专题244垂径定理及其推论（举一反三）（沪科版）

专题24.4垂径定理及其推论【十大题型】【沪科版】 TOC\o"13"\h\u【题型1由垂径定理及其推论判断正误】 1【题型2根据垂径定理与勾股定理综合求值】 3【题型3根据垂径定理与全等三角形综合求值】 8【题型4在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 14【题型5利用垂径定理求平行弦问题】 19【题型6利用垂径定理求同心圆问题】 23【题型7垂径定理的实际应用】 27【题型8垂径定理在格点中的运用】 33【题型9利用垂径定理求整点】 38【题型10利用垂径定理求最值或取值范围】 41【知识点1垂径定理及其推论】（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【题型1由垂径定理及其推论判断正误】【例1】（2023春·九年级单元测试）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（A．AE=BE B．AD=BD C．【答案】C【分析】根据垂径定理判断即可；【详解】∵直径CD垂直于弦AB于点E，则由垂径定理可得，AE=BE，AD=BD，AC=BC，故选项A，B，故选C．【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，准确分析判断是解题的关键．【变式11】（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习）在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题:甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.下面对这两个命题的判断,正确的是A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错【答案】D【分析】根据在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等,则另外两组量也相等，可判断甲命题；由垂径定理可得判断乙命题.【详解】(1)在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧对应相等,故甲命题错误;(2)平分弦的直径垂直于不是直径的弦;故乙命题项错误;故选D.【点睛】本题主要考查同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系及垂径定理.【变式12】（2023春·全国·九年级专题练习）下列命题正确的是（

）A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线经过圆心C．平分弦的直径垂直于弦 D．平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦【答案】ABD【分析】根据垂径定理及其推论进行判断即可．【详解】A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，正确；B、弦的垂直平分线经过圆心，正确；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；D、平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦，正确；故选ABD．【点睛】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．【变式13】（2023·福建三明·泰安模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）A．DE=BE B．BCC．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形【答案】B【详解】试题分析：∵AB⊥CD，AB过O，∴DE=CE，BC=根据已知不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．故选B．【考点】垂径定理．【题型2根据垂径定理与勾股定理综合求值】【例2】（2023·贵州遵义·统考三模）在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，则r的值是（

A．3 B．33 C．23 D【答案】C【分析】设BC、OA交于D，根据题意和垂径定理得到OD=12【详解】解：设BC、OA交于∵弦BC垂直平分OA，BC=6∴OD=在Rt△OBD中，由勾股定理得∴r2解得r=2故选C．

【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，利用方程的思想求解是解题的关键．【变式21】（2023春·浙江·九年级统考阶段练习）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，点E在AB上运动，连结OE，过点E作EF⊥OE交⊙O于点F，当EF最大时，OE+EF的值为．【答案】7【分析】当OE⊥AB，EF最大，即点F与点B重合，过O作OE⊥AB于E，连接OB，根据垂径定理得到BE=4，根据勾股定理得到OE=OB【详解】解：当OE⊥AB，EF最大，即点F与点B重合，过O作OE⊥AB于E，连接OB，∵AB=8，∴BE=4，∵OB=5，∴OE=OB2∴OE+EF=OE+OB=7，故答案为7．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.【变式22】（2023·湖北孝感·校联考一模）如图，△ABC内接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB于D交AC于E点，已知⊙O的半径为1，则AE2+CA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】连接BE，根据垂径定理得到AD=DB，得到EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接BE，如图，∵OD⊥AB，∴AD=DB，∴EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，∵∠ECB+∠EBC=∠ECO+45°+∠EBC=∠OBE+45°+∠EBC=90°，∴∠BEC=90°，在直角△BEC中，BE2+CE2=BC2，∵OC⊥OB，且OC=OB=OA∴BC2=2OA2=2，∴BE2+CE2=2，即AE2+CE2=2．故选：B．【变式23】（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°．（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；（2）若MP=3，NP=5，求AB的长；（3）当P在AB上运动时（∠NPB=45°不变），PM【答案】（1）214；（2）217；（3【分析】（1）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出OA=4，OP=2，在Rt△POH中，由于∠OPH=45°，则OH=22OP=2，再在Rt△OHN中，利用勾股定理计算出NH=14，然后根据垂径定理由OH⊥MN得到HM=HN，所以MN=2NH=214（2）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出HM=HN=4，PH=1，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得到OH=1，再在Rt△OHN中利用勾股定理可计算出ON=17，所AB=2ON=217；(3)作OH⊥MN于H，连接ON，根据垂定理得HM=HN，设圆的半径为R，在Rt△OHN中，利用勾股定理得到OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得OH=PH，则PH2+NH2=R2，然后变形PM2+PN2可得到2（PH2+NH2），所以PM2+PN2的值为2R2，又AB=2R，代入计算即可求出答案．【详解】解：（1）作OH⊥MN于H，连接ON，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，OP=2，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=22OP=2在Rt△OHN中，∵ON=4，OH=2，∴NH=NO2－OH∵OH⊥MN，∴HM=HN，∴MN=2NH=214；（2）作OH⊥MN于H，连接ON，则HM=HN，∵MP=3，NP=5，∴MN=8，∴HM=HN=4，∴PH=1，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=1，在Rt△OHN中，∵HN=4，OH=1，∴ON=OH2+∴AB=2ON=217；（3）PM2+作OH⊥MN于H，连接ON，则HM=HN，设圆的半径为R，在Rt△OHN中，OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=PH，∴PH2+NH2=R2，∵PM2+PN2=（HMPH）2+（NH+PH）2=（NHPH）2+（NH+PH）2=2（PH2+NH2）=2R2．又AB2=4R2，∴PM2+P∴PM2+【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．【题型3根据垂径定理与全等三角形综合求值】【例3】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE．若AE＝1，AB

