专题274相似（全章分层练习）（培优练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）

专题27.4相似（全章分层练习）（培优练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022上·河北保定·九年级校考阶段练习）如图，中，，D为中点，在的延长线上取一点E，使得，与交于点F，则的值为（

）

A． B． C． D．2．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使，连接BE交y轴于点F，连接CF，则的面积为（

）A．2 B．3 C． D．43．（2022上·浙江湖州·九年级统考期末）如图△ACB，∠ACB=90°，点O是AB的中点，CD平分∠BCO交AB于点D，作AE⊥CD分别交CO、BC于点G，E．记△AGO的面积为S1，△AEB的面积为S2，当＝时，则的值是（

）A． B． C． D．4．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）如图，在中，，，作如下作图；①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P；③作射线交于点D；根据以上作图，判断下列结论正确的有（

）

①②③④A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④5．（2023上·山东聊城·九年级统考期中）如图，为半圆的直径，，分别切于，两点，切于点，连接，，下结论错误的是（

）

A．B．C． D．6．（2020下·江苏苏州·八年级统考期末）将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（）A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）7．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第四十一中学校考期中）如图，点B、C是线段上的点，、、都是等边三角形，且，，已知与的相似比为．则图中阴影部分面积为（

）

A．2 B． C． D．8．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）如图，在等边三角形中，点，分别在，上，沿把进行翻折，使点的对称点落在边上．若，则（

）

A． B． C． D．9．（2023上·福建三明·九年级统考期中）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点与延长线上的点重合．交于点，交延长线于点．交于点于点，则下列结论：①，②，③，④．正确的是（

）A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④10．（2022·重庆·统考二模）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EG⊥AE交BC于点G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，则AE＝（

）A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022下·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）矩形中，，，点是边上三等分点，连接、交于点，则线段的长为．12．（2022上·广东深圳·九年级校联考期中）在中，，，是中点，连接，过点作交于点，则．

13．（2023下·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，矩形中，点E在边上，连接，，交于点F，若，，则边长为．

14．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，在四边形中，，，，，顶点在线段的左侧，过点作交于点，连接．当时，线段的长为．

15．（2023上·浙江·九年级校考期中）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，点G在边上，连接分别与交于M，N两点．设，若，则，．（结果用含k的代数式表示）16．（2022上·河北石家庄·九年级石家庄二十三中校考阶段练习）有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有．17．（2021·辽宁鞍山·统考一模）如图，，垂足为，，点为线段上一动点，连接，过作交于，连接，若，，则长的最小值为．18．（2023上·湖南永州·九年级统考期末）如上图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形…，若，则正方形的面积是．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2022下·北京·九年级校联考阶段练习）如图，在正方形中，是边上一动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，过点作于．（1）①依题意补全图形；②求的度数；连接，请用等式表示线段与线段之间的数量关系，并证明．20．（8分）（2022上·广东深圳·九年级南山实验教育集团南海中学校考期中）如图，王海同学为了测量校园内一棵大树的高度，他走到了校园的围墙外（如图所示），然后他沿着过点F与墙垂直的直线从远处向围墙靠近至B处，使大树恰好被围墙挡住顶端C和树的顶端E时，三点在同一条直线上．若米，米，米，王海身高1.6米．求大树的高度．21．（10分）（2023上·上海奉贤·九年级统考期中）如图，平行四边形中，点为的中点，点在上，，延长交于点，延长交于点．

（1）求证：；（2）连接，若点为的中点，求证：．22．（10分）（2023上·广西贺州·九年级统考期末）如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上．（1）求证：；（2）若，，求的值．23．（10分）（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）已知：中，，，时线，点D在射线上，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到．（1）如图1，连接并延长交射线于点F，若，当时；①°；②求的长；（2）如图2，连接交于点G，若，，试求的面积．24．（12分）（2023上·广西南宁·九年级南宁二中校考期中）探究与证明．已知四边形中，M，N分别是边上的点，与交于点Q．【初探】（1）①如图1，若四边形是正方形，且于点Q，则；②如图2，若四边形是矩形，且，求证：；【延伸】（2）如图3，若四边形是平行四边形，且，求证：；【拓展】（3）如图4，若，，请直接写出的值．参考答案：1．C【分析】过点作,交于点,连接,则为的中点,,得出是的中位线，由三角形中位线定理得出，由等腰三角形和三角形的外角性质证出,由证明,得出，由等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得出得出，由平行线分线段成比例定理得出,因此,即可得出结果.解：过点作,交于点,连接,如图所示:

