专题155角平分线的判定与性质（举一反三）（沪科版）

专题15.5角平分线的判定与性质【八大题型】【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1利用角平分线的性质求长度】 1【题型2利用角平分线的性质求面积】 6【题型3利用角平分线的性质证明】 10【题型4角平分线的判定】 17【题型5尺规作角平分线】 23【题型6角平分线的性质与判定综合运用】 28【题型7利用角平分线的性质判断多结论问题】 40【题型8角平分线的性质的实际应用】 46【知识点1角平分线的性质】角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.【题型1利用角平分线的性质求长度】【例1】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，AC平分∠DAB，CE⊥AB，BC=DC，AB=17，AD=9

A．13 B．12 C．11 D．10【答案】A【分析】过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，由HL可证明Rt△DFC≌Rt△BEC和【详解】解：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点

∵AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，∴CF=CE在Rt△DFC和CE=∴Rt∴BE在Rt△AFC和CE=∴Rt∴AF∵AB=17，∴AB∴AE故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质和角平分线的性质解答．【变式11】（2023春·贵州·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，射线AE平分∠BAC，过点E作EH⊥AC于点H，作EF⊥AB于点F，并延长FE交CD于点G，连接CE．若∠

【答案】2【分析】先根据平行线的性质可得∠BAC+∠ACD=180°，再根据角平分线的定义和“等角的余角相等”可得∠ACE=∠ECD，再由AB【详解】∵AB∴∠BAC即∠BAE∵∠AEC=90°∴∠CAE∴∠BAE∵AE平分∠BAC∴∠BAE∴∠ACE∴CE平分∠ACD∵AB∴GF∵EH∴EF∴FG=故答案为：2【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，“等角对等边”．熟练掌握以上知识，且证明CE平分∠ACD【变式12】（2023春·福建漳州·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠A=90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，若AB=8cm，AC=6

【答案】12【分析】根据角平分线的性质得出DE=AD，再证Rt△DAC≌【详解】解：∵∠A=90°，CD是△ABC的角平分线，DE∴DE在Rt△DAC和DE=∴Rt△DAC≌∴AC∴△BDE的周长=故答案为：12．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据角平分线的性质得出DE=【变式13】（2023春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考开学考试）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD【答案】5【分析】延长BA、CE相交于点F，由角平分线的性质可得∠ABD=∠CBD，利用ASA证明△BCE≌△BFE，得到CE=EF，根据同角的余角相等得到【详解】解：如图，延长BA、CE相交于点F，∵BD平分∠∴∠ABD∵CE∴∠BEF在△BCE和△∠ABD∴△BCE∴CE∵∠BAC=90°，∴∠ACF+∠F∴∠ABD∵∠BAC=90°，∴∠BAC在△ABD和△∠ABD∴△ABD∴BD∵CF∴BD∴CE故答案为：52【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，添加适当的辅助线，是解题的关键．【题型2利用角平分线的性质求面积】【例2】（2023春·陕西西安·八年级校考期末）如图，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D

A．6 B．9 C．18 D．36【答案】C【分析】由角平分线的性质得到OM=OD=ON，由△ABC的面积=△AOB的面积+△OBC的面积+△OAC的面积，得到△ABC的面积=12【详解】解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥∵OB，OC分别平分∠ABC和∠∴OM=OD，∵△ABC的面积=△AOB的面积+△OBC∴△ABC的面积=∵△ABC的周长=18，OD∴△ABC的面积=故选：C．

【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到△ABC的面积=【变式21】（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=10，DE=3，则A．9 B．13 C．15 D．30【答案】C【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质得出【详解】解：过E作EF⊥BC于∵CD是AB边上的高线，BE平分∠∴EF∵BC∴△BCE的面积为1故选C．【点睛】考查了三角形的面积和角平分线性质，能根据角平分线性质求出DE=【变式22】（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图，∠B=∠C=90°，AE平分∠BAD，DE平分∠DAC

【答案】5:2【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BE=EF，然后证明Rt△ABE≌Rt△AFEHL【详解】如图，过点E作EF⊥AD于

