专题113平行线中的最值问题（分层练习）（综合练）-2023-2024学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.13平行线中的最值问题（分层练习）（综合练）一、单选题1．（2021下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2022·湖北荆州·统考一模）一副三角尺的位置如右图所示，其中三角尺ADE绕点A逆时针旋转α度，使它的某一边与BC平行，则α的最小值是（

）A．15°B．30°C．60° D．150°3．（2023下·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，将沿方向平移得到对应的，延长，交于点．若，，，，为线段上一动点，连接，则的最小值为（

）．

A． B．5 C． D．6二、填空题4．（2023下·江西景德镇·九年级景德镇一中校考阶段练习）如图于点D，将绕点A逆时针旋转，使，则的最小值为．5．（2022下·山东聊城·七年级统考期末）如图，直线，且a、b之间相距，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是．6．（2023下·湖南郴州·七年级统考期末）如图，直线，且a，b之间相距．点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是．

7．（2023下·海南海口·七年级海师附中校考期末）如图，在中，，将平移个单位长度得到，点是的中点，的最小值等于．

8．（2023下·湖北宜昌·七年级统考期末）如图，有三条两两相交的公路、、，从地测得公路的走向是北偏东50°，从地测得公路的走向是北偏西40°．若、、的长分别为千米，千米、千米，点是公路上任意一点，则线段的最小值为千米．（用含、、的式子表示）

9．（2023下·陕西西安·七年级校考期中）已知：如图，，，且，点是线段上的一个动点，则的最大值与最小值的差是．

三、解答题10．（2023下·江苏宿迁·七年级校考期中）将一块三角板（，）按如图①所示放置在锐角内，使直角边落在边上．现将三角板绕点逆时针以每秒的速度旋转秒（直角边旋转到如图②所示的位置），过点作交射线于点，平分，其中的值满足：使代数式取得最小值．（1）求的值；（2）当秒时，求的度数；（3）在某一时刻，当时，试求出与之间的数量关系．11．（2020下·重庆巴南·七年级统考期末）如图，∠l=∠C，∠2+∠D=90°，BE⊥FD，垂足为G．（1）证明：AB//CD．（2）已知CF=3，FD=4，CD=5，点P是线段CD上的动点，连接FP，求FP的最小值．