∵为中点,,∴为的中点,,∴是的中位线,∴,∵,∴D,∵,∴,在和中,，∴,∴,∵,为中点,∴∴,，∴,∵,∴,即,∴,∴,，故选:.【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键.2．B【分析】设交轴于点，交于点，设，，利用平行线分线段成比例推出和长度，从而求出长度，即可求出的面积.解：设交轴于点，交于点，设，则.在双曲线上，..四边形为矩形，..，.，，，，..故答案选：B.【点拨】本题考查了反比例函数的几何意义、矩形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键在于学会利用参数解决问题，综合性比较强.3．D【分析】连接BG，过点O作OT∥AE交BC于点T，首先证明，再利用平行线分线段成比例求解即可．解：如图所示，连接BG，过点O作OT∥AE交BC于点T，∵点O是AB的中点，∴AO=OB，∴，∵，∴，∴，∵OT∥AE，AO=BO，∴ET=TB，∴OT=AE，∴，∵AE⊥CD，CD平分∠BCO，∴∠DCG=∠DCE，∴∠CGE+∠DCG=90°，∠CEG+∠DCB=90°，∴∠CGE=∠CEG，∴CG=CE，∵∠CGE=∠COT，∠CEG=∠CTD，∴∠COT=∠CTD，∴CO=CT，∴OG=ET，∵GE∥OT，∴，∴，∴，故选：D．【点拨】题目主要考查平行线分线段成比例，三角形的面积，三角形中位线定理等，理解题意，学会添加辅助线，构造平行线是解题关键．4．D【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，再利用三角形内角和定理可得，从而可得，然后证明，可得，进而得到，利用等量代换得到，可得点D是的黄金分割点，最后根据黄金分割的定义可得，即可解答．解：,，，，故①正确，由题意得：平分，，，，，，，，故②正确，，，，，，，故③正确，，，点D是的黄金分割点，，，综上所述，正确的有①②③④，故选：D．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，尺规作图，黄金分割，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．5．D【分析】此题考查了圆的切线的性质、切线长定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形的面积计算等知识与方法，连接，由分别切于两点，切于点，根据切线长定理得，，则，可判断正确；由是的直径得，，则，于是有，由切线长定理得，，则，因此，可判断正确；根据“”可分别证明，，则，可判断正确；先由，，证明，根据相似三角形的对应边成比例得到，故错误；正确作出所需要的辅助线是解题的关键．解：如图，连接，

∵分别切于两点，切于点，∴，，∴，故正确；∵是的直径，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，故正确；∵是的半径，∴，∴，，在和中，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，故正确；∵，，∴，∴，∴，故错误；故选：．6．B【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM，MO＝3，进而得出答案．解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，过点C作CM⊥x轴于点M．∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，∴∠EAO=∠COM，又∵∠AEO=∠CMO=90°，∴△AEO∽△OMC，∴，∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，∴∠BAN=∠EAO=∠COM，在△ABN和△OCM中，，∴△ABN≌△OCM（AAS），∴BN=CM．∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，∴BN，∴CM，∴，∴MO=3，∴点C的坐标是：（3，）．故选：B．【点拨】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.7．B【分析】本题主要考查了等边三角形，含的直角三角形，相似三角形等．解决问题的关键是熟练掌握等边三角形性质，含的直角三角形性质，相似三角形的判定和性质．利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得；设与、分别相交于点M、N，根据等边对等角求出，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后求出，再根据相似三角形对应边成比例求出，从而得到，然后求出，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解：∵、都是等边三角形，∴，∴，即，解得；如图，设与、分别相交于点M、N，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，即，解得，∴，∵，∴，∴，∴，即阴影部分面积为．故选：B．

8．D【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，连接，，设，则，根据等边三角形的性质和折叠的性质得，，再通过证明，根据周长比等于相似比即可求出的值，熟知等边三角形的性质，折叠的性质，证明三角形的相似是解题的关键．解：连接，，

∵，∴设，则，∵是等边三角形，∴，，由折叠的性质可知：是线段的垂直平分线，∴，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即：，故选：．9．A【分析】由折叠性质和平行线的性质可得，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出，再求出即可判断②正确；由得，求出即可判断③正确；根据即可判断④错误.解：由折叠性质可知:,∵,∴.∴.∴.故①正确;∵,∴.∵,∴.故②正确;∵,∴.∵,故③正确；∵,∴.，，，，与不相似.故④错误；故选:．【点拨】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键.10．B【分析】过点作的平行线，分别交于点，先根据矩形的性质与判定可得四边形和四边形都是矩形，设，则，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的值，最后在中，利用勾股定理即可得．解：如图，过点作的平行线，分别交于点，四边形是矩形，，，四边形是矩形，，同理可得：四边形是矩形，，设，则，，，，即，解得，，，，，，，，在和中，，，，即，解得或，经检验，是所列分式方程的根，且符合题意；不是所列分式方程的根，舍去，，，故选：B．【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．11．或【分析】分和两种情况进行讨论，即可得出答案．解：四边形是矩形，，，，，，，点是边上三等分点，分两种情况进行讨论：①如图1，

当时，，，∵，，，，②如图2，

当时，，，∵，，，，综上所述，的长为或，故答案为：或．【点拨】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．12．/【分析】作交的延长线于，令、交于点，由勾股定理可得，，由可得，从而得到，，证明得到，从而得到，证明，得到，即可得到答案．解：如图，作交的延长线于，令、交于点，，，，在中，，，是中点，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、三角形面积的计算，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．13．【分析】连接，由矩形的性质可得，即可得到，即，再由，可得，得到，由平行线分线段成比例可得，求得，最后在和中利用勾股定理列方程求解即可．解：连接，

