专题11平行线（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.1平行线（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】同位角、内错角与同旁内角角的名称位置特征图形结构特征同位角既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧形如字母“F”（或倒置、反转、旋转）内错角既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开”形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转）同旁内角既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间.形如字母“U”（或倒置、反转、旋转）【知识点2】平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示.【知识点3】平行线的画法一“落”：把三角尺一边落在已知直线上；二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边；三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线.【知识点4】平行公理1.平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行.2.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.【知识点5】平行线的判定判定方法1判定方法2判定方法3两条直线平行的判定两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行符号语言那么∠1=∠2那么AB//CD那么∠1=∠2那么AB//CD那么∠1+∠2=180°那么AB//CD【知识点6】平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等.性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等.性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补.【知识点7】图形的平移1.定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移，它是由移动的方向和距离决定的.2.平移中对应的元素：平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同，平移前后能重合的点，叫做对应点，能重合的线段叫做对应线段，能重合的角叫做对应角.3.平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置.（1）图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离;（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等;（3）平移前后两个图形中的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等.4.作图形平移的一般步骤：（1）确定平移的方向和平移的距离;（2）找到图形的关键点.如三角形、四边形等图形的所有顶点，圆的圆心等;（3）过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段;得到关键点的对应点（4）写出结论.【考点一】同位角、内错角与同旁内角的判别【例1】（2020下·七年级统考课时练习）如图所示，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截得的，并说出它们是什么角？和；和；和；和；和；和.【答案】答案见分析.【分析】根据同位角、内错角和同旁内角的定义进行解答即可.解：和是直线ED和直线BD被直线AB所截而产生的同位角；和是直线AB和直线AC被直线BD所截而产生的内错角；和是直线AB和直线BD被直线AC所截而产生的同位角；和是直线ED和直线CD被直线EC所截而产生的同旁内角；和是直线ED和直线BC被直线EC所截而产生的内错角；和是直线BE和直线BC被直线EC所截而产生的同旁内角.【点拨】本题考查的是同位角、内错角和同旁内角的定义，熟知三线八角的定义是解题的关键.【举一反三】【变式1】（2023上·河南南阳·七年级校考期末）如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，即两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方的角，这样的两个角称为同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线的两侧，这样的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，两个角都在被截两条直线之间，并且在第三条直线的同侧，这样的一对角叫做同旁内角，进行判断即可．解：①由同位角的概念得出：与是同位角，正确；②由同旁内角的概念得出：与是同旁内角，正确；③由内错角的概念得出：与不是内错角，错误；④由内错角的概念得出：与是内错角，错误．故正确的有2个，是，故选：A．【点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，理解和掌握同位角、内错角、同旁内角的意义是正确判断的前提．【变式2】（2022下·上海杨浦·七年级校考期中）如图：与成内错角的是；与成同旁内角的是．【答案】、和、、和【分析】准确识别内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．解：如图，与成内错角的是、和，与成同旁内角的是：、、和．故答案分别是：、和，、、和．【点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系．【考点二】平行线公理的理解与认识【例2】（2018下·七年级课时练习）如图，P，Q分别是直线外两点．（1）过点P画直线，过点Q画直线；（2）与有怎样的位置关系？为什么？【答案】（1）作图见分析；（2）．理由见分析．【分析】（1）根据作平行线的方法，利用直尺和三角板作出与已知直线平行的直线；（2）根据平行的公理可证．此题考查了作平行线以及平行线公理．（1）解：如图，（2），理由∶因为，，所以．【举一反三】【变式1】（2022上·全国·八年级专题练习）下列说法正确的是（）A．a、b、c是直线，若，则B．a、b、c是直线，若，则C．a、b、c是直线，若，则D．a、b、c是直线，若，则【答案】D【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．解：A．当时，，故本选项错误，不符合题意；B．在同一平面内，当时，，故本选项错误，不符合题意；C．当时，，故本选项错误，不符合题意；D．当时，，故选项正确，符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了平行公理和推论，平行线的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行判断是解此题的关键，此题比较好，但是比较容易出错．【变式2】（2022下·湖南永州·七年级统考期中）下列三种说法：①相等的角是对顶角．②若线段AB与线段CD没有交点，则ABCD．③若a、b、c都是直线，且ab，bc，则a与c不相交．正确的是．【答案】③【分析】根据两点间的距离、对顶角、线段和平行线的知识，对选项一一分析，即可求解．解：①相等的角不一定是对顶角，故①说法错误；②在同一平面内，若直线AB与CD没有交点，则ABCD，故②说法错误；③若直线ab，bc，则ac，a与c不相交，符合平行公理，故③正确．故答案为：③．【点拨】本题考查了两点间的距离、对顶角、线段和平行线的知识，掌握以上知识是解题的关键．【考点三】平行线的判定【例3】（2022下·河南信阳·七年级校考期末）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．（1）求证：∠AOE=∠ODG；（2）若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．【答案】（1）证明见分析（2）CDOE，理由见分析【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CDOE．解：（1）证明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；（2）解：CDOE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，∵射线OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CDOE．【点拨】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022下·广东深圳·七年级校联考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②；③如果，则有；④．其中正确的序号是（

