专题265反比例函数章末七大题型总结（培优篇）（人教版）

专题26.5反比例函数章末七大题型总结（培优篇）【人教版】TOC\o"13"\h\u【题型1反比例函数k的几何意义】 1【题型2反比例函数图象上点的坐标特征的运用】 7【题型3反比例函数的图像与性质的运用】 10【题型4反比例函数与一次函数图象的综合判断】 14【题型5反比例函数与一次函数图象的交点问题】 18【题型6反比例函数与一次函数图象的实际应用】 25【题型7反比例函数与一次函数的其他综合运用】 32【题型1反比例函数k的几何意义】【例1】（2023春·湖南衡阳·九年级校考期中）如下图，过反比例函数y=2x（x>0）图像上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y=kx（x>0）于点B，连接

A．4 B．-2 C．-4 D【答案】C【分析】利用反比例函数系数k的几何意义，先求出S△AOC，再求出S△【详解】解：∵点A在反比例函数y=2x（x∴S△又∵S△∴S△∴12k=2∴k=-4故选：C．

【点睛】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确计算的关键．【变式11】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中有一个6×2的矩形ABCD网格，每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数y=-32xx<0的图像经过格点E（小正方形的顶点），反比例函数y=52xx>0的图像经过格点F，同时还经过矩形

【答案】4【分析】根据题意可得xF-xE=4，

从而得到点E到y的距离为32，到x的距离为1，点F到y的距离为52，到x的距离为1，进而得到点G的横坐标为7【详解】解：根据题意得：xF∵反比例函数y=-32xx<0的图像经过格点∴点E到y的距离为32，到x的距离为1，点F到y的距离为52，到x的距离为建立平面直角坐标系，如图所示，

∴点G的横坐标为72对于y=当x=72∴点G到EF的距离为1-5∴△EFG的面积为1故答案为：4【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数的图象和性质是解决问题的前提．【变式12】（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）如图，点A是反比例函数y=mx(x<0)图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y=nx(x<0)图象交于点B，A．-4 B．-8 C．-10【答案】B【分析】根据反比例函数的性质可知S△AOC=-【详解】解：∵点A是反比例函数y=∴设点Ax∵AC⊥x轴于点∴点C∴S△∵m<0∴S△∵AC＝∴AB=∴S∵点B在反比例函数y=nx∴BC⋅∵△OAB的面积为2∴BC⋅∴-n即n=-2∵S△∴S△∴-1∴m=-6∴m+故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的面积关系，掌握反比例函数的性质是解题的关键．【变式13】（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，A、B是函数y=6x上两点，P为一动点，作PB①△AOP≌△BOP；②S△AOP=S△BOP；③若OA=

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】由点P是动点，可判断出①错误，设出点P的坐标，求出AP、BP的长，再利用三角形面积公式计算即可判断出②；利用角平分线定理的逆定理可判断③；先求出S矩形【详解】解：∵点P是动点，∴BP与AP不一定相等，∴△BOP与△AOP不一定全等，故设P(∵PB∥∴B(∴AP∴S同理：S∴S△AOP=如图，过点P作PF⊥OA于F，PE⊥

∴S∵S△∴OB∵OA=∴PE=∵PE∴OP是∠AOB的平分线，故③如图，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，

