高中北师大版数学选修2-1学案 第2章空间向量与立体几何

第二章空间向量与立体几何

本章知识要览

。|内容提要

本章是在平面向量的基础上，通过类比的方法，学习空间向量的

概念、性质和运算，并以向量为工具讨论立体几何中的一些问题.主

要包括两个方面：一是关于空间向量及其运算，这是立体几何的基础,

也是重点内容；二是关于空间向量的应用，即用向量讨论垂直与平行,

夹角的计算和距离的计算.

本章的重点是：空间向量及其运算，以空间向量为工具通过空间

向量的运算证明空间直线与直线、直线与平面、两个平面的平行和垂

直，求空间两条直线、直线与平面所成的角、二面角的大小，求空间

点到平面的距离；难点是：以空间向量为工具证明空间的位置关系，

求空间角和空间距离；易错点是求空间角时，对角的范围的判断.

学法建议

(1)解决问题要从图形入手，分析已知条件在图形中的向量表示,

由已知到图形、由图形到已知的基本训练，有序地建立图形、文字、

符号三种语言间的联系.

(2)适时地联系平面向量的知识及平面几何的知识，采用联想对

比、引申等方法认识平面向量与空间向量、平面几何与立体几何知识

的异同，并找出两者之间的内在联系，逐步培养能将立体几何问题转

化为平面几何问题的能力.

(3)由空间向量解决立体几何问题时，要注意在空间直角坐标系

下，通过转化将图形的关系转化为坐标系中数的运算，并可以灵活地

运用空间向量基本定理进行转化.

§1从平面向量到空间向量

学习目标重点睚点

I.经历从平面向量到空间向量的推广过程.

2.会说出空间向量有关概念的含义.

重点：空间向量的有关概念.

3.能指出直线的方向向量和面的法向量.

难点：直线的方向向量和平面的法向量.

4.会用克线的方向向量和克线上一点确定克线,会

用法向量和点确定平面.

预习篇YUXIPIAN--------------------------------------------------------------------------------新知导学

细读课本

知识点一向量的概念

［填一填］

(1)向量

既有大小又有方向的量叫作向量.

在物理中，有许多量可以用向量来表示，如位移、速度、加速度、

力等，这些量不但有大小，而且还具有方向.

(2)空间向量

在空间中，既有大小又有方向的量叫作空间向量.

过空间任意一点0作向量a,b的相等向量内和防，则NAOB

叫作向量m分的夹角，记作〈a,b),规定OW<«,b)WJT.

［答一答］

7T

1.向量G,b的夹角是0或兀时，向量G,方应具备什么条件？

JT、

提示：当〈。，b)=/时，向量。与方垂直，当〈。，b)=0或兀

时，向量a与b平行.

2.思考与交流：仿照平面向量的有关概念，请分别给出下列定

义：单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量.

提示：在空间中，模为1的向量叫单位向量；模为。的向量叫零

向量；模相等，方向相同的向量叫相等向量；模相等，方向相反的向

量叫相反向量；方向相同或相反的向量叫平行向量.

知识点二向量与直线

［填一填］

(1)/是空间一直线，A,3是直线/上的任意两点,则称协为直

线I的方向向量.与⑰平行的任意非零向量a也是直线/的方向向量,

直线的方向向量平行于该直线.

(2)根据立体几何知识，我们知道，给定空间中任意一点A和非

零向量m就可以确定唯二二^过点A且平行于向量。的直线.

［答一答］

讨论：直线的方向向量是唯一确定的吗？

提示：不是，只要是平行于直线的非零向量均可成为直线的方向

向量，正是由于直线的方向向量的任意性，才可便于选取方向向量，

才具有可操作性.

知识点三向量与平面

［填一填］

(1)如果直线/垂直于平面«,那么把直线I的方向向量«叫作平

面a的法向量.所有与直线/平行的非零向量都是平面a的法向量.平

面的法向量垂直于该平面.

(2)给定空间中任意一点A和非零向量«,可以确定唯一一个过点

A且垂直于向量a的平面.

［答一答］

想一想：要想在空间中确定一个平面需要哪些条件？

提示：需要有一点和一个非零向量.过这一点且垂直于已知向量

就可确定一个平面.

eI特别关注

1.向量无法比较大小.关于向量的比较，我们只限于研究它们

是否相等，而不是研究它们谁大谁小.一般来说，向量不

能比较大小.向量的模可以比较大小，应注意”=80|0=步|,但

反之不成立.