12．（2021下·山东烟台·七年级统考期中）如图，直线，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，于点C，交射线AB于点E，，，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．（1）当时，有最小值，求m的值；（2）当（m为（1）中的取值）时，探究、与的关系，并说明理由；（3）当（m为（1）中的取值）时，直接写出、与的关系．13．（2021下·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，每个小正方形的边长为1，利用网格点画图和无刻度的直尺画图（保留画图痕迹）：（I）在方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点，画出三角形；（2）过点画线段使且；（3）图中与的关系是______；（4）点在线段上，，点是直线上一动点线段的最小值为______．14．（2023下·北京海淀·七年级首都师范大学附属中学校考开学考试）直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记．（1）若，则线段与的公共点个数可能为______；（2）若取最小值且，则的取值范围是______．15．（2019上·浙江杭州·七年级期末）如图，已知线段，第1次平移，将线段沿的方向向右平移7个单位，得到线段，第2次平移，将线段沿的方向向右移平移7个单位，得到线段，…，第n次平移，线段沿的方向平移7个单位，得到线段（的整数）．在这个移动过程中，（1）求，的长．（2）若的长为66，求n．（3）是否存在的长为2019，若存在请求出n的值，若不存在，说明理由．（4）是否存在线段的长为2020（i，j都是自然数），若存在请求出的最小值，若不存在，说明理由．参考答案：1．A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=AC=2，∴BD的最小值为2．故选：A．【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．2．A【分析】当△ADE绕A点逆时针旋转时，AE边最先与BC平行，利用平行线的性质即可求解．解：当△ADE绕A点逆时针旋转时，AE边最先与BC平行，如图：∵AE∥BC，∴∠C=∠CAE=60°，∵∠DAE=45°，∴∠CAD=∠CAE∠DAE=15°，则α的最小值是15°，故选：A．【点拨】本题考查了平行线的性质，直角三角板的角的度数的知识，熟记性质是解题的关键．3．A【分析】根据平移的性质得，当时，最小，此时有，即，即可求出答案．解：将沿方向平移得到对应的，，，，，，，当时，最小，此时有，即，，的最小值为．故选：A．【点拨】本题考查了平移的性质和垂线段最短，根据平移的性质得到是解题的关键．4．/25度【分析】过点C作，过点A作，利用平行线的性质即可求解．解：如图，过点C作，则，∴．过点A作，则．∴，故的最小值为．故答案为：【点拨】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．5．4【分析】通过平行线之间垂线段最短的理论可知PQ垂直于两条直线时，PQ的值最小，再根据a、b之间距离求出PQ即可．解：当时，根据垂线段最短，可以知道此刻PQ取最小值，且a、b之间的距离为4cm，的最小值是4cm，故答案为：4．【点拨】本题考查了平行线之间的距离的定义，牢记平行线之间距离的定义和垂线段最短是本题的关键．6．8【分析】根据垂线段最短进行求解即可解：∵直线，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，∴根据垂线段最短可知，在运动过程中，当时，线段有最小值，∵a，b之间相距，∴线段的最小值为，故答案为：8．【点拨】本题考查了平行线之间的距离的定义和垂线段最短，牢记平行线之间距离的定义和垂线段最短是本题的关键．7．【分析】根据线段中点的性质可得，根据平移的性质可得，当在直线上时，取得最小值，进而根据线段的差即可求解．解：∵点是的中点，，∴，∵将平移个单位长度得到，∴当在直线上时，取得最小值，最小值为，故答案为：．【点拨】本题考查了平移的性质，线段中点的性质，线段的和差，熟练掌握平移的性质，线段中点的性质是解题的关键．8．【分析】过C作于P，依据，可得在中，得出，代入数值求解即可．解：如图，过C作于P，

由题可得，，∴，∴∴中，，∴，即线段的最小值为，故答案为．【点拨】此题是一道方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．9．【分析】当点M与点A重合时，取最大值，此时，当时，取最小值，根据，求出最小值，即可求解．解：∵，，∴，当点M与点A重合时，取最大值，此时，当时，取最小值，∵，∴，解得：，∴的最大值与最小值的差是，故答案为：．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；垂线段最短．10．（1）m的值为10；（2）的度数为；（3）．【分析】（1）根据平方的非负性及代数式取得最小值，即可求出m的值；（2）根据旋转的速度及时间，即可求出的度数，进一步求出的度数；根据平行线的性质，即可求出的度数，进一步求出的度数；（3）先根据平行线的性质，表示出的度数，进一步表示出的度数；再根据平行线的性质，表示出的度数，根据角平分线的定义，表示出的度数；再根据平行线的性质，得出，从而可求出答案．（1）解：∵，∴当，即时，代数式取得最小值，∴代数式取得最小值时，m的值为10；（2）∵，，∴，当秒时，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的度数为；（3）∵，，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴．【点拨】本题考查平方的非负性，平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是熟练掌握相关知识点．11．（1）证明见分析；（2）．【分析】（1）先证明CF∥BE，得到，进而证明，得到即可证明AB∥CD；（2）先确定的最小值是点F到直线CD的垂线段的长度，过点F作，垂足为P，再由等面积法即可计算出FP的值．解：（1）证明：∵，∴CF∥BE，∴．∵，垂足为G，∴，∴．∵，∴，∵，∴，∴AB∥CD．（2）根据题意，可知的最小值是点F到直线CD的垂线段的长度．过点F作，垂足为P．因为，所以．因为，，，所以，所以．故FP的最小值为．

