2024-2025学年北京市东城区汇文中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

第1页（共1页）2024-2025学年北京市东城区汇文中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1）3．（3分）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝3（x+2）2﹣5 B．y＝3（x+5）2+2 C．y＝3（x﹣2）2+5 D．y＝3（x+2）2+54．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，点A，B的对应点分别为D，E，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（）A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45° C． D．AE＝AB+CD5．（3分）在同一平面直角坐标系中表示y＝ax2和y＝ax+b（ab＞0）的图象是（）A． B． C． D．6．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，则∠BOD等于（）A．20° B．40° C．80° D．70°7．（3分）如图，△ABC绕某点旋转，得到△DEF（）A．（1，0） B．（1，﹣1） C．（0，﹣1） D．（0，0）8．（3分）若，B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y29．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0），其部分图象如图，则以下结论正确的有（）①abc＜0；②3a+c＜0；③若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2，且x1+x2＞﹣2，则一定有y1＞y2．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．（3分）如图，点A、C、E、F在直线l上，且AC＝2，四边形ABCD，EFGH，将正方形ABCD沿直线l向右平移，若起始位置为点C与点E重合，正方形ABCD的边位于矩形MNGH内部的长度为y，则y与x的函数图象大致为（）A． B． C． D．二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．（2分）二次函数y＝x2﹣（b+2）x+b的顶点在y轴上，则b＝．12．（2分）若二次函数y＝x2﹣2x+k的图象与x轴只有一个公共点，则k＝．13．（2分）已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，6）和B（7，3），则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是．14．（2分）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，那么桥拱所在圆的半径OA＝米．15．（2分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，若AP＝3，则PP'＝．16．（2分）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，∠CAB＝90°，则AE的长是．17．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C，若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为．18．（2分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，PB＝8，PC＝10°．19．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x…﹣1013…y…0﹣1.5﹣20…根据表格中的信息，得到了如下的结论：①二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2；④若y＞0，则x＞3．其中所有正确的结论为．20．（2分）数学课上，李老师提出如下问题：已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．求作：弧BC的中点D．同学们分享了四种方案：①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．④如图4，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，交⊙O于点D．上述四种方案中，正确的方案的序号是．三、解答题（21-26题每题6分，27-28题每题7分）21．（6分）已知二次函数y＝x2﹣6x+5．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．22．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．23．（6分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦（1）求证：∠CAO＝∠BCD；（2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的直径．24．（6分）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？25．（6分）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是3.05m，小明站在距篮圈中心水平距离6.5m处的点A练习定点投篮，篮球从小明正上方出手到接触篮球架的过程中当篮球运行的水平距离是x（单位：m）时，球心距离地面的竖直高度是y（单位：m）．小明进行了多次定点投篮练习（1）第一次训练时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m0123456竖直高度y/m22.73.23.53.63.53.2①结合表中数据，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求y与x满足的函数解析式；②判断小明第一次投篮练习是否投进篮筐，并说明理由；（2）将小明第1次投篮后，篮球运行到最高点时，篮球运行的水平距离记为d1，小明第二次训练时将球投进了篮筐，已知第二次训练与第一次训练相比，出手高度相同，则d1d2（填＞，＜或＝）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣1，m），N（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若m＝n，求t的值；（2）若c＜m＜n，求t的取值范围．