4＝Ceq\o\al（0,4）a4＋Ceq\o\al(1，4)a3b＋Ceq\o\al(2,4）a2b2＋Ceq\o\al（3,4)a3b＋Ceq\o\al(4,4)b4。设计意图:巩固已有的思想方法，建立猜想与证明二项式定理的认知基础与理论依据．提出问题3：根据以上展开式，你能猜想一下（a＋b）n的展开式是什么吗？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．活动成果：学生可能猜出正确的展开式，但是不一定按照正确的顺序写出来,也不一定了解其中的规律，我们应该将问题进一步具体化,学生可能更容易发现新知．设计意图：通过学生对（a＋b）n展开式的猜想,提高学生的归纳问题的能力，使学生体会新知，发现新知，理解新知，在获得新知的过程中体会数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣．提出问题4:请同学们根据猜想完成下式,并对所给答案给出说明：（a＋b）n＝（_)an＋(_)an－1b＋(_)an－2b2＋…＋(_）an－rbr＋…＋（_)bn（n∈N*）活动设计：先由学生独立完成，然后组织全班讨论，在讨论过程中要明确每一项的形式及其相应的个数,学生之间可以相互求助、辩论．活动成果：(1)（a＋b）n的展开式的各项都是n次式,即展开式应有下面形式的各项：an，an－1b，…,an－rbr,…,bn.（2)展开式各项的系数：每个都不取b的情况有1种,即Ceq\o\al(0,n)种，an的系数是Ceq\o\al（0,n)；恰有1个取b的情况有Ceq\o\al(1,n）种，an－1b的系数是Ceq\o\al(1，n），…，恰有r个取b的情况有Ceq\o\al(r,n）种,an－rbr的系数是Ceq\o\al（r，n）,…,有n个都取b的情况有Ceq\o\al(n,n）种，bn的系数是Ceq\o\al(n,n),∴（a＋b)n＝Ceq\o\al（0，n）an＋Ceq\o\al（1,n)anb＋…＋Ceq\o\al（r，n）an－rbr＋…＋Ceq\o\al（n，n)bn（n∈N），这个公式叫二项式定理,右边的多项式叫(a＋b）n的二项展开式．呈现二项式定理——（a＋b)n＝Ceq\o\al(0，n）an＋Ceq\o\al(1，n)an－1b＋Ceq\o\al（2，n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al（r，n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n，n）bn（n∈N)设计意图：得出二项式定理，体会二项式定理的形成过程，理解二项式定理是由两个计数原理以及组合数公式得到的．由于这是本大节的起始课,按照学习从问题开始、从学生的原有知识结构开始，通过这样的原则与模式进行设计，而且这种意识要贯穿于整个课堂教学的始终,使学生从整体上把握本节要研究的主要问题、主要脉络是什么样的,这样就会使学生清楚本节的学习目标和路线图，是学有目标，研有方向，胸怀全局,先见森林再见树木的学习,其学习效果是不言而喻的．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(理解新知)）提出问题1：二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？活动设计：学生自由发言，教师根据前面总结证明的二项展开式进行引导．活动成果：(1）它有n＋1项，各项的系数Ceq\o\al(k,n）（k＝0,1,…n)叫二项式系数；（2)各项的次数都等于二项式的次数n。设计意图：加深对二项式定理、二项展开式等概念、公式的理解．提出问题2：二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？活动设计：学生自由发言,可以相互讨论，教师进行引导．活动成果:(板书）（1)字母a按降幂排列,次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n;（2)Ceq\o\al（k，n）an－kbk叫二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项Tk＋1＝Ceq\o\al(k，n)an－kbk；(3）字母a，b可以是数，式子或其他．设计意图:由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(运用新知）)1展开（1＋eq\f（1，x))4.解法一：（1＋eq\f(1,x））4＝1＋Ceq\o\al(1，4）(eq\f(1，x））＋Ceq\o\al（2,4）（eq\f(1,x）)2＋Ceq\o\al（3，4)(eq\f（1，x））3＋(eq\f（1，x））4＝1＋eq\f(4，x)＋eq\f(6,x2)＋eq\f（4，x3）＋eq\f（1，x4）.解法二:（1＋eq\f（1,x))4＝（eq\f(1，x))4（x＋1）4＝(eq\f(1,x)）4[x4＋Ceq\o\al（1,4）x3＋Ceq\o\al（2，4）x2＋Ceq\o\al（3，4)x＋1]＝1＋eq\f(4,x)＋eq\f(6,x2)＋eq\f（4，x3)＋eq\f（1,x4）。点评：比较复杂的二项式，有时先化简,再展开会更方便．【巩固练习】求(2eq\r(x)－eq\f（1,\r（x）))6的展开式．解:先将原式化简,再展开，得（2eq\r(x）－eq\f(1,\r（x）)）6＝（eq\f（2x－1，\r（x)））6＝eq\f(1,x3）（2x－1）6＝eq\f(1,x3)[（2x）6－Ceq\o\al(1，6）(2x）5＋Ceq\o\al（2，6)（2x）4－Ceq\o\al(3，6）（2x）3＋Ceq\o\al（4,6)(2x）2－Ceq\o\al（5,6)（2x）1＋Ceq\o\al(6,6)］＝64x3－192x2＋240x－160＋eq\f（60,x）－eq\f(12,x2)＋eq\f（1,x3)。2求（1＋2x)7的展开式的第4项的二项式系数、项的系数．思路分析：先把通项写出,分清什么是二项式系数，什么是系数．解：(1＋2x)7的展开式的第4项是T3＋1＝Ceq\o\al（3,7)×17－3×(2x)3＝Ceq\o\al(3，7）×23×x3＝35×8x3＝280x3.所以展开式的第4项的二项式系数是35,系数是280.点评：①要注意展开式的第r＋1项,对应于二项式系数Ceq\o\al(r,n)；②要注意一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念．有时相等，有时不相等，它们之间没什么必然的联系．【巩固练习】求(x－eq\f（1，x））9的展开式中x3的系数．解：(x－eq\f（1，x））9的展开式的通项是Ceq\o\al(r,9）x9－r(－eq\f（1,x）)r＝(－1）rCeq\o\al（r，9)x9－2r。根据题意，得9－2r＝3,r＝3。因此，x3的系数是(－1）3Ceq\o\al(3，9)＝－84。【变练演编】1．(1＋2x）7的展开式的第几项的二项式系数等于35？2．（x－eq\f（1,x))9的展开式中，含有x6项吗？若有，系数为多少？含有x5项吗?若有,系数为多少？请将你所能想到的所有答案都一一列举出来．1．解：Ceq\o\al（3,7)＝Ceq\o\al(4，7）＝35,所以第4项与第5项的二项式系数等于35。2．解：根据通项（－1）rCeq\o\al(r，9)x9－2r,当9－2r＝6时，r无整数解;当9－2r＝5时，解得r＝2,所以系数为36.所以展开式中，不含x6项，含有x5项，系数为36。