专题2410正多边形和圆（举一反三）（沪科版）

专题24.10正多边形和圆【十一大题型】【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1求正多边形中心角】 1【题型2求正多边形的边数】 4【题型3正多边形与圆中求角度】 8【题型4正多边形与圆中求面积】 12【题型5正多边形与圆中求周长】 16【题型7正多边形与圆中求边心距、边长】 24【题型8正多边形与圆中求最值】 28【题型9尺规作图正多边形】 32【题型10正多边形与圆中的规律问题】 36【题型11多边形与圆中的证明】 40【知识点正多边形和圆】（1）正多边形的有关计算中心角边心距周长面积为边数；为边心距；为半径；为边长（2）正多边形每个内角度数为，每个外角度数为【题型1求正多边形中心角】【例1】（2023秋·广东广州·九年级校考期中）下列图形中，绕它的中心旋转60°后可以和原图形重合的是（）A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形【答案】A【分析】根据旋转对称图形的定义，逐一进行判断即可．【详解】解：A、正六边形的中心角为：360°6=60°，绕它的中心旋转B、正五边形的中心角为：360°5=72°，绕它的中心旋转C、正方形的中心角为：360°4=90°，绕它的中心旋转D、正三角形的中心角为：360°3=120°，绕它的中心旋转故选A．【点睛】本题考查旋转对称图形．熟练掌握正多边形的中心角等于360°n，以及旋转对称图形的定义，是解题的【变式11】（2023秋·河北唐山·九年级统考期中）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（

）A．45° B．60° C．90° D．120°【答案】B【分析】根据正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，由已知边长与半径相等，可知一边所对的圆心角为60°，即得答案．【详解】解：如图所示的正多边形中，∵AB∴Δ∴∠AOB∴这个正多边形的中心角为60°．故选B．【点睛】此题主要考查正多边形的中心角概念，正确理解题意与中心角概念相结合是解此题的关键．【变式12】（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若∠BOC是正n边形的一个中心角，则n的值为（

A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】连接OA，先求出∠AOB的度数，然后利用正多边形外角和等于360°【详解】解：连接OA，如图：根据题意，正六边形和正方形的中心都是点O，∴∠AOC=90°，∴∠COB∵∠COB是某正n∴n=故选：C．【点睛】本题考查了正多边形的性质，正多边形的外角和定理，解题的关键是掌握正多边形的性质，正确求出∠COB【变式13】（2023秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于⊙O，则PC的度数为°【答案】24【分析】连接OA，OB，OP，OC，分别求出正五边形ABCDE和正三角形APQ的中心角，结合图形计算即可．【详解】解：连接OA，OB，OP，OC，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB∴∠AOC∵△APQ∴∠AOP∴∠POC∴PC的度数为24°．故答案为：24．【点睛】本题考查圆心角和弧之间的关系，正多边形与圆的有关计算．掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．【题型2求正多边形的边数】【例2】（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB=18°A．10 B．12 C．15 D．20【答案】A【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到∠AOB【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，∵∠ADB∴∠AOB∴这个正多边形的边数为360°故选：A．【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．【变式21】（2023秋·湖北十堰·九年级统考期末）如图，AB,BC和AC分别为⊙O内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则nA．六 B．八 C．十 D．十二【答案】D【分析】分别求出∠AOB和∠COB，从而得到∠AOC，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OA，OC，OB，∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边，∴∠AOB=360°∴∠AOC∴n=故选D．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解题的关键．【变式22】（2023秋·山东济南·九年级统考期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】连接AC,OD,OF，先根据圆内接正多边形的性质可得点O在AC上，且AC是∠BAD和∠EAF的角平分线，从而可得【详解】解：如图，连接AC,∵四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为∴点O在AC上，且AC是∠BAD和∠EAF的角平分线，∴∠CAD∴∠DAF∴∠DOF∵DF恰好是圆O的一个内接正n∴n故选：D．【点睛】本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．【变式23】（2023秋·安徽安庆·九年级校联考期末）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD,∠C=120°，点E在弧AD上，连接OD、（1）∠AED的度数为（2）当∠DOE=90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，则n【答案】120°12【分析】（1）连接BD，由已知条件证△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°；（2）连接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，结合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得n=【详解】（1）连接BD，∵四边形ABCD是⊙O∴∠BAD∵∠C∴∠BAD∵AB=∴△ABD∴∠ABD∵四边形ABDE是⊙O∴∠AED∴∠AED（2）连接OA，∵∠ABD∴∠AOD∵∠DOE∴∠AOE∴n=【点睛】本题考查正多边形与圆相关知识点，理解并熟练运用基本性质和结论是解题关键．【题型3正多边形与圆中求角度】【例3】（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，P为弧AB上的一点（点P不与点A，B重合），则∠DPF的度数为（