∴AM⊥y轴，∴四边形OMPN是矩形，∵点A，B在双曲线y=∴S△∵S△∴S△∴S矩形∴mn=2∴m∴BP=6∴S△APB=故选：B．【点睛】本题属于反比例函数与几何综合题，主要考查了反比例函数的性质、三角形面积公式、角平分线定理逆定理、矩形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线并灵活应用所学知识是解答本题的关键．【题型2反比例函数图象上点的坐标特征的运用】【例2】（2021春·江苏常州·九年级统考期末）已知反比例函数的图象经过三个点（﹣3，﹣4）、（2m，y1）、（6m，y2），其中m＞0，当y1﹣y2＝4时，则m＝．【答案】1【分析】先根据反比例函数的图象经过点（﹣3，﹣4），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y＝12x，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1＝122m＝6m，y2＝126m＝2m，然后根据y1﹣y2＝4列出方程6【详解】解：设反比例函数的解析式为y＝kx∵反比例函数的图象经过点（﹣3，﹣4），∴k＝﹣3×（﹣4）＝12，∴反比例函数的解析式为y＝12x∵反比例函数的图象经过点（2m，y1），（6m，y2），∴y1＝122m＝6m，y2＝12∵y1﹣y2＝4，∴6m﹣2m＝∴m＝1，经检验，m＝1是原方程的解．故m的值是1，故答案为1．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出双曲线的解析式是解题的关键．【变式21】（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知反比例函数y=kx(k≠0)，在每一个象限内，A．(2,3) B．(-2,3) C．(0,3) D．(-2,0)【答案】B【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k【详解】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)∴k=A.∵2×3>0，∴点(2,3)不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；B.∵-2×3<0，∴点(-2,3)C.∵3×0=0，∴点(0,3)不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；D.∵-2×0=0，∴点(-2,0)故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【变式22】（2023秋·广西北海·九年级统考期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（

）A．(-1,-1) B．(1,-1) C．2,12 D【答案】B【分析】先根据点A（1，1）是反比例函数y=kx【详解】解：∵点A（1，1）是反比例函数y=∴k=-1×1=-1A、-1×-1B、1×-1=-1C、2×12=1≠-1D、-2×1=-2≠-1，点(-2,1)故选：B．【点睛】本题考查反比例函数图象上各点的坐标特征，即反比例函数图象上各点坐标符合k=xy，且【变式23】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，点A-2，3，B3，2A．1 B．1 C．6 D．6【答案】B【分析】根据已知条件得到点A-2,1在第二象限，求得点C-6,m一定在第三象限，由于反比例函数y=k【详解】∵A-2,1在第二象限，B3,2在第一象限，且点A、又∵点C的横坐标为-6∴C∵反比例函数y=∴B3,2，∴解得k故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点C在第三象限是解题的关键．【题型3反比例函数的图像与性质的运用】【例3】（2020春·浙江温州·九年级统考期末）已知反比例函数y=kx(k≠0)，当-2≤x≤-1时，yA．最小值-4 B．最小值-2 C．最大值-4【答案】B【分析】由函数经过第二象限，可确定k＜0，则在−2≤x≤−1上，y值随x值的增大而增大，即可确定函数的解析式为y＝−4x【详解】解：∵当−2≤x≤−1时，y的最大值是4，∴反比例函数经过第二象限，∴k＜0，∴在−2≤x≤−1上，y值随x值的增大而增大，∴当x＝−1时，y有最大值−k，∵y的最大值是4，∴−k＝4，∴k＝−4，∴y＝−4x当x≥2时，y＝−4x有最小值−2故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定k＜0是解题的关键．【变式31】（2023秋·河南三门峡·九年级统考期末）已知反比例函数y=3xA．其图象经过点-1,-3 BC．当x>1时，0<y<3 D．当x<0时，【答案】D【分析】根据反比例函数的性质直接解答即可．【详解】解：将-1,-3代入解析式，得-3=-3，故由于k=3>0，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意、D∵x=1时，y=3，且当x>0时，y∴当x>1时，0<y<3故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．【变式32】（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）点A-3,y1、B-1,y2、C2,y3A．y1<y2<y3 B．【答案】D【分析】根据反比例函数y=-6x的图像与性质，当-6<0时，在每一个象限内y随x的增大而增大，由于A-3,y1、B-1,【详解】解：∵点A-3,y1、B-∴当-6<0时，在每一个象限内y随x∵A-3,y1、∴0<y∵C2,y3∴y3故选：D．【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，熟练掌握反比例函数增减性判定自变量或函数值大小的方法是解决问题的关键．【变式33】（2023秋·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期末）小明根据学习函数的经验，对函数y=x…0132537…y…3m10-n2537…(1)函数y=1x-1(2)下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=______，n=(3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．(4)结合函数的图象，解决问题：①方程1x-②当函数值1x-1+1>【答案】(1)x(2)12，(3)见解析(4)①x1=0，【分析】（1）根据分式有意义的条件进行求解即可；（2）分别把x=-1，x=（3）先描点，再连线即可；（4）画出对应的函数图象，然后利用图象法求解即可．【详解】（1）解：∵y=∴x-∴x≠1故答案为：x≠1（2）解：当x=-1时，y∴m=当x=32∴n=3故答案为：12，3（3）解：如图所示，即为所求；（4）解：①由下图函数图象可知，直线y=x与函数y=1x∴方程1x-1故答案为：x1②由下图函数图象可知当1<x<3时，函数y=∴当1<x<3时，故答案为：1<x【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确理解题意并掌握一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键．【题型4反比例函数与一次函数图象的综合判断】【例4】（2023春·广东中山·九年级广东省中山市中港英文学校校考期中）已知一次函数y=kx+m（k，m为常数，k≠0A． B．C． D．【答案】D【分析】根据一次函数y=kx+m（k，m为常数，【详解】根据一次函数y=kx+m（k，m为常数，∴y=-kx的图像分布在二四象限，反比例函数故选D．【点睛】本题考查了一次函数图像分布，反比例函数图像的分布，熟练掌握图像分布与k，m的关系是解题的关键．【变式41】（2023春·上海静安·九年级上海市回民中学校考期中）若反比例函数y=kxx>0，yA．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据反比例函数y=kx(x>0)，y随x增大而增大，得出k<0，则y=kx-2【详解】解：∵反比例函数y=kx(x∴k<0∴y=kx-2中，∵-2<0∴y=kx-故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的增减性．【变式42】（2023秋·湖南怀化·九年级统考期中）函数y=mx与yA．