设计意图：两个题的设计不仅是为了训练学生根据解题需要能熟练地将一个二项式展开，而且可以培养学生的发散性思维能力,并且可以考查学生对知识、问题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性．题型的新颖性、开放性更是不言而喻,学生的兴趣会更浓，思维也会更积极．【达标检测】1．求(2a＋3b)6的展开式中的第3项．2．求（3b＋2a）6的展开式中的第3项的系数．3．求（1＋2i)5的展开式．1．解：T2＋1＝Ceq\o\al(2,6）（2a）4（3b)2＝2160a4b2；2．解：T2＋1＝Ceq\o\al（2，6）(3b）4(2a)2＝4860b4a2.所以,（3b＋2a）6的展开式中的第3项的系数为4860.3．解：因为a＝1，b＝2i,n＝5，由二项式定理,得（1＋2i)5＝Ceq\o\al(0,5）＋Ceq\o\al(1，5)2i＋Ceq\o\al(2,5）(2i)2＋Ceq\o\al（3,5）(2i)3＋Ceq\o\al（4,5)(2i)4＋Ceq\o\al（5,5)（2i）5＝1＋10i－40－80i＋80＋32i＝41－38ieq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（课堂小结)）1．知识收获:二项式定理；二项式定理的表达式以及展开式的通项、二项式系数与系数的概念．2．方法收获：正确区别“项的系数”和“二项式系数"．3．思维收获：类比思想、化归-归纳—猜想—证明思想．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（补充练习)）【基础练习】1．已知（1＋x）n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍,求n的值．2．已知（ax＋1)7(a≠0)的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,求a的值．【答案或解答】1．依题意Ceq\o\al（3，n)＝7Ceq\o\al（1，n)，即eq\f（n（n－1）（n－2),6）＝7n，由于n∈N,整理得n2－3n－40＝0，解得n＝8。2．依题意Ceq\o\al(5,7）a2＋Ceq\o\al(3，7)a4＝2Ceq\o\al(4，7)a3.由于a≠0，整理得5a2－10a＋3＝0，解得a＝1±eq\f（\r（10),5）。【拓展练习】3．计算：(eq\r(a）＋1）5－(eq\r（a）－1）5。4．求证:32n＋Ceq\o\al（1,n)·32n－2＋Ceq\o\al（2，n）·32n－4＋…＋Ceq\o\al(n－1，n)·32＋1＝10n.答案：3.解：（eq\r（a）＋1）5－(eq\r(a）－1)5＝[(eq\r（a))5＋Ceq\o\al(1,5）（eq\r(a））4＋Ceq\o\al（2，5）（eq\r（a)）3＋Ceq\o\al（3，5）(eq\r(a）)2＋Ceq\o\al（4,5)eq\r(a）＋1]－［(eq\r（a)）5－Ceq\o\al（1,5)(eq\r（a））4＋Ceq\o\al(2，5）(eq\r(a）)3－Ceq\o\al（3,5)(eq\r（a）)2＋Ceq\o\al（4,5)eq\r(a）－1]＝2［Ceq\o\al(1,5)（eq\r（a))4＋Ceq\o\al(3，5)(eq\r（a））2＋2］＝10a2＋20a＋4。4．证明：右边＝10n＝（9＋1)n＝(32＋1)n＝32n＋Ceq\o\al（1，n)·32(n－1)＋Ceq\o\al（2,n）·32（n－2)＋…＋Ceq\o\al（n－1,n）·32＋1＝32n＋Ceq\o\al(1,n)·32n－2＋Ceq\o\al（2，n）·32n－4＋…＋Ceq\o\al（n－1，n）·32＋1＝左边,故原式得证．eq\o(\s\up7（），\s\do5(设计说明））二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程"，在教学中,采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识,引导学生运用计数原理来解决项数问题,明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以（a＋b)4为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导（a＋b）n的展开式提供了一种方法,使学生在后续的学习过程中有“法”可依．总之，本节课遵循学生的认识规律,由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题,发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．eq\o（\s\up7(），\s\do5（备课资料)）二项式定理的妙用在数学中，有许多美妙的命名和定理．二项式定理就是其中之一．首先，看一看我们的二项式定理：（a＋b）n＝Ceq\o\al(0,n）an＋Ceq\o\al(1,n）an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(r,n）an－rbr＋…＋Ceq\o\al（n,n)bn(n∈N*）．这个公式所表示的定理就是二项式定理．Tr＋1＝Ceq\o\al(r，n）an－rbr叫做二项展开式的通项公式，在这里r＋1才是项数，第一个位置的a按降幂排列,次数由n次降到0次，第二个位置的b按升幂排列，次数由0次升到n次,a、b可以是任意实数，也可以是任意式子,能深刻理解二项式定理的结构特征、通项公式，就有许多美妙的用处．其次，谈谈二项式定理的妙用：1)若在二项式定理中,令a＝1、b＝1，就能得到Ceq\o\al(0,n）＋Ceq\o\al(1，n）＋Ceq\o\al(2,n）＋…＋Ceq\o\al(n,n）＝2n，即各二项式系数之和等于2n,也是含n个元素的集合的所有子集有2n个，其中非空子集、真子集都有（2n－1）个,非空真子集有（2n－2）个．2)若令a＝1、b＝－1，则可得Ceq\o\al(0，n）－Ceq\o\al(1,n）＋Ceq\o\al(2,n)－Ceq\o\al（3，n)＋…＋（－1）nCeq\o\al（n,n）＝(1－1)n＝0，即Ceq\o\al(0，n)＋Ceq\o\al(2，n)＋…＝Ceq\o\al（1,n)＋Ceq\o\al(3,n）＋…＝2n－1,也就是在(a＋b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和且等于2n－1。3）在二项式定理中，若令a＝1、b＝x，则得到公式(1＋x)n＝1＋Ceq\o\al（1,n)x＋Ceq\o\al（2，n）x2＋…＋Ceq\o\al（r,n）xr＋…＋Ceq\o\al（n，n)xn，其有鲜明的形式特征，可快速准确地展开类似的二项式．4）充分利用二项式的通项公式可以求出我们所要的任意一项．5)在二项式定理中,若令未知数的系数等于1，就可以得到二项展开式中各项系数之和．f(x)＝（px＋q）n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，则有a0＋a1＋a2＋……＋an＝f(1），a0－a1＋a2－a3＋……＋(－1）nan＝f（－1），a0＋a2＋a4＋……＝eq\f（1,2)［f(1)＋f（－1）］，a1＋a3＋a5＋……＝eq\f（1,2）［f（1）－f(－1)]．6）用二项式定理可以很好地解决整除问题．例如①求证32n＋2－8n－9能被64整除．