人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》同步测试题及答案

第第页人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》同步测试题及答案一、选择题（共10小题）1．如图，在菱形ABCD中，DE⊥ABBE＝2，则tan∠DBE的值（）A． B．2 C． D．2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝20cm，则DE的长为（）A．10cm B．5cm C．10cm D．5cm3．如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（）A．12m B．3m C．4m D．12m4．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A．m B．100m C．150m D．m5．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）．A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m6．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A． B． C． D．7．如图，有一斜坡AB的长AB＝10米，坡角∠B＝36°，则斜坡AB的铅垂高度AC为（）A．10sin36° B．10cos36° C．10tan36° D．8．某船自西向东航行，在A处测得北偏东68.7°方向有小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东26.5°方向上．之后，轮船继续向东航行，整个航行过程中，轮船与小岛C最近的距离为（）海里（参考数据：sin21.3°≈，tan21.3°≈，sin63.5°≈，tan63.5°≈2）A．30 B．75 C．15 D．209．如图，小明在水平面E处，测得某建筑物AB的顶端A的仰角为42°，向正前方向走37米到达点D处，再往斜坡CD上走30米到达点C处，测得建筑物AB的顶端A的仰角为63.5°，已知斜坡CD的坡度为i＝1：0.75，建筑物AB垂直于平台BC，平台BC与水平面DE平行，点A、B、C、D、E均在同一平面内，则建筑物AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin63.5°≈0.90，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.0）A．42.4米 B．46.4米 C．48.5米 D．50.8米10．如图1，是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD、BC与桌面构成，如图2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是（）A．30cm B．60cm C．40cm D．60cm二、填空题（共5小题）11．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝．12．某楼梯的侧面如图所示，测得AC＝4m，∠ACB＝30°，则该楼梯的高度AB＝．13．如图，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向．办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离．14．如图，某水库大坝的横截面是梯形ABCD，坝顶宽DC是10米，坝底宽AB是90米，背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是米．15．如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是米．（结果保留根号）三、解答题（共5小题）16．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如图检测公路上行驶的校车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于30米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．17．如图，在一滑梯侧面示意图中，BD∥AF，BC⊥AF于点C，DE⊥AF于点E．BC＝1.8m，BD＝0.5m，∠A＝45°，∠F＝30°．（1）滑道DF的长为；（2）求踏梯AB底端A与滑道DF底端F的距离AF（结果保留根号）．18．如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m．在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为37°，测得铁塔顶部的仰角为26.6°．求铁塔的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）19．如图，海中有一个小岛A，它的周围25海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B测得小岛A在北偏东60°方向上，航行30海里到达C点，这时测得小岛A北偏东30°方向上；（1）求渔船在C点时与小岛A的距离；（2）如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？说明理由．20．如图，在△ABC中；AD⊥BC，AB＝20，AC＝15，CD＝9（1）求BD的长；（2）求∠BAC的度数．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．如图，在菱形ABCD中，DE⊥ABBE＝2，则tan∠DBE的值（）A． B．2 C． D．【分析】在直角三角形ADE中，cosA＝，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE＝．【解答】解：设菱形ABCD边长为t．∵BE＝2∴AE＝t﹣2．∵cosA＝∴．∴＝．∴t＝5．∴AE＝5﹣2＝3．∴DE＝＝4．∴tan∠DBE＝＝＝2．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝20cm，则DE的长为（）A．10cm B．5cm C．10cm D．5cm【分析】根据等腰三角形的性质易知∠B＝30°，AD＝10，解Rt△ADE即可．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D∴AD＝AB∵AB＝20∴AD＝10．在Rt△ADE中，AD为斜边，∠EAD＝60°∴DE＝AD×sin∠EAD＝10×＝5．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．3．如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（）A．12m B．3m C．4m D．