∵∠B∴EB⊥∵AE平分∠BAD∴BE=在Rt△ABE和AE=∴Rt△∴S△同理：S△设S△CDE=2∴S△∴S△故答案为：5:2．【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．【变式23】（2023春·山东枣庄·八年级校考期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△EFD的面积分别为50【答案】41【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB∴DF=在Rt△ADF和AD=∴Rt△∴SRt在Rt△DEF和DE=∴Rt△∴SRt∵△ADG和△EFD的面积分别为50和4.5，∴S∴SRt故答案为：41．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟记性质并作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【题型3利用角平分线的性质证明】【例3】（2023春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，已知∠C=60°，AE,BD是(1)直接写出∠DPE=

(2)求证：PD=(3)探究AB、【答案】(1)120(2)见解析(3)AB【分析】（1）根据角平分线平分线以及三角形的内角和定理，求出∠APB的度数，对顶角相等，即可得到∠（2）过点P作PF⊥AB,PG⊥（3）在AB上截取BM=BE，证明△BPM≌△BPE，【详解】（1）解：∵∠C∴∠ABC∵AE,BD是∴∠PAB∴∠PAB∴∠APB∴∠DPE故答案为：120；（2）证明：过点P作PF⊥

则：∠PGD∵AE,BD是△ABC∴PG=∵∠C∴∠GPH∵∠DPE∴∠DPG∴△PGD≌△∴PD=（3）解：在AB上截取BM=

∵BP平分∠ABC∴∠PBM∵BP=∴△BPM≌△∴∠BPM∴∠APM∵∠APD∴∠APD∵AP平分∠DAB∴∠DAP又AP=∴△APM≌△∴AM=∴AB=【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加合适的辅助线，证明三角形全等．【变式31】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交【答案】相等，证明见解析【分析】连接EB、EC，利用角平分线的性质和垂直平分线的性质可得EF=EG、EB=EC，然后借助“HL”证明【详解】BF与CG的大小关系为相等．证明如下：连接EB、EC，如下图，∵AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB于F，EG∴EF=∵ED⊥BC于D，D是∴EB=∴Rt△∴BF=【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及垂直平分线段的性质，正确作出辅助线，熟练掌握相关判定与性质是解题关键．【变式32】（2023春·湖北荆门·八年级校联考期末）如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，连接OC，过O作OF

(1)试判断∠AOB与∠(2)若∠ACB=60°，探究OE与【答案】(1)∠AOB(2)OE=【分析】（1）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，根据角平分线性质求出OM=ON=OF，求出（2）求出∠MOE=∠DOF，∠OME=∠【详解】（1）∠AOB证明：过O作OM⊥AC于M，ON⊥

∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，∴OM=ON，∴OM=∴O在∠ACB∴∠OCF∵OF⊥∴∠CFO∴∠COF∴∠COF=90°-∠∵AD平分∠CAB，BE平分∠∴∠OAB=1∴∠=180°-=180°-=90°+=90°+∠OCF，由①②得：∠AOB（2）OE=证明：∵∠ACB∴由（1）知：∠AOB∴∠EOD∵OM⊥AC，∴∠OME=∠OFD∴∠MOF∴∠MOE在△EOM和△∠∴△EOM∴OE=【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力．【变式33】（2023春·湖北荆门·八年级校联考期末）如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，连OC，过O作OF(1)试判断∠AOB与∠(2)若∠ACB=60°，探究OE与【答案】(1)∠AOB(2)OE=【分析】（1）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，根据角平分线性质求出OM=ON=OF，求出（2）求出∠MOE=∠DOF，∠OME=∠【详解】（1）∠AOB证明：过O作OM⊥AC于M，ON⊥∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，∴OM=ON，∴OM=∴O在∠ACB∴∠OCF∵OF⊥∴∠CFO∴∠COF∴∠COF=90°-∠∵AD平分∠CAB，BE平分∠∴∠OAB=1∴∠=180°-=180°-=90°+=90°+∠OCF，由①②得：∠AOB（2）OE=证明：∵∠ACB∴由（1）知：∠AOB∴∠EOD∵OM⊥AC，∴∠OME=∠OFD∴∠MOF∴∠MOE在△EOM和△∠∴△EOM∴OE=【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力．【知识点2角平分线的判定】角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