②求证5151－1能被7整除等．7)在二项式系数表中，淋漓尽致地体现了组合数的两个重要性质：①Ceq\o\al（r,n)＝Ceq\o\al(n－r，n)，②Ceq\o\al（r，n＋1）＝Ceq\o\al(r－1，n）＋Ceq\o\al（r，n）。8)二项式系数Ceq\o\al(r，n）（r＝0、1、2…、n)中，当n为偶数时,中间一项Ceq\f(n,2)n取得最大值,当n为奇数时，中间两项Ceq\f（n－1，2）n，Ceq\f(n＋1，2)n相等且同时取得最大值，且分别是第eq\f(n,2）＋1项与第eq\f（n－1,2）＋1项和第eq\f（n＋1，2）＋1项．9)在二项式定理中，使用递推法，即Tr,Tr＋1,Tr＋2系数间的关系可以解决系数最值问题．10)利用二项式定理可以解决近似计算问题．11)理解透彻二项式定理的结构关系,能应用它求解、证明许多式子．例如：1＋2Ceq\o\al（1，n）＋4Ceq\o\al(2,n）＋…＋2n－1Ceq\o\al(n－1，n)＋2nCeq\o\al(n，n）＝3n；2n－Ceq\o\al(1，n）2n－1＋Ceq\o\al(2,n)2n－2＋…＋（－1）n－1Ceq\o\al（n－1,n）2＋(－1)n＝1;Ceq\o\al(1,n）＋2Ceq\o\al（2，n)＋4Ceq\o\al(3,n)＋…＋2n－1Ceq\o\al（n,n)＝？在（2－x）n中若xn项的系数为an（n＝2，3,4,…）则eq\f(22,a2）＋eq\f（23，a3)＋eq\f（24,a4）＋…＋eq\f（2n,an）＝？…总之，巧妙地应用二项式定理可以解决许多有趣实用的问题．希望大家都能喜欢数学,学习数学，应用数学．(设计者：毕晓岩)1．3。2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标知识与技能1．利用二项式定理得出二项式系数的一些性质；2．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题．过程与方法1．熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论;2．熟练运用赋值法求一些代数式的值．情感、态度与价值观1．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．2．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统,陶冶学生的爱国主义情操,进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：了解“杨辉三角”的结构与规律，掌握二项式系数的一些性质，掌握赋值法．教学难点:二项式系数性质的得到和证明,利用二项式系数的性质解决有关问题．eq\o（\s\up7(）,\s\do5(教学过程））eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(引入新课）)前面我们学习了二项式定理，请回顾：(1)（a＋b）n＝__________________（n∈N＊），这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式右边的多项式叫做(a＋b)n的__________________,其中Ceq\o\al(r,n)(r＝0,1,2,…，n）叫做____________，通项是指展开式的第________________项，展开式共有______________项．(2）什么是二项式系数?什么是系数？活动设计：学生先独立回忆，然后独立发言，其他同学进行补充，必要时可以看书．活动结果：(答案展示）（1）(a＋b）n＝Ceq\o\al（0,n)an＋Ceq\o\al（1，n）an－1b＋Ceq\o\al（2，n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(r，n）an－rbr＋…＋Ceq\o\al（n，n)bn(n∈N）、展开式、二项式系数、r＋1、n＋1。（2）二项式系数是Ceq\o\al(r,n），系数是变量前的常数．设计意图：通过复习二项式定理的有关知识，为发现杨辉三角的有关性质打下基础，形成知识储备，引出本节课要研究的内容．提出问题：计算（a＋b)n展开式的二项式系数并填入下表n展开式的二项式系数1234567活动设计:通过学案或者投影展示表格，学生填空，学生之间可以交流，教师指导．

活动成果：n展开式的二项式系数11121213133141464151510105161615201561设计意图：当二项式的次数不大时,可借助它直接写出各项的二项式系数．通过计算填表，让学生发现其中的规律．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(探究新知））提出问题：当表示形式为“三角形"时，该表格有什么规律?活动设计：学生自主解决，自由发言，自主探究．活动成果:(这个表在我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，称为杨辉三角．但是在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，他们把这个表称为帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的)设计意图：为了使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉,要求学生填表，观察表格，探索规律，体会“表示形式的变化有时能帮助我们发现规律”这句话的深刻哲理与方法，由学生自己说说其中的规律．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（理解新知））提出问题1：观察杨辉三角的每一行，正数第1个数与倒数第1个数，正数第2个数与倒数第2个数，正数第3个数与倒数第3个数，…它们有什么样的等量关系？你能把你的想法概括成一句话吗?活动设计：通过展示表格与杨辉三角，让学生自己观察，发现结论，踊跃发言，勇于探索．活动成果：正数第1个数与倒数第1个数相等,正数第2个数与倒数第2个数相等,正数第3个数与倒数第3个数相等，…(板书）二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等,即Ceq\o\al（m，n）＝Ceq\o\al(n－m，n）.设计意图：引导学生猜想，猜想是发现的开始．通过杨辉三角得到“对称性”，进一步加深学生对二项式系数性质的掌握，这条性质实际上是组合数的一个性质．提出问题2：观察杨辉三角的相邻两行，看看下一行中除了“1”之外的数与上一行中的数有什么关系?活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．活动成果：表中任一不为1的数都等于它肩上的两个数的和，即（板书）(2)Ceq\o\al(r,n＋1)＝Ceq\o\al（r－1,n）＋Ceq\o\al（r,n)。设计意图：通过新发现（杨辉三角）,重新验证旧知识，能够提升学生对此公式的理解与掌握，加深学生对二项式系数性质的理解，能够在最大程度上提升学生的认知水平，这条性质实际上是组合数的另外一个性质．提出问题3：观察每一行中的二项式系数的大小变化情况，有单调性吗？有最值吗？活动设计：学生未必一下能说清楚,尽量鼓励学生说，让他们积极参与．教师始终是引导者，学生始终是课堂的主体．引导学生从多个方面分析二项式系数的大小关系,如利用特殊值法观察归纳、利用函数图象画图观察等等．