27．（7分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°（不与A，B重合），点F与点A关于直线DE对称，连接DF．作射线CF，设∠ADP＝α．（1）用含α的代数式表示∠DCP；（2）连接AP，AF．求证：△APF是等边三角形；（3）过点B作BG⊥DP于点G，过点G作CD的平行线，交CP于点H．补全图形，并加以证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），给出如下定义：当点Q（x2，y2）满足x1•x2＝y1•y2时，称点Q是点P的等积点．已知点P（1，2）．（1）在Q1（2，1），Q2（﹣4，﹣1），Q3（8，2）中，点P的等积点是．（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，求点C的坐标．（3）已知点和点M（5，m），点N是以点M为中心，对于线段BN上的每一点A，在线段PB上都存在一个点R使得A为R的等积点

2024-2025学年北京市东城区汇文中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单选题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．是中心对称图形但不是轴对称图形；D．是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：A．2．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1）【解答】解：因为y＝（x﹣3）2+6是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，的顶点坐标是（3．故选：B．3．（3分）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝3（x+2）2﹣5 B．y＝3（x+5）2+2 C．y＝3（x﹣2）2+5 D．y＝3（x+2）2+5【解答】解：把抛物线y＝3x2向左平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度2+7，故选：D．4．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，点A，B的对应点分别为D，E，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（）A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45° C． D．AE＝AB+CD【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，∴△ABC≌△DEC，故A选项正确，不符合题意；由旋转可得，CD＝CA，AB＝DE，∴∠ADC＝∠DAC．∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC＝∠DAC＝45°，故B选项正确，不符合题意；∵∠ADC＝∠DAC＝45°，∴∠ACD＝90°，∴AD＝AC，故C选项正确，不符合题意；AE＝AD+DE＝CD+AB，故D选项不正确，符合题意．故选：D．5．（3分）在同一平面直角坐标系中表示y＝ax2和y＝ax+b（ab＞0）的图象是（）A． B． C． D．【解答】解：因为ab＞0，即a，当a＞0，b＞3时2的图象开口向上，函数y＝ax+b的图象经过一、二，可排除A、B；当a＜0，b＜4时2的图象开口向下，函数y＝ax+b的图象经过二、三．可排除C．故选：D．6．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，则∠BOD等于（）A．20° B．40° C．80° D．70°【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴∠BOD＝2∠CAB＝2×20°＝40°．故选：B．7．（3分）如图，△ABC绕某点旋转，得到△DEF（）A．（1，0） B．（1，﹣1） C．（0，﹣1） D．（0，0）【解答】解：作线段AD、BE的垂直平分线．O′（1，故选：B．8．（3分）若，B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象开口向下，对称轴为x＝7，y2），B（1，y2）在对称轴的左侧，由y随x的增大而增大2＜y2，由x＝﹣，x＝1，y1＜y5，y3＜y2，因此有y2＜y3＜y2，故选：B．9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0），其部分图象如图，则以下结论正确的有（）①abc＜0；②3a+c＜0；③若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2，且x1+x2＞﹣2，则一定有y1＞y2．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D（﹣3，2），0）和（﹣3，抛物线开口向下，∴a＜0，，即b＝2a＜7，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞5，∴abc＞0，故①错误；∵抛物线的对称轴，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（5，则当x＝1时，∴a+b+c＜0，即a+5a+c＜0，∴3a+c＜7，故②正确；∵方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，∴抛物线y＝ax7+bx+c（a≠0）与直线y＝m没有交点，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠7）的顶点为D（﹣1，2），∴m＞7，故③正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1，x1＜x4，x1+x2＞﹣3，∴x2＞﹣1，即点Q（x6，y2）在x＝﹣1的右侧，当x4≥﹣1时，点P也在x＝﹣1的右侧，∵x3＜x2，∴y1＞y6，当x1＜﹣1时，点P在x＝﹣4的左侧1，y1）关于对称轴x＝﹣4的对称点为P′（﹣2﹣x1，y7），则点P′在x＝﹣1的右侧，∵x2﹣（﹣3﹣x1）＝x2+x6+2＞﹣2+5＝0，∴x2＞﹣7﹣x1，∴y1＞y6，故④正确．