B．

C． D．

【答案】C【分析】先将一次函数表达式化为一般式，再分别根据反比例函数及一次函数的图象在坐标系中的位置，对四个选项逐一分析，即可得到答案．【详解】解：根据投影可得，一次函数表达式为y=A、由反比例函数的图象在可一、三象限知m>0，则-∴一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象不符，故A不符合题意；B、反比例函数的图象在二、四象限可知当m<0，则-∴一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，故B不符合题意；C、由反比例函数的图象在可一、三象限知m>0，则-∴一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象相符，故C符合题意；D、由反比例函数的图象在二、四象限可知当m<0，则-∴一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象比例系数的关系，掌握反比例函数和一次函数的比例系数的几何意义，是解题的关键．反比例函数y=kx，当k【变式43】（2023春·江苏苏州·九年级校考期中）如图所示，满足函数y=kx-k和A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】B【分析】先根据反比例函数的图象所在的象限判断出k的符号，然后再根据k符号、一次函数的性质判断出一次函数所在的象限，二者一致的即为正确答案．【详解】解：一次函数y=∵反比例函数y=∴k<0∴-k∴一次函数y=故图①错误，图②正确；∵反比例函数的图象经过第一、三象限，∴k>0∴-k∴一次函数y=故图③正确，图④错误，故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．【题型5反比例函数与一次函数图象的交点问题】【例5】（2023春·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+bk1≠0的图象与反比例函数y

(1)求k1、k2及(2)△AOB的面积为______【答案】(1)k1的值为1，k2的值为2，b(2)3【分析】（1）将点B分别代入反比例函数解析式中算出k2的值，点A分别代入反比例函数解析式中算出m的值，再将然后根据待定系数法求k1、（2）将△AOB分成△AOC和【详解】（1）解：∵点B-2,-1在反比例函数∴-1=k解得：k2∴反比例函数函数解析式为：y=又∵点Am,2在反比例函数∴2=k解得：m=1∴A1,2将A1,2，B-2,-1得到-1=-2解得k∴该一次函数解析式为：y=综上所述：k1的值为1，k2的值为2，b的值为（2）令y=x+1得y∴S===故答案为：32【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的结合，待定系数法式求表达式的方法，计算三角形面积需注意分割计算，掌握待定系数法是解题的关键．【变式51】（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，A、B两点在函数y1