先由学生独立完成，然后组织全班讨论，学生之间可以相互求助．活动成果:因为Ceq\o\al（k,n)＝eq\f（n(n－1)（n－2）…(n－k＋1)，（k－1）!k)＝Ceq\o\al（k－1，n）eq\f（n－k＋1，k），所以Ceq\o\al(k,n)相对于Ceq\o\al(k－1，n）的增减情况由eq\f(n－k＋1，k）决定．由eq\f（n－k＋1,k）〉1k<eq\f(n＋1,2)可知，当k〈eq\f(n＋1,2）时,二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时,中间的一项取得最大值，即Ceq\f(n，2)n最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值,即Ceq\f(n－1,2)n＝Ceq\f（n＋1，2）n，即Ceq\f（n－1,2)n，Ceq\f（n＋1，2)n最大．（板书)(3）增减性与最大值:二项式系数由两边向中间增大，并且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间的一项取得最大值,即Ceq\f(n，2）n最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即Ceq\f（n－1，2）n＝Ceq\f(n＋1，2)n最大．设计意图：由于二项式系数组成的数列是一个离散函数，所以我们应该引导学生从函数的角度或从特殊值的角度研究二项式系数的性质．这样处理便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，体会由特殊到一般的化归思想．难点是需要根据n的奇偶性确定相应的分界点，教学时应该引导学生分析其对称轴实际上是k＝eq\f(n,2），从而学生可以比较容易地理解并记住最值在哪一项被取到．提出问题4：计算“杨辉三角”中每一行的和，观察其规律,并写出其公式．活动设计:学生自主探究，归纳整理，踊跃发言，教师应该多加鼓励,但是不能代替学生,自始至终都要保护学生的积极性，保持学生的主体性，教师仅仅是一名导演而已．活动成果：已知(1＋x)n＝Ceq\o\al（0，n)＋Ceq\o\al（1，n）x＋Ceq\o\al（2，n)x2＋…＋Ceq\o\al（r,n)xr＋…＋Ceq\o\al（n,n）xn，令x＝1，则2n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al（1,n)＋Ceq\o\al（2，n）＋…＋Ceq\o\al(r,n）＋…＋Ceq\o\al（n，n）.即二项式系数之和等于2n.我们把这样的方法称为赋值法，赋值法是一类解决二项式系数的性质的优越办法．(板书）(4)各二项式系数的和:Ceq\o\al(0，n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(r，n）＋…＋Ceq\o\al（n，n)＝2n.设计意图：本环节的设置与本节的大环境一致,都是通过特殊的例子发现最一般的结论，提高学生的认知能力、观察能力及化归能力，加深对二项式系数性质的掌握与应用．实际上这条性质,我们在组合数或者集合的子集中遇到过，教师也可以从这方面入手进行引导，能够进一步加深学生对这一部分知识的理解与掌握，让学生体会到数学知识的前后联系,能够最大限度地达到教学目标．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(运用新知))例1下面的二项展开式中，哪些项的二项式系数最大？是多少？填在相应的横线上．（1）（a＋b）20第________________项的二项式系数最大，是______________________；（2）(a＋b)19第________________项的二项式系数最大，是______________________．思路分析：根据二项式系数的性质(3)即可解决，但要分清n的奇偶性．解：（1）若n＝20，则当r＝10时，二项式系数最大，所以第11项的二项式系数最大,是Ceq\o\al（10,20）.(2)若n＝19，则当r＝9或10时,二项式系数最大，所以第10或11项的二项式系数最大，是Ceq\o\al(9,19）＝Ceq\o\al(10，19).点评：通过n的奇偶性的不同,考查了二项式系数的性质(3），但是要注意这是二项式系数的最大值，不一定就是系数的最大值．【巩固练习】（1＋2x）n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意Ceq\o\al（4，n)＝Ceq\o\al(7,n），所以n＝4＋7＝11，从而展开式中二项式系数最大的项是中间两项，即第6项与第7项．例2证明:在（a＋b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．思路分析：奇数项的二项式系数的和为Ceq\o\al(0,n）＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al（4,n）＋…,偶数项的二项式系数的和为Ceq\o\al(1,n）＋Ceq\o\al（3,n）＋Ceq\o\al(5,n)＋…，由于(a＋b)n＝Ceq\o\al(0，n)an＋Ceq\o\al（1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2，n）an－2b2＋…＋Ceq\o\al（r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al（n,n）bn（n∈N)中的a，b可以取任意实数，因此我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和．这一点可以从性质（4)的推导来获得．证明：在展开式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n）an＋Ceq\o\al（1,n）an－1b＋Ceq\o\al(2，n）an－2b2＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n）bn（n∈N)中,令a＝1，b＝－1，则得(1－1）n＝Ceq\o\al(0，n)－Ceq\o\al（1,n)＋Ceq\o\al(2，n）－Ceq\o\al（3，n）＋…＋(－1）nCeq\o\al（n，n），即0＝（Ceq\o\al（0，n）＋Ceq\o\al(2，n)＋…）－(Ceq\o\al（1,n）＋Ceq\o\al（3,n）＋…)，所以Ceq\o\al(0,n）＋Ceq\o\al(2，n)＋…＝Ceq\o\al(1，n)＋Ceq\o\al(3，n）＋…,即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．点评：赋值法是解决二项式定理与二项式系数的一种很重要的方法，凡是与二项式系数和或者系数和有关的问题,都有可能通过赋值法获得解决．实际上我们还可以利用函数思想解决这个问题，即令f(x)＝Ceq\o\al（0，n)＋Ceq\o\al（1,n）x＋Ceq\o\al（2,n）x2＋…＋Ceq\o\al（r，n）xr＋…＋Ceq\o\al（n,n）xn,由f（－1)＝0，即可很容易地得到要证明的结果．【巩固练习】Ceq\o\al（1,7）＋Ceq\o\al（2,7)＋Ceq\o\al（3，7）＋…＋Ceq\o\al（7，7)＝__________解：因为Ceq\o\al（0，7)＋Ceq\o\al（1，7)＋Ceq\o\al(2,7）＋Ceq\o\al(3,7)＋…＋Ceq\o\al(7,7）＝27＝128，所以Ceq\o\al（1，7)＋Ceq\o\al（2，7）＋Ceq\o\al（3，7）＋…＋Ceq\o\al(7,7）＝128－1＝127。