2.(1)〈心力表示。与方的夹角，书写一定要规范，不能误写

为(a,b).

(2)在图甲中，〈8,防〉=ZAOB,而图乙中，〈屐)，加=71

一/AOB.向量夹角与向量大小无关，只与方向有关.

图甲图乙

3.平行向量所在的直线可能平行也可能重合，与两直线平行不

同；平行向量的方向可能同向，也可能反向.

4.零向量与任意向量共线.

5.平面法向量的性质：

(1)若直线L平面a,则所有与直线I平行的非零向量都是平面a

的法向量，故平面a的法向量不唯一，有无限多个，但它们互相平行.

(2)一个平面的单位法向量只有两个.

(3)平面a的一个法向量垂直于与平面a共面的所有向量，也就

是平面的法向量垂直于该平面.

课堂篇KETANGPIAN-合作探究

题型一向量的有关概念

【例1】给出下列五个命题：①两个空间向量相等，则它们的

起点相同，终点也相同；②若空间两向量a,b满足⑷

=\b\,则°=岳③在正方体43CQ-A18GQ1中必有

④若空间向量小，n,p满足机=mn—p,则机=p；⑤空间中任意

两个单位向量必相等.其中正确命题的个数为（）

A.4B.3

C.2D.1

【解析】当空间两个向量的起点、终点分别相同时，这两个向

量必相等，但两个相等向量的起点不一■定相同，终点也不一■定相同，

故①错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅它们的模要

相等，而且方向也要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故

②不对；根据正方体的性质，在正方体ABCQ-AiBG。中，向量友和

4d不但方向相同而且长度相等，故应有公=左6，所以③正确；④

显然正确；对于⑤，空间任意两个单位向量的模均为1,但方向不一

定相同，故不一定相等，所以⑤不对.

【答案】C

规律方法（1）只要两个向量的方向相同，模相等，这两个向量就

相等，与起点和终点位置无关.

（2）熟练掌握空间向量的有关概念是解决这类问题的关键.

下列命题错误的是(B)

A.空间向量醺与雨的长度相等

B.零向量没有长度，所以它不是空间向量

C.同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量

D.若4b=c,则Q=C

解析：概念的理解是解决本题的关键.A选项中的两个向量互为

相反向量，所以它们长度相等；空间向量并不是一个立体图形，只要

是存在于立体空间内的向量都是空间向量，所以B选项错误；C选项

是相等向量定义的另外一个说法；我们研究的向量是自由向量，只要

向量相等都可以移动到同一起点，所以D选项正确.

题型二向量的夹角

【例2】如图，在正方体ABCDA8C。中，求:

(1)(AB,种〉，(AD,灰7〉，<AB,CD'}.

(2)流〉,(Abr,欧〉.

【思路探究】按空间向量夹角的定义求解，空间向量a,b夹

角范围是［0,兀］.

【解】⑴：在正方体ABCQ-A5C。中，

AB//A'B',AD-LD'C,AB//CD'.

：.用》=0,<A2),配〉=/,<AB,Cb'>=TI.

(2)..•在正方体A8CD-4&C。中，AD//BC.

：.〈也反:〉=〈®AD>=今

连接4C,则△4C。为等边三角形.

(Ab',Z7C>=y.

规律方法与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量夹角时，

采取平移的方法，把空间两向量的夹角转化为平面内某两条相交直线

的角，进而用解三角形的知识求解.必须注意两向量夹角应保证两向

量移至共同起点处，比如若〈油，疵〉=去而〈油，cX>=,

铳植II溷2

如图，棱长都相等的平行六面体A3CQ-A8GA中，已知NA1A3

=60。，则<Ali,(Ti)=£,〈油，CTbi)=180。,〈丽，DDi)=

120°.

解析：在平行六面体A8CD-

AbBiGDi中，AXx//Ct\,且方向相同，所以〈/1,U=0°.

因为AB〃CQ,CD//C1D1,所以A8〃G。，所以不方〃但方向

相反，所以〈加，Gt>i>=180°.因为筋］=仍|,所以〈丽，Db\)

=〈丽，Ali>=180°-ZAIA5=120°.