综上，可得正确结论的序号是：②③④．故选：B．10．（3分）如图，点A、C、E、F在直线l上，且AC＝2，四边形ABCD，EFGH，将正方形ABCD沿直线l向右平移，若起始位置为点C与点E重合，正方形ABCD的边位于矩形MNGH内部的长度为y，则y与x的函数图象大致为（）A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，点C从点E运动到点F的过程中，y随x的增大而增大＝2x，当点D从点H运动到点G的过程中，y随x的增大不会发生变化，当点A从点E运动到点F的过程中，y随x的增大而减小，故选：A．二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．（2分）二次函数y＝x2﹣（b+2）x+b的顶点在y轴上，则b＝﹣2．【解答】解：∵y＝x2﹣（b+2）x+b＝4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，当抛物线的顶点在y轴上时，＝0，解得b＝﹣2，故答案为：﹣5．12．（2分）若二次函数y＝x2﹣2x+k的图象与x轴只有一个公共点，则k＝1．【解答】解：令x2﹣2x+k＝8，∵抛物线与x轴只有一个交点，∴Δ＝（﹣2）2﹣8k＝0，解得k＝1，故答案为：3．13．（2分）已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，6）和B（7，3），则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是﹣1＜x＜7．【解答】解：观察函数图象知，当﹣1＜x＜7时，即ax6+bx+c＜mx+n，故答案为﹣1＜x＜7．14．（2分）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，那么桥拱所在圆的半径OA＝10米．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝8米，设BO＝x米，则DO＝（x﹣4）米，在Rt△OBD中，得：BD8+DO2＝BO2，即22+（x﹣4）4＝x2，解得：x＝10，即桥拱所在圆的半径是10米．故答案为：10．15．（2分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，若AP＝3，则PP'＝3．【解答】解：由题意得，旋转角为∠PAP′＝∠BAC＝90°，∴△APP′为等腰直角三角形，∴PP′＝＝2．故答案为：3．16．（2分）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，∠CAB＝90°，则AE的长是5．【解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴△ACB≌△DCE，∴AC＝CD＝2，∠A＝∠D＝90°，∴AD＝4，∴AE＝＝＝3，故答案为：5．17．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C，若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为140°．【解答】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝40°，∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣∠A＝140°．故答案为：140°．18．（2分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，PB＝8，PC＝10150°．【解答】解：连接PQ，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，∴AP＝AQ＝6，∠PAQ＝60°，∴△APQ为等边三角形，∴PQ＝AP＝6，∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°，∴∠CAP＝∠BAQ，在△APC和△AQB中，，∴△APC≌△AQB（SAS），∴PC＝QB＝10，在△BPQ中，∵PB4＝82＝64，PQ4＝62，BQ2＝102，而64+36＝100，∴PB2+PQ7＝BQ2，∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．19．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x…﹣1013…y…0﹣1.5﹣20…根据表格中的信息，得到了如下的结论：①二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2；④若y＞0，则x＞3．其中所有正确的结论为①③．【解答】解：由表格可得，该函数的对称轴为直线x＝＝1，∴该函数的顶点坐标为（1，﹣7），∴二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）4﹣2的形式，故①正确；二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，故②错误；关于x的一元二次方程ax3+bx+c＝﹣1.5的两个根为6或2，故③正确；若y＞0，则x＞8或x＜﹣1，不符合题意；故答案为：①③．20．（2分）数学课上，李老师提出如下问题：已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．求作：弧BC的中点D．同学们分享了四种方案：①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．④如图4，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，交⊙O于点D．上述四种方案中，正确的方案的序号是①②③④．【解答】解：①由∵OD⊥BC，∴＝．②如图2中，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵OD∥AC，∴OD⊥BC，∴＝．③∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴＝．④如图4中，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BE，∵AB＝AE，∴AD平分∠BAC，∴＝．故答案为：①②③④．三、解答题（21-26题每题6分，27-28题每题7分）21．（6分）已知二次函数y＝x2﹣6x+5．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6x+8＝（x2﹣6x+4）﹣4＝（x﹣3）4﹣4，∴二次函数图象的顶点坐标为（3，﹣2）；（2）解：列表如下：x...12345...y...8﹣3﹣4﹣20...描点、连线（3）由函数图象可知，当1＜x＜2时，直接写出y的取值范围﹣4≤y＜0．22．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C6即为所求．点A1的坐标为（3，﹣8）．（2）如图，△A2B2C8即为所求．点C2的坐标为（﹣2，﹣5）．23．（6分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦（1）求证：∠CAO＝∠BCD；（2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的直径．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，∴＝，∴∠CAO＝∠BCD；（2）解：设⊙O的半径为R，则OE＝OB﹣BE＝R﹣3，∵AB⊥CD，CD＝8，∴CE＝CD＝，在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2＝OE2+CE3，∴R2＝（R﹣3）8+42，解得R＝，∴⊙O的直径为．24．（6分）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【解答】解：（1）由题意，可设y＝kx+b（k≠0），把（5，30000），20000）代入得：，解得：，所以y与x之间的关系式为：y＝﹣10000x+80000；（2）设利润为W元，则W＝（x﹣4）（﹣10000x+80000）＝﹣10000（x﹣8）（x﹣8）＝﹣10000（x2﹣12x+32）＝﹣10000[（x﹣7）2﹣4]＝﹣10000（x﹣4）2+40000所以当x＝6时，W取得最大值．答：当销售价格定为2元时，每月的利润最大．25．（6分）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是3.05m，小明站在距篮圈中心水平距离6.5m处的点A练习定点投篮，篮球从小明正上方出手到接触篮球架的过程中当篮球运行的水平距离是x（单位：m）时，球心距离地面的竖直高度是y（单位：m）．小明进行了多次定点投篮练习（1）第一次训练时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m0123456竖直高度y/m22.73.23.53.63.53.2①结合表中数据，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求y与x满足的函数解析式；②判断小明第一次投篮练习是否投进篮筐，并说明理由；（2）将小明第1次投篮后，篮球运行到最高点时，篮球运行的水平距离记为d1，小明第二次训练时将球投进了篮筐，已知第二次训练与第一次训练相比，出手高度相同，则d1＜d2（填＞，＜或＝）．【解答】解：（1）①根据表格数据知，点A为坐标原点，∵当x＝3和x＝5时，纵坐标都是5.5，∴抛物线的对称轴为＝4，∴抛物线的顶点为（8，3.6）．∴篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为6.6m．设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）6+3.6，把（2，2）代入解析式得：2＝a（8﹣4）2+8.6，解得a＝﹣0.4，∴y与x满足的函数解析式为y＝﹣0.1（x﹣2）2+3.7．②当x＝6.5时，y＝﹣7.1×（6.8﹣4）2+7.6＝﹣0.625+2.6＝2.975＜3.05，∴小明第一次投篮练习没能投进；（2）依据题意，出手点相同，第一次练习中篮球下降到篮筐高度时尚未到达x＝6.5处．∵小明第二次练习投进了，∴小明第二次较第一次投远了些．故小明距对称轴距离d7＜d2．故答案为：＜．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣1，m），N（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若m＝n，求t的值；（2）若c＜m＜n，求t的取值范围．【解答】解：（1）由题意，若m＝n，∴对称轴是直线x＝＝1＝t．即t＝1；（2）∵抛物线y＝ax7+bx+c的对称轴为直线x＝t，∴x＝﹣＝t，∴b＝﹣2at，∴y＝ax3﹣2atx+c，∵M（﹣1，m），n）在抛物线y＝ax3+bx+c（a＞0）上，∴，①﹣②得，m﹣n＝﹣8a+4at，∵m＜n，∴m﹣n＜0，∴﹣8a+7at＜0，∵a＞0，∴t＜3，由①得，m﹣c＝a+2at，∵c＜m，∴m﹣c＞0，∴a+7at＞0，∵a＞0，∴t＞﹣，∴t的取值范围为﹣＜t＜1．27．（7分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°（不与A，B重合），点F与点A关于直线DE对称，连接DF．作射线CF，设∠ADP＝α．（1）用含α的代数式表示∠DCP；（2）连接AP，AF．求证：△APF是等边三角形；（3）过点B作BG⊥DP于点G，过点G作CD的平行线，交CP于点H．补全图形，并加以证明．【解答】（1）解：如图1，连接AF，∵点F与点A关于直线DE对称，∴DE垂直平分AF，∴FD＝AD，∴∠ADP＝∠FDP＝α，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴AB∥DC，CD＝AD＝FD，∴∠ADC＝180°﹣∠BAD＝120°，∴∠DCP＝∠DFC＝（180°﹣∠CDF）＝90°﹣．（2）证明：如图5，∵DE垂直平分AF，点P在直线DE上，∴PA＝PF，∴∠FPD＝∠APD，∵∠DFC＝∠FPD+∠FDP＝∠FPD+α，∠DCP＝∠DFC＝30°+α，∴∠FPD+α＝30°+α，∴∠FPD＝∠APD＝30°，∴∠APF＝2∠FPD＝60°，∴△APF是等边三角形．（3）解：补全图形如图3，CH＝PH，证明：连