A．22.5° B．30° C．40° D．45°【答案】D【分析】连接OD、OE、OF，根据正多边形和圆的知识求出正八边形的中心角的度数，根据圆周角定理求出∠DPF【详解】解：连接OD、OE、OF，如图，

∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠DOE∴∠DOF∴∠DPF故选：D．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、圆周角定理的应用；熟练掌握中心角公式，由圆周角定理求出结果是解决问题的关键．【变式31】（2023秋·浙江嘉兴·九年级统考期末）如图，正六边形ABCDEF和正方形AGDH都内接于⊙O，连接BG，则弦BG所对圆周角的度数为（

A．15° B．30° C．15°或165° D．30°或150°【答案】C【分析】先求出正六边形和正方形的边所对的圆心角，求差可得弦BG所对得圆心角，再分别求出优弧和劣弧所对得圆周角即可．【详解】如图，连接BO,AO,GO∵四边形AGDH是正方形∴∠∵六边形ABCDEF是正六边形∴∠∴∠∴弦BG所对圆周角的度数为30°2=15°故选C．【点睛】本题考查正多边形和圆的关系，以及同弧所对圆周角是它所对圆心角得一半，注意有两个答案．【变式32】（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，AF是⊙O的直径，P是⊙O上的一点（不与点B，F重合），则∠BPF

【答案】54或126【分析】由正五边形的性质，圆周角定理，得到∠COF=∠DOF，由等腰三角形的性质推出直径AF【详解】解：连接OC，

∵正五边形ABCDE的五个顶点把圆五等分，∴ABC=∴∠AOC∴∠COF∵OC=∴直径AF⊥∴CF=∵∠COD∴∠COF当P在BAF上时，连接OB，∵∠BOC∴∠BOF∴∠BPF当P在BCF上时，由圆内接四边形的性质得∠BPF∴∠BPF的度数是54°或126°故答案为：54或126．【点睛】本题考查正五边形和圆，关键是掌握正五边形的性质．【变式33】（2023春·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图所示，在正五边形ABCDE中，F是CD的中点，点G在线段AF上运动，连接EG，DG，当△DEG的周长最小时，∠

【答案】72°【分析】根据对称的定义得出当点E、G、C在同一条直线上时，△DEG【详解】解：如图，当点E、G、

，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CDE=5-2∴∠DCE∵F是CD的中点，∴AF是正五边形ABCDE∴GD∴∠GDC∴∠EGD故答案为：72°．【点睛】本题主要考查了正多边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的定义、对称的性质，熟练掌握正多边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的定义、对称的性质，是解题的关键．【题型4正多边形与圆中求面积】【例4】（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD、FB为边作正方形，则两个阴影部分的面积差S1-S

A．0 B．1 C．3 D．2【答案】B【分析】分别求出两个正方形的面积，再求差可得结论．【详解】解∶如图，取正六边形ABCDEF的中心O，连接OF，OB，OC，令OA交

∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴∠BOC=∠AOB=∠AOF∴△COD、△BOC与△AOB都是边长为1∴AD=OA+OD∴OM=OF=∴BF=2FM=2∴AD为边的正方形的面积为4，FB为边的正方形的面积为3，∴S1故选∶B．【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式41】（2023秋·山东滨州·九年级统考期中）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=103mmA．253mm2 B．753mm2【答案】C【分析】根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=【详解】解：如图：作BD⊥AC于由正六边形，得∠ABC=120°，∠BCD由AC=103mm∴a=这个正六边形的面积6×1故选C．【点睛】本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的性质和勾股定理．【变式42】（2023秋·福建宁德·九年级统考期末）将三个正六边形按如图方式摆放，若小正六边形的面积是6，则大正六边形的面积是【答案】54【分析】由正六边形的性质，可知图中每个三角形都为等边三角形且全等，再确定每个小正三角形得面积，即可得出结果．【详解】解：如图连线：∵多边形为正六边形，∴图中每个三角形都为等边三角形且全等，∵小正六边形的面积是6，∴每个三角形的面积为16由图得共有54个等边小三角形，故大正六边形的面积是54×1=54，故答案为：54．【点睛】题目主要考查正多边形的性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．【变式43】（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）如图，在⊙O的内接正六边形ABCDEF中，AB=3【答案】3【分析】连接OA，OB，OD，OA交BF于G，由圆内正六边形的性质，等边三角形的性质和勾股定理分别求出圆的半径OB，△BDF的底边BF和高DG，再用圆的面积减去△【详解】解：如图，连接OA，OB，OD，OA交BF于G，∵六边形ABCDEF是正六边形，且内接于⊙O∴点A,O,D在同一条直线上，OA⊥∴BG=FG，∴OG=∵AB=∴OA=∴OG=∴DG=在Rt△OBG中，由勾股定理得∴BF=∴S==3π【点睛】本题主要考查了圆内正多边形的性质，熟练掌握圆内正六边形的性质是解题的关键．【题型5正多边形与圆中求周长】【例5】（2023秋·四川广安·九年级统考期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π

A．63 B．66 C．3 D【答案】D【分析】连接OB、OC，根据⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径OB=OC=3，而六边形【详解】解：连接OB、OC，如图：

∵⊙O的周长等于6∴⊙O的半径OB∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC∴△BOC∴BC即正六边形的边长为3，∴正六边形的周长为18，故选：D．【点睛】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于60°，从而得到△BOC【变式51】（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）如图，BF、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，若正六边形ABCDEF的边长是a，则四边形BCEF的周长是．（用含a的代数式表示）【答案】2a＋23a【分析】过点A作AH⊥BF，垂足为H，先证△ABF为等腰三角形，求出∠ABH的度数，用含a的代数式表示出AH、BH，然后利用等腰三角形的三线合一，矩形的判定与性质即可解决问题．【详解】解：过点A作AH⊥BF，垂足为H，如图所示：∵ABCDEF是正六边形，∴AB=AF，△正六边形的每个内角度数为：180°(n∵AH∴∠BAH∴∠ABH∵AB=a∴BH∴BF又∵BC∥EF，BC∴四边形BCEF为矩形，∴C故答案为：2a＋23a．【点睛】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，熟悉这些性质定理是解决问题的关键．【变式52】（2023春·浙江台州·九年级校考期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解π的意义．(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”kn．如图，正三角形ABC的边长为1，求得其内切圆的半径为36，因此k(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”k4(3)[总结]随着n的增大，kn【答案】(1)3(2)4π，(3)随着n的增大，kn越来越接近于1【分析】（1）根据“正圆度”的定义进行求解即可；（2）设正方形边长和正六边形的边长都为1，求出此情形下对应的内切圆半径，再根据“正圆度”的定义进行求解即可；（3）根据（1）（2）所求可知随着n的增大，kn越来越接近于1【详解】（1）解：由题意得，k3故答案为：33（2）解：假设正方形边长1，∴此时正方形的内切圆半径为12∴k4设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则∠AOB又∵OA=∴△AOB∴OA=∴OC=∴k6（3）解：k3≈1.65，k4≈1.27，k6≈1.10，随着n的增大，【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键．【变式53】（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，点G，H，I，J，K，L分别是正六边形ABCDEF各边的中点，则六边形GHIJKL与六边形ABCDEF的周长比为．【答案】3【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，周长是6x，连接OH，OC，根据正六边形的性质得到OC=BC【详解】解：设正六边形ABCDEF的中心为O，连接OH，OC，设正六边形ABCDEF的周长是6x∴OC∴OH∵顺次连接正六边形ABCDEF各边的中点G、H、I、J、K、L得到的六边形为正六边形，∴HI∴六边形GHKLMN的周长是33∴GHIJKL与六边形ABCDEF的周长比=故答案为：32【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【题型6正多边形与圆中求半径】【例6】（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，已知⊙O的内接正方形ABCD的边长为1，则⊙O的半径为（A．2 B．22 C．1 D．【答案】B【分析】利用正方形的性质结合勾股定理得出⊙O【详解】解：连接OB、∵⊙O的内接正方形ABCD的边长为1∴OB=在Rt△BOC中，∴OB=故选：B．【点睛】此题考查了正多边形和圆、勾股定理，正确掌握正方形的性质是本题的关键．【变式61】（2023秋·青海海东·九年级统考期末）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为【答案】4【分析】圆心为A，设半径为R，大正方形边长是2x，根据图形可得AE=BC【详解】解：如图所示，圆心为A，设半径为R，大正方形边长是2∵正方形的两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧，∴AE∵小正方形的面积为16c∴小正方形的边长为EF=由勾股定理得：R2即x2解得：x=4∴R故答案为：45【点睛】题目主要考查圆的基本性质及勾股定理解三角形，正方形的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．【变式62】（2023秋·河南许昌·九年级统考期末）若正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形内切圆的半径为．【答案】2【分析】根据题意画出图形，再由正方形的性质判断出△AOE【详解】解：如图，连接OA、OE，根据题意知OA=4∵AB是小圆的切线，∴OE⊥∵四边形ABCD是正方形，∴△AOE是等腰直角三角形，AE∴在Rt△AOE中AE∴2OE2=4故答案为：22【点睛】本题考查了正方形和圆、勾股定理、正方形的性质等知识，根据题意画出图形并利用勾股定理是解答本题的关键，属于中考常考题型．【变式63】（2023秋·天津红桥·九年级统考期末）若一个正六边形的边长为2，则其外接圆与内切圆的半径分别为（