题型三向量与平面

【例3】如图，四棱锥P-ABCD中，尸。_1_平面A3C。，底面

A8CQ为正方形且PO=AQ=CQ,E,尸分别是尸C,P3的中点.

(1)试以厂为起点作直线DE的一个方向向量；

(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量.

【思路探究】(1)只要作出过产与。E平行的直线即可.

(2)作出过/与平面PBC垂直的直线即可.

【解】(1)如图，连接EE

■:E,尸分别是PC,-6的中点.

：.EF%BC.

又BC^AD,：.EF^AD.

取4。的中点M,连接MF,则由所触DM知四边形DEFM是

平行四边形，J.MF//DE.

户法就是直线DE的一个方向向量.

(2)PO_L平面A3C。，；.PD.LBC.

又BCLCD,...BCJ■平面PCD

DE平面PCD,DE±BC.

又PD=CD,E为PC中点，

:.DELPC从而。石_L平面PBC.

...力是平面P3C的一个法向量.

由（1）可知或/=£b,

二.成僦是平面PBC的一个法向量.

规律方法直线的方向向量有无数个，它们之间互相平行；平面

的法向量也有无数个，它们之间也都互相平行且都垂直于平面.而过

空间某点作直线的方向向量或平面的法向量时，可利用线面平行及线

面垂直等相关知识，在该点处作出直线的平行线或平面的垂线即可.

如图，在正方体ABCQ-43CQ1中，E,尸分别是棱A3,441的

中点.

（1）分别给出平面ABCD,平面ADDiAi的一个法向量;

⑵写出平面ASG。的法向量，你能写出几个？

（3）图中与向量访共线的向量有哪些?

解：（1）平面ABCO的法向量可以是：All,就（Ti,应＞i或国1,

R方，CtC,力力这8个向量中的任意一个.

平面ADOAi的法向量可以是：油，力箱1,力^或丽，Cb,

B^A\,Gbi这8个向量中的任意一个.

(2)由正方体的性质可知E尸〃CDi,项」平面ABiGQ,CDJ平

面ABGD,平面AB1GZ)的法向量可以是：欧,Cb\,前,曲.

(3)题图中与向量质共线的向量有：前1,成，庵.

提局篇TIGAOPIAN自我超越

易错警示

对向量概念理解的错误

【例4】下列命题中正确的是()

A.若。与力共线，〜与c共线，则a与c共线

B.向量a,b,c共面即它们所在的直线共面

C.零向量没有确定的方向

D.若。〃儿则存在唯一的实数九使”=我

【误解】A(或B或D)

【正解】在选项A中，若方=0,则结论不成立；在选项B中，

向量共面与直线共面的不同点在于三个向量中的一个向量所在直线

与另两个向量所在平面平行时，三个向量所在的直线虽然不共面，但

这三个向量是共面的；选项D中，若"=)=()时，有无数个4满足等

式，而不是唯---个；若b=0,aWO,则不存在义使。=劝.

【答案】C

铳植II溷4

下列说法中正确的是(B)

A.若⑷=|〃|,贝lja、b的长度相同，方向相同或相反

B.若向量a是向量方的相反向量，则⑷=|。|

C.如果两向量平行，则向量相等

D.在四边形ABCD中，一定有油

解析：A项，⑷=|。|,只表示。，方的长度相同，而方向不确定；

C项，两向量平行，不能说明两向量相等；D项，在平行四边形中具

有该项结论.

【例5】下列命题是真命题的序号是.

①向量加与6是共线向量，则4、B、C、。四点必在一条直线

上；

②向量协与疵是共线向量，则A、B、C必在一条直线上.

【误解】①②

【正解】命题①为假命题，因为屈、6两个向量所在的直线

可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上；命题②为真命题，

因为脑、加两个向量所在的直线有公共点A,所以三点共线.故填

②.

【答案】②

锚朔II澜5

F列命题是真命题的是（D）

A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这

两个向量不是共面向量

B.方向相反的向量是相反向量

C.若向量恁，⑦满足|曲|>|仍|,且屈与⑦同向，则屈〉⑶

D.若两个非零向量恁与⑦满足协+6=0,则油〃⑶

解析：A项向量可以平移到一个平面；B项方向相反，大小相

等的向量为相反向量；C项，向量不能比较大小.