12m【分析】AB是Rt△ABC的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB的长．【解答】解：如图，∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，AC＝6m∴AB＝＝＝4（m）．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．4．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A．m B．100m C．150m D．m【分析】根据三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长．再利用勾股定理求AC的长即可．【解答】解：AD＝AB•sin60°＝50；BD＝AB•cos60°＝50，∴CD＝150．∴AC＝＝100．故选：D．【点评】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．5．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）．A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m【分析】设CD＝xm，在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CED中求出ED，再由AE＝4m，可求出x的值，再由树高＝CD+FD即可得出答案．【解答】解：设CD＝xm在Rt△ACD中，CD＝x，∠CAD＝30°则tan30°＝CD：AD＝x：AD故AD＝x（m）在Rt△CED中，CD＝x，∠CED＝60°则tan60°＝CD：ED＝x：ED故ED＝x（m）由题意得，AD﹣ED＝x﹣x＝4解得：x＝2则这棵树的高度＝2+1.6≈5.1（m）．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．6．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A． B． C． D．【分析】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG＝90°，∠EHA＝90°．先求出∠AEH＝53°，则∠EAH＝37°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH＝AE•sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H则∠EHG＝∠HEF＝90°∵∠AEF＝143°∴∠AEH＝∠AEF﹣∠HEF＝53°∠EAH＝37°在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.2米∴EH＝AE•sin∠EAH≈1.2×0.60＝0.72（米）∵AB＝1.2米∴AB+EH≈1.2+0.72＝1.92≈1.9米．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．7．如图，有一斜坡AB的长AB＝10米，坡角∠B＝36°，则斜坡AB的铅垂高度AC为（）A．10sin36° B．10cos36° C．10tan36° D．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinB＝，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：sinB＝即sin36°＝故AC＝10sin36°．故选：A．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．8．某船自西向东航行，在A处测得北偏东68.7°方向有小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东26.5°方向上．之后，轮船继续向东航行，整个航行过程中，轮船与小岛C最近的距离为（）海里（参考数据：sin21.3°≈，tan21.3°≈，sin63.5°≈，tan63.5°≈2）A．30 B．75 C．15 D．20【分析】直接根据题意用未知数表示出DC，BD的长，进而利用tan21.3°＝得出答案．【解答】解：如图所示：过点C作CD⊥AB于点D由题意可得：AB＝60海里，∠CAB＝21.3°，∠BCD＝26.5°，则∠CBD＝63.5°设BD＝x，则DC＝BD•tan63.5°＝2x则tan21.3°＝＝＝解得：x＝15则轮船与小岛C最近的距离为：BD＝30（海里）故选：A．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用方向角表示出BD，DC的长是解题关键．9．如图，小明在水平面E处，测得某建筑物AB的顶端A的仰角为42°，向正前方向走37米到达点D处，再往斜坡CD上走30米到达点C处，测得建筑物AB的顶端A的仰角为63.5°，已知斜坡CD的坡度为i＝1：0.75，建筑物AB垂直于平台BC，平台BC与水平面DE平行，点A、B、C、D、E均在同一平面内，则建筑物AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin63.5°≈0.90，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.0）A．42.4米 B．46.4米 C．48.5米 D．50.8米【分析】作CG⊥DE交ED的延长线于G，延长AB交ED的延长线于H，根据坡度的概念分别求出CG、DG，根据正切的定义用AB表示出BC，根据正切的定义列式计算，得到答案．【解答】解：作CG⊥DE交ED的延长线于G，延长AB交ED的延长线于H则四边形BHGC为矩形∴BH＝CG，BC＝HG设CG＝4x米∵斜坡CD的坡度为i＝1：0.75∴DG＝3x由勾股定理得，CD2＝CG2+DG2，即302＝（4x）2+（3x）2解得，x＝6∴CG＝24，DG＝18在Rt△ABC中，tan∠ACB＝∴BC＝≈AB在Rt△AHE中，tan∠AEH＝∴≈0.9解得，AB≈46.4故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．10．如图1，是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD、BC与桌面构成，如图2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是（）A．30cm B．60cm C．40cm D．60cm【分析】连接CD，过O作OF⊥CD于点F，延长FO，交AB于点E，根据直角三角函数求出OF的长，进而得出EF的长．【解答】解：如图，连接CD，过O作OF⊥CD于点F，延长FO，交AB于点E∵OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°∴∠COF＝30°∴OF＝OC•cos∠COF＝＝30（cm）∴EF＝2OF＝60（cm）即点A到地面（CD所在的平面）的距离是60cm．故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题（共5小题）11．