）A．2，1 B．2，3 C．3，2 D．23，【答案】B【分析】从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的边引垂线，构建直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：设内切圆的圆心为O，连接OA，OB，过O作OG⊥AB于∵正六边形的边长为2，∴正六边形的半径是2，则外接圆的半径2，∵内切圆的半径是正六边形的边心距，∵∠AOB=60°，AO=BO，则∴∠∴AG∴GO=A故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．【题型7正多边形与圆中求边心距、边长】【例7】（2023秋·贵州黔西·九年级统考期中）已知四个正六边形按如图所示摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F均在⊙O上，连接AD．若两个大正六边形的边长均为4，两个小正六边形全等，则小正六边形的边长是（

A．3-13 B．13-1 C．13【答案】B【分析】在边长为4的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形对应点的距离MF，再根据正六边形的性质求出半径GF，即边长FH即可．【详解】解：∵连接AD交PM于O，∴点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，由对称性可知，OM=由正六边形的性质可得ON=4∴OD∴MF由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、∴FH故选：B．【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．【变式71】（2023秋·河北石家庄·九年级校考期中）如图，半径为2的⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，则边心距OM的长度为（

A．1 B．3 C．32 D．【答案】B【分析】如图所示，连接OC，OD，求出∠COD=60°，进而证明△COD【详解】解：如图所示，连接OC，由题意得∠COD∵OC=∴△COD∴CD=∵OM⊥∴CM=∴OM=故选B．

【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质与判断，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【变式72】（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）圆内接正六边形与圆外切正三角形的边长之比为．【答案】3【分析】设圆的半径为r，求出圆内接正六边形与圆外切正三角形的边长解题即可．【详解】解：设圆的半径为r，则圆内接正六边形的边长为r，如图，可知OC=r，∴OA=2∴AC=∴AB=2∴圆内接正六边形与圆外切正三角形的边长之比为r:2故答案为：3:6

【点睛】本题考查圆和正多边形，掌握构造直角三角形求边长是解题的关键．【变式73】（2023秋·山东济宁·九年级校考期末）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为．

【答案】2【分析】连接