希|尔.巩困篇GONGGUPIAN当堂演练

1.油=仍的一个必要不充分条件是（C）

A.A与C重合B.4与C重合，8与。重合

C.|曲|=|&）|D.A、B、C、。四点共线

解析：向量相等只需方向相同，长度相等，而与表示向量的有向

线段的起点、终点位置无关.表示两个共线向量的两个有向线段所在

的直线平行或重合，不能得到四点共线.

2.在等腰直角三角形A3c中，角8为直角，则〈沈，CX）等

于（B）

A.45°

B.135°

C.45。或135°

D.不确定

解析：如图，严格利用向量夹角定义，过空间一点作出两向量，

明确夹角.

3.在正方体ABCQ-AiBGQi中，平面ACGAi的法向量是（A）

A.BDB.JBCI

C.BT）\D.A18

解析：由正方体性质可知平面ACGAi,故劭为其法向量.

4.与向量a共线的单位向量有2或者无数个.

解析：当Q是零向量时，任何单位向量都与之共线；当4是非零

向量时，只有方向相同或者相反的两个单位向量与向量Q共线.

5.如图，在长、宽、高分别为AB=5,AD=3,44i=4的长方

体ABCD-AxBxCxDx的8个顶点中，任选两点作为起点和终点构成一

个向量，在这些向量中哪些向量.

(1)与向量曲平行；

(2)与向量加相反；

(3)是平面ABBAi的法向量.

解：(1)与向量疝平行的向量有：觉，氏右，出力1,£)^1,GBi,

CB,DA,共7个.

(2)与向量加相反的向量有明，cb,祈丸，obi,共4个.

(3)平面AB814的法向量有才力，Bt,历d，A力1,D^Ai,GBi,

CB,血，共8个.

§2空间向量的运算

，-----------学习目标-------------------------------重点难点----------------

1.会用图形说明空间向量加法、咸法、数乘向量及它们重点：空间向量的加法与数乘运算及运算律的理

的运算律.解•数量积的求法.

2.会利用空间两个向量共线的充要条件解决有关问题.难点：应用向量进行有关计算的符号.

3.能够利用空间向量的数量积的定义求两个向量的数疑点：数量积的结果是数，可以比较大小，可正，可

量积.负，可为0.

m颈2篇YUXIPIAN新知导学

细读课本

知识点一空间向量的加减法

［填一填］

(1)设。和力是空间两个向量，过一点。作。和b的相等向量8

和防，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线

0c对应的向量元就是a与b的和，记作a+b.

(2)与平面向量类似，a与b的差定义为a+(—。)，记作“一儿其

中一b是b的相反向量.

(3)空间向量加法和减法的运算律与平面向量的运算律相同，表

示如下：

①结合律(a+8)+c=a+(8+c)；

②交换律a+：=b+a

［答一答］

利用空间图形验证空间向量满足结合律.

提示：如图所示，作历l=a,AB=b,BC=c,

c

则(a+b)+c=(次+油)+觉=循+沈=觉,

a+S+c)=^l+(循+南=9+疵=宓

1.(a+A)+c=a+S+c).

知识点二空间向量的数乘

［填一填］

(1)空间向量a与一个实数A的乘积是一个向量,记作区.满足：

①I加=|2同；

②当2>0时，2a与a方向相同;

当A<0时，2a与a方向相反;

当2=0时，〃=。.

(2)空间向量的数乘运算律与平面向量的数乘运算律相同，表示

如下：

①2a=@£R)；

②>2(。+■)=〃+劝,(2+〃)a=2a+〃a(/j.£R,//GR)；

③//£R).

(3)空间两个向量a与伙6。0)共线的充要条件是存在实数九使

得a—Xb.

［答一答］

设劭，C2不共线，且初|+"2=0,那么你能够得到什么结论?

提示：丸=〃=0.(否则e］旌2,与勿，02不共线矛盾)

知识点三空间向量的数量积

［填一填］

(1)由于空间任意两个向量经平移后都可以在同一个平面内,因

此，空间两个向量。和〜的数量积和平面中的情形完全一样，即空间

两个向量Q和力的数量积是一个数,等于I。卜固cos〈a,b〉,记作a协.

(2)空间向量的数量积与平面向量的数量积具有同样的运算律.

①交换律：ab=b-a；

②分配律：a(b-\-c)=ab-\-ac；

③2(al)=(2a)山々£R).