(1)求m的值及直线AB的解析式y2(2)当kx+b≥mx(3)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点为格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．(4)请在右图中画出函数y3=mx的图象并写出当x=12时【答案】(1)m=6，(2)1≤(3)3个(4)画图见解析，y【分析】（1）把点1,6代谢反比例函数的解析，即可求得m的值，把6,1，1,6分别代入表达式y=kx+（2）由图象即可求得；（3）根据图象及解析式即可求得．（4）根据题意，画出函数y=6【详解】（1）解：由图可知反比例函数过点1,6，将1,6代入y=mx∴反比例函数的表达式为y将点6,1，1,6分别代入表达式y=kx+解得k∴直线AB的表达式为y（2）解：由图象可知：当1≤x≤6故答案为：1≤（3）解：格点的横坐标x的取值范围为2≤x≤5且当x=2时，y=62当x=3时，y=63当x=4时，y=64当x=5时，y=6综上，所含格点的坐标为2,4，3,3，4,2，共3个，（4）解：如图所示，

∴y【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式，利用图象求不等式的解集，格点问题，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．【变式52】（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）如图，将反比例函数y=5x(x>0)的图象绕坐标原点0，0顺时针旋转45°，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线

【答案】5【分析】反比例函数y=5x(x>0)的图象上点E绕点O顺时针方向旋转45°得点A，过点E作EF⊥x轴于F，得出OA=OE=10，作BC⊥x轴于C，设Bx，12x，并且△OBC是由【详解】解：设反比例函数y=5x(x>0)的图象上点E绕点O顺时针方向旋转45°得点A，过点设Ea∵∠EOF∴EF∴a∵a∴a∴OA作BC⊥x轴于C，△OBC是由△OKH绕点∴点K在原反比例函数图象上．设Bx∴OH∴H2∴过点H作GH⊥x轴于H，

∴△KGH∵KH∴KG∴K22∴24解得x=2303或∴12∴BC∴S故答案为：53【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得B点的坐标是解题的关键．【变式53】（2023春·湖南株洲·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+bk≠0的图象与反比例函数y2=

(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；(2)在y轴上找一点P使PB-PC最大，求【答案】(1)反比例函数的解析式为y2=15(2)3【分析】（1）依据题意，分析已知条件，利用待定系数法即可解决问题；（2）求得直线y1与y轴的交点即为P点，此时，PB【详解】（1）解：把A3，5得m3∴m∴反比例函数的解析式为y2把点Ba，-得15a解得：a=-5∴B把A3，5，B得3k∴k∴一次函数的解析式为y1（2）解：一次函数的解析式为y1=x+2，令∴一次函数与y轴的交点为P0此时，PB-PC=令y=0，则x∴C如图，过B点向x轴作垂线，

，则D-∴BD=3，由勾股定理可得：BC=故所求PB-PC的最大值为【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据点的坐标求线段长，熟练数形结合是解题的关键．【题型6反比例函数与一次函数图象的实际应用】【例6】（2023春·江苏宿迁·九年级统考期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当0≤x<10和10≤x

(1)求图中点A的坐标；(2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．【答案】(1)20(2)能，理由见解析【分析】（1）设反比例函数的解析式为y=kx，由C(20,45)求出k，可得（2）求出AB解析式，得到y≥36时，x≥325，由反比例函数y=900x【详解】（1）解：设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y=45=k20，解得∴反比例函数的解析式为y=当x=45时，y∴D∴A(0,20)，即A对应的指标值为（2）解：设当0≤x<10时，AB的解析式为y=mx+20=n45=10m∴AB的解析式为y当y≥36时，52x由（1）得反比例函数的解析式为y=当y≥36时，900x≥36∴325≤x而25-32∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出0≤x<10和【变式61】（2023秋·吉林通化·九年级统考期末）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y＝2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：药物点燃后的时间x（分）6121824空气中的含药量y（毫克/立方米）12643(1)在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？【答案】(1)见解析(2)它们在同一个反比例函数图象上，反比例函数解析式为y＝72(3)此次消毒能有效杀灭空气中的病菌【分析】（1）根据表格中的x、y的值分别为点的横纵坐标描点即可；（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是在同一个反比例函数图象上．设反比例函数解析式为y=kx，将（6，12（3）把y＝8代入y＝2x得x＝4，把y＝8代入y＝72x得x＝9，计算9﹣4＝5＞4【详解】（1）解：如图所示：（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是在同一个反比例函数图象上．设反