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝．【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC．【解答】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝∴＝∵AB＝2∴AC＝6∵AC⊥CD∴∠ACD＝90°∴AD＝＝＝10∴cos∠ADC＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长．12．某楼梯的侧面如图所示，测得AC＝4m，∠ACB＝30°，则该楼梯的高度AB＝m．【分析】利用正切三角函数解直角三角形求出AB即可．【解答】解：在Rt△ABC中∵∠A＝90°，AC＝4m，∠ACB＝30°∴tan∠ACB＝＝∴AB＝AC•tan∠ACB＝4×＝（m）故答案为：m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．如图，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向．办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（60+20）米．【分析】由已知可得△ABP中∠A＝60°∠B＝45°且PC＝60m，要求AB的长，可以先求出AC和BC的长就可转化为运用三角函数解直角三角形．【解答】解：由题意可知：∠ACP＝∠BCP＝90°，∠APC＝30°，∠BPC＝45°．在Rt△BPC中∵∠BCP＝90°，∠B＝∠BPC＝45°∴BC＝PC＝60．在Rt△ACP中∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°tan30°＝∴AC＝PC•tan30°＝tan30°×60＝60×＝20（米）．∴AB＝AC+BC＝（60+20）（米）．答：教学楼A与办公楼B之间的距离是（60+20）米．故答案为：（60+20）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．14．如图，某水库大坝的横截面是梯形ABCD，坝顶宽DC是10米，坝底宽AB是90米，背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是16米．【分析】直接利用坡度的定义表示出AM，BN的长，进而利用已知表示出AB的长，进而得出答案．【解答】解：如图所示：过点D作DM⊥AB于点M，作CN⊥AB于点N设DM＝CN＝x∵背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5∴AM＝BN＝2.5x故AB＝AM+BN+MN＝5x+10＝90解得：x＝16即这个水库大坝的坝高是16米．故答案为：16．【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．15．如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是100（1+）米．（结果保留根号）【分析】如图，利用平行线的性质得∠A＝60°，∠B＝45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD＝100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD＝CD＝100，然后计算AD+BD即可．【解答】解：如图∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°∴∠A＝60°，∠B＝45°在Rt△ACD中，∵tanA＝∴AD＝＝100（米）在Rt△BCD中，BD＝CD＝100（米）∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）米．答：A、B两点间的距离为100（1+）米．故答案为100（1+）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．三、解答题（共5小题）16．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如图检测公路上行驶的校车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于30米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．【分析】（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．【解答】解：（1）由题意得在Rt△ADC中，AD＝＝≈51.9（米）在Rt△BDC中，BD＝＝＝30（米）则AB＝AD﹣BD≈51.9﹣30＝21.9（米）．故所求AB的长约为21.9米；（2）不超速．理由：∵汽车从A到B用时2秒∴速度为21.9÷2＝10.95（米/秒）∵10.95×3600＝39420（米/时）∴该车速度为39.42千米/小时∵小于40千米/小时∴这辆校车在AB路段不超速．【点评】此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．17．如图，在一滑梯侧面示意图中，BD∥AF，BC⊥AF于点C，DE⊥AF于点E．BC＝1.8m，BD＝0.5m，∠A＝45°，∠F＝30°．（1）滑道DF的长为3.6m；（2）求踏梯AB底端A与滑道DF底端F的距离AF（结果保留根号）．【分析】（1）在Rt△DEF中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出滑道DF的长；（2）分别在Rt△ABC、Rt△DEF中，通过解直角三角形求出AC、EF的长，进而由AF＝AC+BD+EF求得AF的长．【解答】解：（1）在Rt△DEF中，∠DEF＝90°，DE＝BC＝1.8m，∠F＝30°∴DF＝2DE＝3.6（m）；答：滑道DF的长为3.6m．故答案为3.6m；（2）在Rt△DEF中，∠DEF＝90°，DE＝BC＝1.8m，∠F＝30°∴EF＝DE＝（m）．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°∴AC＝BC＝1.8m．又∵CE＝BD＝0.5m∴AF＝AC+CE+EF＝1.8+0.5+＝（m）．答：踏梯AB底端A与滑道DF底端F的距离AF为m．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，含30°角的直角三角形的性质，难度适中．18．如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m．在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为37°，测得铁塔顶部的仰角为26.6°．求铁塔的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）【分析】作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△A