【变练演编】1．当Ceq\o\al（0,n）＋Ceq\o\al(1,n）＋Ceq\o\al（2,n）＋…＋Ceq\o\al(r，n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2048时，n＝________。2．当Ceq\o\al（0，n)＋Ceq\o\al（2，n）＋Ceq\o\al(4，n)＋…＝2048时，n＝________。3．当Ceq\o\al(x,n）＝Ceq\o\al（y，n)时，其中n≥x，n≥y,x，y，n∈N＊，则x,y所满足的关系式是__________．4．当（1＋2x)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大时,n＝________________.请将你所能想到的所有答案都一一列举出来．1．解:由2n＝2048＝211,得n＝11。2．解：由2n－1＝2048＝211，得n＝12。3．解：由题意x＝y或x＋y＝n.4．解:由性质（3)知，eq\f（n,2)＋1＝7,所以n＝12.设计意图:本环节的设计源于一种非常好的教学方法：变练演编．这种开放性的设计，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维．一堂好的数学课必须让学生创新，使得学生有所收获．通过这种方式的训练,让学生去创造题目,解决问题，增加了中学生学习数学的兴趣，进一步掌握了“杨辉三角”的有关性质，能力得到了提高．【达标检测】1．展开式1＋2Ceq\o\al（1,10)＋4Ceq\o\al（2，10）＋…＋210Ceq\o\al（10，10）＝________.2．(xeq\r(y）－eq\f(1,2)yeq\r(x))13展开式的中间项是__________．3．已知（x3＋eq\f(1，x2)）n的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求展开式中不含x的项．1．解：在(1＋x）10＝eq\i\su（r＝0，10,）Ceq\o\al(r,10）xr中，令x＝2，得1＋2Ceq\o\al(1，10）＋4Ceq\o\al（2，10)＋…＋210Ceq\o\al（10,10)＝（1＋2)10＝310＝59049。2．解：中间项是第7、8项，即eq\f（429，16）x10yeq\f(19，2)、－eq\f（429,32）y10xeq\f（19，2)。3．解：由题意n＝10，展开式的通项为Ceq\o\al(r,10)x30－5r，所以当r＝6时，不含x的项是210.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结））活动设计:给学生2分钟的时间,让学生总结出本节课所学的主要知识、方法与技能，教师尽量不要代劳，能让学生说的教师绝不可以“越俎代庖”．活动成果:(板书)1．知识收获：杨辉三角的发现，二项式系数的四个主要性质．2．方法收获：如何求二项式系数的最大值以及理解赋值法的实质及其应用．3．思维收获：增强爱国主义情感,使学生对我们国家古代的伟大数学成就有所了解,进一步增强其民族自豪感；通过杨辉三角的发现，体会推理—猜想的重要性，体会函数思想、化归思想．设计意图:学生能自己表达的就让他自己表达，学生能自己解决的就让他自己解决，学生能自己总结的就让他自己总结，通过让学生自己总结本节课的学习内容与方法，不但可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！这样不但能充分体现新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁”精神，真正体现了学生的主体地位．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(补充练习））【基础练习】1．Ceq\o\al（1，10)＋Ceq\o\al(3,10)＋Ceq\o\al(5,10）＋Ceq\o\al（7,10）＋Ceq\o\al（9，10）＝______________.2．Ceq\o\al（1,11）＋Ceq\o\al（2，11）＋Ceq\o\al（3，11）＋Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(5,11）＝________________________.3．若(a＋b）n的展开式中，各项的二项式系数和为8192，则n的值为（）A．16B．15C．14D．134．一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮,则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为()A．20B．219C．220D．220－1【答案或解答】1．5122．利用对称性,原式为eq\f(211，2）－1＝10233．D4.D【拓展练习】5．若（eq\r(3，\f（1，x））＋eq\r（5,\f（1，x2))）n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，求它的中间项．6．已知(2x＋xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120,求x的值．答案：5。解:系数之和即为二项式系数之和，由2n－1＝1024，得n＝11,所以展开式的中间项为第6、7项，分别为462x－4、462x－eq\f(61,15）.6．解：依题意T5＝Ceq\o\al（4，8）（2x）4(xlgx)4＝1120，整理得x4(1＋lgx）＝1,两边取对数，得lg2x＋lgx＝0,解得lgx＝0或lgx＝－1.∴x＝1或x＝eq\f(1，10）。eq\o(\s\up7（），\s\do5（设计说明))二项式系数性质是《二项式定理》的重要内容之一,教材从传授知识的角度出发,有它的合理性,但教学过程中不能照本宣科平铺直叙．经过认真探索,发现从杨辉三角去探索二项式系数性质有助于学生掌握这部分知识，提高其数学能力．同时还能发挥教材中史情内容的教育功能,唤起民族的自尊心、自信心和爱国主义热情,并转化为学习数学的动力而发奋学习．这样设计这堂课，主要有以下几个原因：第一，二项式定理这部分内容比较枯燥，需要记忆的知识点也比较多,要求教师不断地挖掘规律，简化学生的记忆负担．即使如此,学生的学习仍处于被动状态，所以这节课,要想充分发挥学生的积极性，化被动为主动，因此引入了杨辉三角，利用图表的直观性很容易发现规律,这个规律是由学生自己发现的，当然也就容易记忆．第二,以往我们处理二项式系数的性质这一节时，总是将性质用定论的形式直接呈现在学生面前，然后自己再说出证明方法，紧接着就是上例题做练习．这样，似乎是开门见山，直截了当，节约时间，但忽视了很重要的一点．数学教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方法不是作为思维过程暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送"的做法势必回避了数学思想的培养．长此以往，学生的数学素质很难得到提高．第三，教与学是一对矛盾，它是一个已知教未知和未知求新知的过程，两者对立统一、辩证发展．现代教育学强调：“在教学过程中，应自始至终地确立学生的主体地位及教师在教学中的主导作用．”