A．22 B．32 C．42【答案】A【分析】如图所示，过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，根据垂径定理可求出EH的值，再证【详解】解：如图所示，过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于

∴根据垂径定理得，DF=CF=∵AE=1∴EH=在Rt△OBH和OB=∴Rt△∴OH=∵CD⊥∴∠HEF∵∠OHE∴四边形OHEF为正方形，OE是正方形的对角线，∴OE=故选：A．【点睛】本题考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础值，垂径定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．【变式31】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．【答案】3【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通过证得△AEO≌△ODC，证得CD＝OE＝4，然后根据勾股定理即可求得OD．【详解】解：∵E点为AF中点，∴OE⊥AF，∵CO⊥EO，∴OC∥AF，∴∠OAE＝∠COD，∵CD⊥AB，∴∠AEO＝∠ODC，在△AEO和△ODC中，∠OAE∴△AEO≌△ODC（AAS），∴CD＝OE＝4，∵OC＝5，∴OD＝OC2-CD2【点睛】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键【变式32】（2023·上海·统考中考真题）已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G,AD=CB,M,（1）求证：OG⊥（2）联结AC,AM,CN，当【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连结OM,ON，由M、N分别是CB和AD的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由AB=CD，可得OM=ON，可证（2）设OG交MN于E，由RtΔEOP≌RtΔFOP，可得MG=NG，可得∠CMN=∠ANM，CM=12CB=12AD=AN，可证△CMN≌△ANM可得【详解】证明：（1）连结OM,∵M、N分别是CB和AD的中点，∴OM，ON为弦心距，∴OM⊥BC，ON⊥AD，∴∠GMO在⊙O中，AB=∴OM在Rt△OMG和Rt△ONG中，OM=∴RtΔGOM∴MG=∴OG（2）设OG交MN于E，∵RtΔGOM∴MG=∴∠GMN=∠GNM∵CM在△CMN和△ANM中CM=∴△CMN∴AM∵CN∥OG，∴∠CNM∴∠AMN∴∠AM∴AM∥CN，∴ACNM∵∠AMN∴四边形ACNM是矩形．【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．【变式33】（2023春·江西赣州·九年级统考期末）按要求作图(1)如图1，已知AB是⊙O的直径，四边形ACDE为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出∠AOD的角平分线(2)如图2，已知AB是⊙O的直径，点C是BD的中点，AB∥CD，请你用无刻度的直尺在射线DC上找一点P【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AD，EC交于点F，作射线OF交⊙O于点P，OP（2）连接DB，OC交于点E，作射线AE交DC于点P，四边形ABPD即为所求．【详解】（1）解：如图1，连接AD，EC交于点F，作射线OF交⊙O于点P，OP∵四边形ACDE为平行四边形，∴AF∵OA∴OP是∠AOD（2）如图2，连接OD，连接DB，OC交于点E，作射线AE交射线DC于点P，四边形ABPD即为所求；∵点C是BD的中点，∴OC∵OD∴DE∵AB∴∠ABE在△ABE与△∠ABE∴△ABE∴AB∵AB∥∴四边形ABPD是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，垂径定理，三线合一，掌握以上知识是解题的关键．【题型4在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】【例4】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图像被⊙A．4 B．3+2 C．32 D【答案】B【分析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，求出D点坐标为(3,3)，可得△OCD为等腰直角三角形，从而△PED也为等腰直角三角形．根据垂径定理得AE=【详解】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于∵⊙P的圆心坐标是(3,∴OC=3,把x=3代入y=x∴D点坐标为(3,3)，∴CD=3∴△OCD∴∠PDE∵PE⊥∴△PED为等腰直角三角形，AE在Rt△PBE中，∴PE=∴PD=∴a=3+故选B．【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．正确作出辅助线是解答本题的关键．【变式41】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10,0)，点B的坐标是(8,0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．【答案】点C的坐标为(1,3)【分析】连接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H，根据题意得CD=OB=8，CN=MH，CH=MN，根据垂径定理得出CN=DN=12【详解】解：如图，连接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥∵四边形OCDB为平行四边形，B点的坐标是(8,0)，∴CD=OB=8，又∵MN∴CN=DN=∵点A的坐标是(10,0)，∴OA∴MO在Rt△MNC中，MN=CM2-C∴CH=3．又∴点C的坐标为(1,3)．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．【变式42】（2023·江苏南京·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为．【答案】(0,-4)【详解】设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，先根据垂径定理可得EA＝EB＝4，FC＝FD，进而可求出OE＝2，再设P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，进而可得点D坐标．【解答】解：设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，则EA＝EB＝AB2＝4，FC＝FD∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，∴E（2，0），设P（2，m），则F（0，m），连接PC、PA，在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，在Rt△APE中，PA2＝m2+42，∵PA＝PC，∴（3﹣m）2+22＝m2+42，∴m＝±1∴F（0，-1∴CF＝DF＝3-(-12)∴OD＝OF+DF＝12+7∴D（0，﹣4），故答案为：（0，﹣4）．【点睛】本题考查垂径定理，涉及到平面直角坐标系，勾股定理等，解题关键是利用半径相等列方程．【变式43】（2023春·湖北鄂州·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点0,10，直线y=kx+2k-4与⊙O交于A．62 B．103 C．8【答案】C【分析】易知直线y=kx+2k-4过定点D(-2,-4)，运用勾股定理可求出OD，由⊙O经过点【详解】解：对于直线y=当x=-2时，y故直线y=kx+2k-由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，即当OD⊥BC时，连接OB，如图所示，∵D(-2,-4)∴OD=∵⊙O经过点0,10∴OB=10∴BD=∵OB⊥∴BC=2∴弦BC的最小值是85故选：C．【点睛】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点(-2,-4)以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该题的关键．【题型5利用垂径定理求平行弦问题】【例5】（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，则AB【答案】2或14【分析】由于弦AB与CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB与CD在圆心同侧；②弦AB与CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB与CD在圆心同侧时，如图①，