∵矩形，∴，，，，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵在中，中，，∴，解得，故答案为：．【点拨】本题综合考查矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，难度比较大，解题的关键是有得到．14．【分析】过点C作于F，延长到H，使得，连接，证明，得到，则，再求出，利用三线合一定理得到，同理可证，进一步证明，得到，由勾股定理得，则．解：过点C作于F，延长到H，使得，连接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，同理可证，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，故答案为：．

【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．15．【分析】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．由轴对称的性质，证明，推出，再证明，推出，即可求得；设，则，证明，利用相似三角形的性质列出比例式，解一元二次方程即可求解．解：由轴对称的性质，得，，，，，∴，∴，.∴，∵，∴，又，，∴，∵，不妨设，则，，∴，∴；设，则，∵，，∵，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，整理得，∴，∴，∴，故答案为：；．16．6【分析】利用求得，然后求得，这样就可以计算得小长方形一共有4层，然后再次利用相似比，可求得每层可分割几个小长方形，最后确定小长方形的总数即可.解：如图：当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时，∴∴，且，，∴∴∵小长方形的宽为∴能分割四层小长方形设最底层的上一层的靠近点A的边为x根据三角形相似可得：解得，正好能分割两个小长方形再上一层靠近点A的边就会小于，因此只能分割一个小长方形，且最上层分割了一个小长方形∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个故答案为6【点拨】本题主要考查了三角形的相似在实际生活中的应用，能够灵活应用相似比求解对应的边是解决问题的关键17．【分析】设DE交AP于点Q，DE交BC于点H，根据，确定点Q在以AD为直径的圆周上运动，得到当点Q与点P重合时，PE最小，此时，点Q、点P与点H重合，取AD的中点O，连接OP，利用勾股定理求出CP，再证明△CDP≌△BPE，利用勾股定理求出答案．解：设DE交AP于点Q，DE交BC于点H，∵，∴，∴点Q在以AD为直径的圆周上运动，当点Q与点P重合时，PE最小，此时，点Q、点P与点H重合，取AD的中点O，连接OP，∴，,∴，∵AD∥BF，∴△CPD∽△BPE，∵，∴△CDP≌△BPE，∴，故答案为：．【点拨】此题考查图形中的动点问题，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定，正确理解点Q的位置与点P的位置确定PE的最小值位置是解题的关键．18．【分析】先求出，再证明，得到，，，再证明，得到，从而得到正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，……，根据规律即可求解．解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，∴，∵轴，轴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，同理可得，∴∴∴正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，……∴正方形的面积是．故答案为：．【点拨】本题为位似的实际应用，考查了位似的定义，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，理解题意，根据相似三角形和正方形的知识分别求出正方形的边长，从而表示出正方形的面积并发现规律是解题关键．19．（1）①见详解②；（2），证明见详解【分析】（1）①依照题意，画出图形；②由等腰三角形的性质和轴对称的性质可求解；（2）连接，作交的延长线于点，由“”可证，得，证得是等腰直角三角形得到，根据平行线分线段成比例定理得到，即可证得结论．（1）解：①补画图形，如下图所示；

②由对称可得，，∵四边形为正方形，∴，，∴，∵，∴，∴；（2），证明如下：连接，作交的延长线于点，如下图，

∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，∴，∴，由（1）可知，，又∵，∴，∴，∴，，在中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，平行线截线段成比例等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．20．大树的高度为8.6米【分析】如图，作于H，交于G，则，；然后再证明，运用相似三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答．解：如图，作于H，交于G，则，，∵，∴，∴=，即=，∴，∴（m）．答：大树的高度为8.6米．【点拨】本题主要考查了相似三角形的应用，利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．21．（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）过点作交的延长线于点，连接，根据平行线分线段成比例定理及平行线的性质可得，，证明，可得，结合得到四边形是矩形，得到，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形的性质和平行线的性质推出，得到，即可得证；（2）连接，证明四边形是平行四边形，得到，再根据线段垂直平分线的判定与性质即可得证．解：（1）证明：如图，过点作交的延长线于点，连接，

，，，，∵点为的中点，，，，，∴四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形，，在中，点为的中点，，，四边形是平行四边形，，，，，，；（2）证明：如图，连接，

，在平行四边形中，点为的中点，点为的中点，，∴四边形是平行四边形，，，，由（1）可得：，，∴是的垂直平分线，．【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质、平行线的性质、平行线分线段成比例定理、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活应用，添加适当的辅助线，是解此题的关键．22．（1）见分析；（2）9【分析】（1）根据矩形的性质可知，在中可得，再由可得，进而可得即可证明结论；（2）由可得，然后说明可得，然后将代入计算即可．解：（1）证明：∵四边形是矩形，∴．在中，，∵，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查的是矩形的性质、相似三角形