）A．①②③④B．①②④ C．①②③ D．①③④【答案】B【分析】根据，，即可得；根据角之间关系即可得；根据角之间关系可得，无法判断BC与AD平行；由题意得，，得；综上，即可得．解：∵，，∴，故①正确；∵故②正确；∵，∴，，∴BC与AD不平行，故③错误；∵，即，又∵，∴,故④正确；综上，①②④正确，故选：B．【点拨】本题考查了三角形内角和定理，余角和同角的余角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点并认真计算．【变式2】（2015下·江苏盐城·七年级阶段练习）如图，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判定∥的条件有（填写所有正确的序号）．【答案】①③④【分析】根据平行线的判定方法对各小题判断即可解答．解：①∵，∴∥（同旁内角互补，两直线平行），正确；②∵，∴∥，错误；③∵，∴∥（内错角相等，两直线平行），正确；④∵，∴∥（同位角相等，两直线平行），正确；⑤不能证明∥，错误，故答案为：①③④．【点拨】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．【考点四】平行线的性质【例4】（2012上·广西·七年级阶段练习）看图填空：已知：如图，为上的点，为上的点，，求证：．证明：______，______________________________又__________________【答案】已知；对顶角相等；等量代换；；；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】根据已知条件及对顶角相等求得同位角，从而推知两直线，所以同位角；然后由已知条件推知内错角，所以两直线．解：已知，，对顶角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，已知，等量代换，内错角相等，两直线平行．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．【举一反三】【变式1】（2022·陕西·统考中考真题）如图，．若，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两直线平行线，内错角相等，求出∠1=∠C=58°，再利用两直线平行线，同旁内角互补即可求出∠CGE的大小，然后利用对顶角性质即可求解．解：设CD与EF交于G，∵AB∥CD∴∠1=∠C=58°∵BC∥FE，∴∠C+∠CGE=180°，∴∠CGE=180°58°=122°，∴∠2=∠CGE=122°，故选：B．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线性质是解题关键【变式2】（2022下·浙江台州·七年级统考期末）如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则°．【答案】65【分析】先根据已知条件和邻补角的性质得∠DEG=130°，再由折叠的性质得到∠DEF=∠FEG=∠DEG，再根据平行线的性质得到∠DEF=65°即可．解：∵∠AEG=50°，∴∠DEG=180°50°=130°，∵把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∴∠DEF=∠FEG=∠DEG=65°，∵四边形ABCD是长方形，∴ADBC，∴∠DEF=65°．故答案为：65．【点拨】此题考查了折叠的性质以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握折叠与平行线的性质，找到相等的角．【考点五】平行线的性质与判定综合【例5】（2015下·山东德州·七年级统考期中）已知：如图，．（1）求证：；（2）求的度数．【答案】（1）证明见分析；（2）∠C=【分析】（1）先证明，可得FGB，再证明，从而可得答案；（2）由，可得，再把代入进行计算即可.解：（1）证明：，∴，FGB，，，∴；（2）解：由（1）得，，，，∴=，．【点拨】本题考查的是平行线的判定与性质，方程思想的应用，掌握“平行线的判定与性质”是解本题的关键.【举一反三】【变式1】（2018下·重庆·七年级阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C=180°；②如图2，ABCD，则∠E=∠A+∠C;③如图3，ABCD，则∠A+∠E－∠1=180°；④如图4，ABCD，则∠A=∠C+∠P．以上结论正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E∠1=180°；④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．解：①过点E作直线，∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；②过点E作直线，∵，∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；③过点E作直线，∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；④如图，过点P作直线，∵，∴，∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，∴∠1＝∠C＋∠CPA，∵ABCD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．综上所述，正确的小题有②③④．故选：C．【点拨】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．【变式2】（2021下·江苏苏州·七年级阶段练习）如图，在中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，当点E先出发后，点F也从点B出发，沿射线以的速度运动，分别连接．设点E运动的时间为，其中，当时，．【答案】或【分析】分类讨论：当点F在点C左侧时，点F再点C的右侧时，可得关于t的一元一次方程，根据解方程，可得答案．解：∵AG∥BC，∴A到BC的距离等于C到AG的距离，∴当AE=CF时，S△ACE=S△AFC，分两种情况讨论：①点F在点C左侧时，AE=CF，则2（t+1）=63.5t，解得t=，②当点F在点C的右侧时，AE=CF，则2（t+1）=3.5t6，解得t=，故答案为：或．【点拨】本题考查了平行线间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据平行线的性质得到高相等，并且分类讨论．【考点六】平移【例6】（2022下·北京·七年级校考期中）如图，已知三角形，是的平分线，平移三角形，使点移动到点，点的对应点是，点的对应点是．（1）在图中画出平移后的三角形；（2）画出点到线段的垂线段；（3）若，与相交于点，则___________°，___________°．【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）35°

110°【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）根据三角形