那么在“以教师为主导，学生为主体”的教学思想指导下，如何来发挥“主导与主体"作用呢？我们认为一定要突出“引”和“放"，即在教师正确引导下,放开让学生积极参与教学，而不是简单地接收、模仿．这里关键在于教师设法创造良好的教学环境，思路一起探索，疑难一同解决，规律共同发现，结论一起获得,错误一起纠正，师生密切配合才能提高学生的学习效果，促进其个性健康发展．第四,要充分发挥“以教师为主导、学生为主体”的作用,首先要深入研究教材,结合教材具体内容及学生实际情况和需求(学生感兴趣),创设适合学生思维水平的教学环境，贯彻启发性原则，激发学习动机，引起学习兴趣，使学习成为自觉需求才能吸引学生积极参与,突出“引"与“放”．本课如果照本宣科则平淡无奇，对学生思维能力的培养毫无作用．上述做法使大多数学生在教师引导下“跳一跳，能摸到”，促进学生思维能力的提高．第五，引导学生积极参与的内容要防止两种情形．一是过易，不能充分发挥学生的主体作用．二是过难,学生摸不着头绪就没兴趣参与．教师要在充分了解学生的原有认知结构的前提下，确立一个相对较低的起点，难度高的还要适当铺设台阶，多层次展开问题，使每个层次的学生在我们引导下都能积极参与,做到一分耕耘一分收获．第六，要重视并加强对学生数学思想方法的培养,善于揭示教材的内隐性．像杨辉三角教学中，它的德育、美育功能具有外露性，智力功能比较内隐，如果不是精心研究，并去揭示三角数阵的结构,以及它与二项式系数性质相联系的规律，不去展开观察、分析、类比和归纳等思维过程，就不能够发展学生的智能，其他功能也会受影响．只有当学生从被动上升到主动去应用这些数学思想和方法，才能形成能力,培养学生只学会还不够,教师培养学生的目标是使之会学，那将是受益终身的财富．eq\o（\s\up7（),\s\do5（备课资料)）伟大的数学家——杨辉杨辉（约1238年~约1298年)，字谦光，钱塘(今浙江杭州）人,是中国南宋时的数学家．杨辉生于宋理宗嘉熙二年(1238年)，卒于元成宗大德二年（1298年)，是中国南宋末年的数学家、数学教育家，大约在13世纪中叶活动于苏杭一带．杨辉的数学著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年)、《日用算法》二卷（1262年)、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷(1275年）、《续古摘奇算法》二卷(1275年)．在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法．杨辉可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了构成规律的数学家．除此成就之外，他还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”．大家认识杨辉的名字，基本上都是从“杨辉三角形”上来的．其实，所谓的“杨辉三角形”，并不是杨辉首创，而是北宋的贾宪在他的著作《黄帝九章算经细草》中提出的．此书成于公元1050年左右，其中的“开方做法本源图”就是杨辉三角形的原型，所以也被称为“贾宪三角形”．这个三角形的每一行，对应的是二项式(a＋b)n展开式的系数．杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面．杨辉对筹算乘除捷算法进行了总结和发展，有的还编成了歌诀，如“九归”口诀．杨辉创“纵横图”之名,在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的纵横图及有关的构造方法．垛积术，是杨辉继沈括“隙积术”之后,关于高阶等差级数的研究．杨辉的“纂类”中，是将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序,重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类．杨辉是一位杰出的数学教育家,重视数学的普及，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的一项重要文献．另一方面，他在宋度宗咸淳年间的两本著作里，亦有提及当时南宋的土地价格．这些资料亦对后世史学家了解南宋经济发展有很重要的帮助．在《乘除通变算宝》中，杨辉创立了“九归"口诀,介绍了筹算乘除的各种速算法等等．在《续古摘奇算法》中,杨辉列出了各式各样的纵横图（幻方)，它是宋代研究幻方和幻圆的最重要的著述．杨辉对中国古代的幻方，不仅有深刻的研究，而且还创造了一个名为攒九图的四阶同心幻圆和多个连环幻圆．杨辉在数学上的另一个重要的贡献是提出了幻方的构造方法．所谓的幻方,就是指在N×N的格子中填入1到N平方的自然数，使每一行每一列的和都相等．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫图或者洛书,写成数字的形式，就是：四九二三五七八一六还有一个口诀：“二四为肩、六八为足、左三右七、戴九履一、五居中央．”传说是黄帝时代，洛水中浮起一只大龟，背上刻着这样的图案．洛书配上八卦，用在风水学上，被称为洛书轨迹，用在奇门遁甲中，则形成了“休死伤杜开惊生景”八门．诸葛亮最擅长的八阵图就是源于此．杨辉收集整理了很多不同阶的幻方,称其为“纵横图”，并写到了自己的著作《续古摘奇算法》一书中，可以说是世界上第一个给出如此多的幻方并讨论了它们的组成规律的数学家．幻方的构造可以按照一个固定的规律，按奇数阶和偶数阶的不同，构造的方法也不一样．奇数阶的构造很容易．首先从最后一行的中间开始填起,从一开始递增,向斜下方延伸．如果超出了边界，就从相对边的位置继续．如果遇上已经填过的格子，就从填过的格子上方的格子继续．大家可以对照三阶幻方来看出这个规律．对于偶数阶幻方,如果是四的倍数，很容易，只要首先把从1到N平方的数字先按照行的方向填好，变成下面的样子:12345678910111213141516然后除了对角线上面的数字不动以外，其他的数字跟中心对称位置的数字对调：11514412679810115133216这样就构造好了．对于阶数是4m＋2的幻方，构造的方法比较复杂．不过步骤是先构造好中心的幻方，然后在周围加上一圈数字就可以了．由于杨辉在数学上的杰出成就，他和秦九韶,李冶，朱世杰一起被后人并称为“宋元数学四大家”．（设计者：毕晓岩)二项式定理习题课教学目标知识与技能1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．过程与方法1．能解决二项展开式的有关概念问题:项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．情感、态度与价值观1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力,能在一定高度上进行数学知识的应用．2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：掌握二项展开式,掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．教学难点：利用二项式定理解决有关问题,利用二项式系数的性质解决有关问题．eq\o（\s\up7（），\s\do5（教学过程)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(复习巩顾)）前面我们学习了二项式定理,请回顾:1．