【点拨】本题考查了平行线的性质及判定、三角形的等面积法的运用，解题的关键是熟悉平行线的性质以及判定．12．（1）10；（2），见分析；（3）或【分析】（1）根据P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时PC+PD的值最小，解答即可；（2）当t＜m时，过P在AE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论；（3）分两种情况讨论，当点P在线段BE上时，当点P在线段AB的延长线上时，然后仿照第（2）问的证明方法，作出辅助线，根据平行线的性质可得结论．解：（1）当点P与E不重合时，在中，，当点P与E重合时，此时最小，∴．∵，，∴．∴．故时，值最小；（2），理由如下：如图，当即时，点P在AE上，过点P作，∵，∴．∴，，∴．∵，∴；（3）当m＜t≤15即10＜t≤15时，点P在线段BE上，过点P作PHa，如图：又∵ab，∴PHab，∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，即当10＜t≤15时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°；当t＞15时，点P在线段AB的延长线上，过点P作PGa，如图：又∵ab，∴PGab，∴∠PCM+∠CPG＝180°，∠PDA+∠DPG＝180°，∴∠CPG＝180°－∠PCM，∠DPG＝180°－∠PDA，又∵∠CPD＝∠DPG－∠CPG，∴∠CPD＝（180°－∠PDA）－（180°－∠PCM）＝180°－∠PDA－180°＋∠PCM＝∠PCM－∠PDA，∴∠PCM＝∠CPD+∠PDA．综上所述，当t＞10时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．【点拨】本题主要考查平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质及正确作出辅助线是解题的关键．13．（1）见分析；（2）见分析；（3），AD∥；（4）【分析】（1）根据平移的性质，按要求作图即可；（2）根据过点A画线段AD∥BC，AD=BC，即可；（3）由平移的性质可得，∥BC，，从而可以得到，AD∥；（4）根据点到直线的距离垂线段最短，可知当BH⊥CE时BH最短，由此利用三角形面积公式求解即可．解：（1）如图所示，即为所求：（2）如图所示，即为所求：（3）平移的性质可得，∥BC，由AD=BC，AD∥BC，从而可以得到，AD∥；故答案为：，AD∥；（4）根据点到直线的距离垂线段最短，可知当BH⊥CE时BH最短，如图所示：∵AD∥BC，∴，∴，∴，∴点H是直线CE上一动点线段BH的最小值为．故答案为：．【点拨】本题主要考查了平移作图，点到直线的距离垂线段最短，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．14．（1）0或1；（2）【分析】（1）分两种情况进行讨论：当点A和B均在直线上方且到的距离相等时；当点A和B在直线，之间时，作出相应图形即可求解；（2）根据题意得出，分两种情况分析：当点P在上方或下方时，当点P在，之间时，结合图形求解即可．（1）解：如图所示，当点A和B均在直线上方且到的距离相等时，此时线段与的公共点个数为0；

当点A和B在直线，之间时，如图所示：此时线段与的公共点个数为1；

故答案为：0或1；（2）当取最小值且时，如图所示：此时点A恰好在，的中间直线上，∴，之间的距离为2，即，

当点P在上方或下方时，如图所示：

此时即为，之间的距离为2；当点P在，之间时，如图所示：

∵，∴当点P在，的中间直线上时，，当点P不在，的中间直线上时，；综上可得：，故答案为：．【点拨】题目主要考查垂线的定义及点到直线的距离，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．15．（1）A0B1=7，A0B3=31；（2）8；（3）存在，n=287；（4）存在，最小值为290．【分析】（1）由平移得出B0B1=B1B2=B2B3=7，即B0B3=3B0B1=21，即可得出结论；（2）由平移得出B0B1=B1B2=B2B3=…=Bn1Bn=7，进而得出B0Bn=nB0B1=7n，最后建立方程求解，即可得出结论；（3）同（2）的方法，求出n的值，再判断是否为整数，即可得出结论；（4）同（2）的方法找出规律A0Bj=10+7j，A0Ai=7i，进而得出AiBj=|A0BjA0Ai|=|10+7j7i|=|10+7（ji）|，进而建立绝对值方程，求出ij=2019，即可得出结论．解：由平移知，B0B1=B1B