过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接∵AB∥∴OE⊥∵AB=12∴CE=8∵OA=∴由勾股定理得：EO=102∴EF=②当弦AB与CD在圆心异侧时，如图，

过点O作OE⊥CD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接同理EO=102EF=所以AB与CD之间的距离是2或14．故答案为：2或14．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．【变式51】（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB=5，EF=4，那么AD=．【答案】3【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，则EH=FH=12EF=2∵GB=5，∴OF=OB=52在△OHF中，勾股定理，得OH=(5∵四边形ABCD是矩形，∴四边形OADH也是矩形，∴AD=OH=32故答案为：32【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．【变式52】（2023春·九年级课时练习）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为．【答案】21【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，∴BE＝12AB＝12，CF＝12CD＝∴OE=OB∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，在Rt△BCH中，根据勾股定理得：BC=即PA＋PC的最小值为212故答案为：212【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键．【变式53】（2023·全国·九年级专题练习）如图，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E（1）若AB=6，CD=8，求（2）若CD=46，且EF=【答案】（1）7；（2）8【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得AF=12AB=3，再由勾股定理求出OF（2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设EF=BF=x，在Rt△OBF中，利用勾股定理列式求出【详解】解：（1）连接AO和DO，∵EF⊥AB，且∴AF=∵AO=5∴OF=∵AB//∴EF⊥同理DE=OE=∴EF=（2）如图，连接BO和DO，∵CD=4∴DE=2∴OE=设EF=BF=在Rt△OBF中，x-12+x∴BF=4∴AB=2【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解．【题型6利用垂径定理求同心圆问题】【例6】（2023春·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）如图，两个圆都是以O为圆心．（1）求证：AC=（2）若AB=10，BD=2，小圆的半径为5，求大圆的半径【答案】（1）见解析；（2）41【分析】（1）作OE⊥AB，由垂径定理得AE=BE，CE=DE，即可得到（2）连接OB，OD，由AB=10，则BE=5，由勾股定理，得OE2=OD2【详解】解：（1）如图：作OE⊥AB于由垂径定理，得：AE=BE，∴BE-即AC=（2）如图，连接OD，OB，∵AB=10，∴BE=AE=5，DE=52=3，在Rt△OBE和Rt△ODE中，由勾股定理，得：OE2=∴OD2-即52解得：OB=∴大圆的半径为41.【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理进行计算是解题的关键.【变式61】（2023春·浙江台州·九年级统考期末）如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm【答案】134【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中OE在RT△OCE中，OE则r2解得：r=134．故答案为：134．【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【变式62】（2023春·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6 B．42 C．43 D【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=OA∴AB=2AC=43故答案为C.【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是