(a＋b)n＝________________（n∈N＊）,这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做（a＋b）n的______________,其中Ceq\o\al（r,n）(r＝0，1，2，…，n)叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律）(1）对称性：____________________。(2)性质2：______________________。(3)二项式系数的最大值________________________．(4）二项式系数之和____________________，所用方法是____________________．答案：1．(a＋b)n＝Ceq\o\al（0，n）an＋Ceq\o\al（1,n）an－1b＋Ceq\o\al(2,n）an－2b2＋…＋Ceq\o\al（r，n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N)、展开式、二项式系数、r＋1、n＋1、Ceq\o\al(r，n）、变量前的常数2．(1）Ceq\o\al(m,n)＝Cn－mn（2)Ceq\o\al（r,n＋1)＝Ceq\o\al(r－1，n)＋Ceq\o\al(r,n)（3）当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即Ceq\f(n,2）n最大；当n是奇数时，中间的两项相等,且同时取得最大值，即Ceq\f（n－1,2）n＝Ceq\f(n＋1，2）n最大（4)Ceq\o\al（0,n)＋Ceq\o\al（1，n)＋Ceq\o\al(2，n）＋…＋Ceq\o\al(r,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n）＝2n赋值法eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(典型示例))类型一：二项展开式的有关概念例1试求：(1）(x3－eq\f（2，x2)）5的展开式中x5的系数;（2)（2x2－eq\f（1,x））6的展开式中的常数项；(3)在（eq\r（3)x＋eq\r（3，2))100的展开式中，系数为有理数的项的个数．思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数,什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手,根据变量的系数、指数进行判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项．解:（1）Tr＋1＝Ceq\o\al(r，5）（x3)5－r（－eq\f（2,x2))r＝(－2）rCeq\o\al(r，5)x15－5r，依题意15－5r＝5,解得r＝2.故（－2)2Ceq\o\al(2,5)＝40为所求x5的系数．（2）Tr＋1＝Ceq\o\al（r,6）(2x2)6－r(－eq\f（1,x）)r＝（－1)r·26－r·Ceq\o\al（r，6）x12－3r，依题意12－3r＝0，解得r＝4.故（－1)4·22Ceq\o\al（2,6）＝60为所求的常数项．（3)Tr＋1＝Ceq\o\al（r，100）(eq\r(3)x)100－r（eq\r(3,2））r＝Ceq\o\al(r，100）·350－eq\f（r，2）·2eq\f(r，3)x100－r,要使x的系数为有理数，指数50－eq\f（r，2)与eq\f(r，3）都必须是整数，因此r应是6的倍数，即r＝6k(k∈Z），又0≤6k≤100，解得0≤k≤16eq\f（2,3)(k∈Z），∴x的系数为有理数的项共有17项．点评:求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．【巩固练习】试求：（1)（x＋2）10(x2－1)的展开式中x10的系数；(2)(|x｜＋eq\f(1，｜x|）－2)3的展开式中的常数项．解：(1)∵（x＋2）10＝x10＋20x9＋180x8＋…,∴（x＋2）10（x2－1)的展开式中x10的系数是－1＋180＝179.(2）∵（|x|＋eq\f(1，｜x|）－2）3＝（eq\r（|x｜）－eq\f（1,\r(|x｜）））6,∴所求展开式中的常数项是－Ceq\o\al（3,6）＝－20。类型二：二项展开式的有关应用——简单应用例2求（x－1）－（x－1)2＋（x－1）3－（x－1）4＋（x－1)5的展开式中x2的系数．解:∵(x－1)－(x－1)2＋(x－1）3－(x－1）4＋（x－1）5＝eq\f（x－1{1－[－x－1］5},1－[－x－1］）＝eq\f(x－1＋x－16,x）,∴所求展开式中x2的系数就是(x－1)6的展开式中x3的系数－Ceq\o\al（3，6）＝－20.点评：这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题,求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．能够最大限度地考查学生对知识的把握程度．【巩固练习】(1－x）5＋(1－x）6＋(1－x)7＋（1－x）8的展开式中x3项的系数是（）A．74B．121C．－74D．－121解析：先求和:（1－x)5＋（1－x)6＋（1－x）7＋(1－x）8＝eq\f(1－x5[1－1－x4]，1－1－x)＝eq\f(1－x5［4x－6x2＋4x3－x4］,x），分子的展开式中x4的系数，即为原式的展开式中x3项的系数，（－1)×1＋4×(－Ceq\o\al(1，5）)－6Ceq\o\al（2,5)＋4×（－Ceq\o\al（3，5)）＝－1－20－60－40＝－121，所以选D。答案：D类型三：二项展开式的有关应用：整除、不等式、近似值等问题例3证明：(1）2≤(1＋eq\f（1，n）)n<3，其中n∈N＊;（2)证明：对任意非负整数n,33n－26n－1可被676整除．思路分析：对于二项式中的不等式，通过展开式,分析其中的特殊项，可以证明一些简单的不等式问题；对于整除问题同样如此，关键是把二项式拆成676的形式；对于比较麻烦的数列问题，我们经常采用的方法就是数学归纳法，本题也不例外．证明：（1）（1＋eq\f(1,n))n＝1＋Ceq\o\al(1，n）·eq\f（1，n)＋Ceq\o\al（2，n）(eq\f（1,n)）2＋…≥2(当且仅当n＝1时取等号)．当n＝1时,(1＋eq\f(1，n)）n＝2〈3显然成立；当n≥2时，（1＋eq\f（1，n))n＝Ceq\o\al（0，n)＋Ceq\o\al(1,n）·eq\f(1,n）＋Ceq\o\al（2,n）·eq\f(1，n2)＋…＋Ceq\o\al(n,n）·eq\f（1，nn)＝2＋eq\f（n（n－1），2！)eq\f(1，n2）＋eq\f(n（n－1）（n－2),3！）eq\f(1，n3)＋…＋eq\f(n（n－1）…2·1，n！)eq\f（1,nn)＝2＋eq\f（1,2！)eq\f（n,n）eq\f（n－1,n）＋eq\f(1,3！）eq\f（n，n）eq\f（n－1,n）eq\f（n－2,n)＋…＋eq\f(1，n！)eq\f(n，n）eq\f(n－1,n)…eq\f(2,n）eq\f（1,n）〈2＋eq\f(1,2!）＋eq\f（1,3！）＋…eq\f(1,n！）<2＋eq\f（1，1×2）＋eq\f（1,2×3)＋…＋eq\f（1，n（n－1))＝2＋(1－eq\f(1,2）)＋(eq\f（1，2)－eq\f（1，3）)＋…＋（eq\f（1，n－1）－eq\f(1,n）)＝3－eq\f（1，n)〈3。