【题型4角平分线的判定】【例4】（2023春·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD（OA<OC），∠AOB

(1)求证：AC=(2)用α表示∠AMB(3)求证：OM平分∠AMD【答案】(1)见解析；(2)α；(3)见解析．【分析】（1）用SAS证明△AOC（2）根据三角形外角的性质得∠AMB+∠OBD=∠OAC（3）作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，则∠OGA=∠OHB【详解】（1）证明：∵∠AOB∴∠AOB+∠BOC在△AOC和△OA=∴△AOC∴AC=（2）解：由三角形的外角性质得：∠AMB由（1）得△AOC∴∠OAC∴∠AMB（3）证明：作OG⊥AM于G，OH⊥

则∠OGA在△OAG和△∠OGA∴△OAG∴OG∵OG⊥AM于G，OH∴MO平分∠【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的判定，证明三角形全等是解题的关键．【变式41】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）已知，如图，在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠BAC=∠DAE(1)求证：△ABD(2)求证：∠BFA【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据SAS证明结论即可；（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得【详解】（1）解：证明：∵∠BAC∴∠BAC即∠BAD∵在△BAD和△AB=∴△BAD（2）如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥由△BAD∴BD=CE∵12∴AM∴点A在∠BFE∴FA平分∠BFE，即【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，求高想到求面积，属于中考常考题型．【变式42】（2023春·浙江温州·八年级校考期末）平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE=【答案】见解析【分析】过D作DQ⊥AE，DG⊥CF，由S△ADE=12【详解】证明：过D作DQ⊥AE，DG⊥CF，连接则S△∴AE•又∵AE=∴DQ=∴PD为∠APC∴∠DPA【点睛】本题考查平行四边形和角平分线的性质，有一定的难度，解题的关键是准确作出辅助线，利用角平分线的性质进行证明．【变式43】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，BC=CD，∠BCD=120°，E，F分别为AB，

(1)求证：EF=(2)求证：点C在∠BAD【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）延长AD至点G，使得DG=BE，连接CG，利用四边形内角和，易证△BCE≌△DCGSAS，得到CG=（2）过点C作CN⊥AB、CM⊥AG，易证【详解】（1）证明：如图，延长AD至点G，使得DG=BE，连接

∵四边形ABCD的内角和为360°，且∠BCD=120°，∴∠B∵∠ADC∴∠B在△BCE和△BC=∴△BCE∴CG=CE∴∠BCD∵∠ECF∴∠FCG∴∠ECF在△CEF和△CE=∴△CEF∴EF（2）证明：如图，过点C作CN⊥AB交AB于点N，CM⊥AG交

∵△BCE∴∠CEN=∠在△CNE和△∠CNE∴△CNE∴CN∴点C在∠BAD【点睛】本题考查了多边形内角和，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键．【知识点3角平分线的作法】①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

③画射线OC.即射线OC即为所求.【题型5尺规作角平分线】【例5】（2023春·山东滨州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BD是高，BE是角平分线，∠EBD=10°

(1)尺规作图（保留作图痕迹）：作△BED的角平分线EF(2)在满足（1）的条件下，求证：EF∥【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据要求作出图形；（2）证明∠FEC【详解】（1）解：如图，线段EF即为所求；

（2）证明：∵BD∴∠BDC∵∠C∴∠CBD∵∠EBD∴∠EBC∵BE平分∠∴∠ABE∴∠ABC∴∠A∵∠BEC=∠A+∠ABE∴∠FEC∴∠FEC∴EF【点睛】本题考查作图-基本作图，平行线的判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式51】（2023春·陕西西安·八年级西北大学附中校考期末）如图，△ABC，∠C=90°，请在AC上找一点D，使点D到AB

【答案】见解析【分析】如图：用尺规作图作∠B的角平分线与AC的交点D【详解】解：如图：点D即为所求．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、角平分线的尺规作图等知识点，掌握角平