综上所述：2≤（1＋eq\f(1,n)）n〈3,其中n∈N*。（2)当n＝0，n＝1时33n－26n－1＝0,显然33n－26n－1可被676整除．当n≥2时，33n－26n－1＝27n－26n－1＝(1＋26）n－26n－1＝1＋26n＋Ceq\o\al（2,n)·262＋…＋Ceq\o\al(n，n)·26n－26n－1＝Ceq\o\al(2,n）·262＋Ceq\o\al（3，n）·263＋…＋Ceq\o\al(n,n）26n＝676（Ceq\o\al（2，n）＋26Ceq\o\al（3，n)＋…＋26n－2Ceq\o\al(n，n)）．综上所述：对任意非负整数n,33n－26n－1可被676整除．点评：用二项式定理解决整除问题是二项式定理的一大特色，这是二项展开式的一种基本应用,通过对二项式的拆解，我们可以解决一些看似很难但易解决的问题．【巩固练习】已知m，n是正整数,f（x）＝（1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7,（1)试求f（x）中的x2的系数的最小值;（2）对于使f（x)中的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；(3)利用上述结果，求f（0。003）的近似值(精确到0。01)．解：根据题意得：Ceq\o\al（1,m)＋Ceq\o\al（1，n)＝7,即m＋n＝7.（*）（1）x2的系数为Ceq\o\al(2,m）＋Ceq\o\al(2,n）＝eq\f(m（m－1),2)＋eq\f（n（n－1），2）＝eq\f（m2＋n2－m－n,2）。将（＊)变形为n＝7－m代入上式得：x2的系数为m2－7m＋21＝(m－eq\f（7，2))2＋eq\f（35，4).故当m＝3或4时,x2的系数的最小值为9。(2）当m＝3,n＝4或m＝4，n＝3时，x3的系数为Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4）＝5。（3）f(0.003）≈2。02。类型四：二项式系数的最大值、系数的最大值问题例4求(x－1）9的展开式中系数最大的项．思路分析:二项式系数最大的项我们可以根据公式求解，但是系数最大的项怎么求呢？观察本题中二项式系数与系数之间的关系，我们发现它们只不过相差一个负号而已,所以可以通过二项式系数的大小反映系数的大小，只不过要注意正负号．解：Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r，9)x9－r。∵Ceq\o\al(4，9）＝Ceq\o\al（5,9)＝126,而（－1）4＝1，（－1）5＝－1，∴T5＝126x5是所求系数最大的项．点评：此类问题仍然是利用二项展开式的通项公式来求解,但在解题过程中要注意一些常用方法和数学思想的应用．【巩固练习】求(eq\r（x）＋eq\f(1,2\r（4,x）)）8展开式中系数最大的项．解：记第r项系数为Tr，设第k项系数最大，则有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（Tk≥Tk－1,,Tk≥Tk＋1，）)又Tr＝Ceq\o\al(r－1，8）2－r＋1，那么有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(C\o\al(k－1,8）2－k＋1≥C\o\al（k－2,8)2－k＋2，，C\o\al（k－1,8)2－k＋1≥C\o\al(k,8)2－k，）)即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（8！，（k－1)！(9－k)！)≥\f（8!，（k－2)!(10－k）!)×2，,\f（8!，(k－1)!(9－k）!)×2≥\f(8!,k!（8－k)!)，))∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（1，k－1）≥\f（2，k－2），,\f（2，9－k)≥\f（1，k).））解得3≤k≤4，∴系数最大的项为第3项T3＝7xeq\f(5,2）和第4项T4＝7xeq\f（7,2）。类型五：二项式系数之和、系数之和等问题例5若（2x＋eq\r（3）)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4,则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3）2的值等于__________;思路分析：注意到与系数的和差有关，所以可以用赋值法求得奇数项的系数之和与偶数项的系数之和，注意使用平方差公式．解:令x＝1,得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋eq\r（3))4,令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(eq\r（3)－2)4，由此可得（a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3）2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4）（a0－a1＋a2－a3＋a4）＝[(eq\r(3)＋2）（eq\r（3)－2)]4＝1.点评：在二项式系数的性质应用中，尤其是系数和的问题，我们经常使用赋值法，这是一种奇妙的方法，可以帮助我们在不用计算每一个系数的前提下，求出各个系数的和．【巩固练习】已知(1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求（1)a0＋a1＋…＋a7的值；（2)a0＋a2＋a4＋a6及a1＋a3＋a5＋a7的值；(3）各项二项式系数和．解:（1）令x＝1，则a0＋a1＋…＋a7＝－1.(2）令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝2187。则a1＋a3＋a5＋a7＝－1094；a0＋a2＋a4＋a6＝1093。(3)各项二项式系数和Ceq\o\al（0，7）＋Ceq\o\al(1,7)＋…＋Ceq\o\al（7,7)＝27＝128。【拓展实例】例1（1＋eq\r(3,x）)6(1＋eq\f（1，\r(4，x））)10的展开式中的常数项为()A．1B．46C．4245D．4246思路分析:对于非一般的二项式问题,要注意转化成二项式问题解决．本题虽然有两个式子相乘，只要我们写出整个式子的通项，令指数为0,即可求得常数项．解：先求(1＋eq\r(3，x)）6的展开式中的通项．Tr＋1＝Ceq\o\al(r，6）(xeq\f(1，3））r＝Ceq\o\al(r，6）xeq\f（r，3),r＝0，1，2,3，4,5，6。再求（1＋eq\f(1，\r(4,x)））10的展开式中的通项．Tk＋1＝Ceq\o\al（k，10）(x－eq\f(1,4））k＝Ceq\o\al(k，10）x－eq\f(k，4）,k＝0，1,2,3,4，…，10。两通项相乘得：Ceq\o\al(r,6)xeq\f（r，3)Ceq\o\al（k,10）x－eq\f（k，4）＝Ceq\o\al（r，6）Ceq\o\al(k,10)xeq\f（r，3）－eq\f（k，4)，令eq\f(r，3）－eq\f（k，4)＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k）只有三组：（0,0)，（3,4)，（6，8)满足要求．故常数项为：1＋Ceq\o\al（3,6)Ceq\o\al（4