(3)和平面向量一样，利用空间向量的数量积，可以得到以下结

论：

①lal='函;

②a_1_bQa,b=0；

a,b

③cos{a,b)=百荷(。#0,br0).

(4)对于任意一个非零向量a,我们把3叫作向量a的单位向量,

记作a(),a()与a同方向.

［答一答］

三个向量a,b,c均不为0,则等式OA>C=G•("c)成立吗？

提示：不成立，因"c是一个数，(a7>c与c共线，a(be)

与a共线，故它们不表示同一个向量.

•I特别关注

1.(1)在丽=池一防中，0并不一定是原点，它可以是空间中

的任意一点，也就是说对任意点0,都有明=池一防.

(2)有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变.

(3)三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面

体的对角线所表示的向量.

2.(1)关于空间向量的数乘应注意：①觞(2£R)仍为向量；②0s

=0;0—0.

(2)在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间

图形，分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量

转化为平面向量解决，并要化简到最简为止.

3.关于空间向量的数量积的几个注意点：

(1)两个空间向量的数量积是一个实数，要注意09=0(。为任意

向量).

(2)数量积不满足结合律，即

(3)空间向量数量积的几个结论的作用：①用于对向量模的计算;

②用于判断空间两个向量的垂直；③可以帮助我们求两个向量的夹

角；④用于不等式的证明.

4.向量中应该重视的问题：

(1)空间向量的加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向

量类似，这些运算不但适合学过的代数运算律，而且很多性质与实数

性质相同.

(2)两个向量数量积的性质的作用：

①可以求两个向量的夹角；

②用于判断空间两个向量垂直；

③主要用于对向量模的计算.

(3)利用向量解立体几何问题的一般方法：把角度或线段转化为

向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明解

决问题.

(4)用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题，一般用向量

共线定理；解决两点距离或线段长度问题，一般用向量的模；求异面

直线的夹角问题，一般可化为两向量的夹角，但要注意两种角范围不

同，最后应注意转化；解决垂直问题，一般可化为向量的数量积为零.

g课堂篇KETANGPIAN---------------------------------合作探究

题型一空间向量的加法、减法

【例1】已知4BCO为正方形，尸是ABCQ所在平面外一点，

P在平面A8CD上的射影恰好是正方形的中心O,Q是CD的中点，

求下列各题中x，y的值：

(1)而=用+工用+海；

(2)^=xPb+yP^+Pb.

【思路探究】要确定等式区=池+工用+y或中x,y的值，

就是看而怎样用用，PC,送来表示，同理要确定(2)中的1,y的值,

也需把庆用劭，通,及表示出来即可.

【解】⑴如图.

D

'：o^2=p^-pb

=&一：(或+无)

=甩一料一;无，

1

..x=y=—y

（2），.,庆+定=2叫.,.成=2用一元

又\•卮+加=2故：.Pt=2P^~Pb.

从而有国=2劭一（2&一防）

=2Pb~2P^+Pb

••/=2,y==-2.

规律方法注意下面结论：设a,。，c是三个不共面的向量，如

果xia+yiZ>+zic=X2G+y2，+z2C,那么必有了i=%2,yi=y2,zi=z2.

窗El

如图，在正方体A8CD-A方中，点£是上底面AEC。的中

心，求下列各式中的％,y,z的值:

^A^'^xAb+y^B+zAk'.

（2）苗=H!）+yA^+z血

解：（1）抚，=疵+代，=油+疝+蓊，，

又位=%疝+避+为即,

x=1jy=1?z=1.

（2）屈=/，+检=翁，+；死，=/'+；（/（方+何，）=翁，+；（油

+助）油

又或=一屈=-；助-Al，，E\=xAb-]-yA^-{-zAA',

••x=-2，y=-25z=-1.

题型二空间向量的数乘

【例2】如图，点E,F,G,"分别是空间四边形A3CO的边

AB,BC,CD,D4上的点，其中E,”是中点，F,G是三等分点，

且CF=2所，CG=2GD求证：的与晶为共线向量.

【思路探究】要证的与希共线，根据共线向量定理只要证明

西=2前即可.

【证明】,:E,〃分别是AB,AD的中点，

Eh=^H~XE=^Ab-j^B

1—一1-

=2（AD—A5）=2^£>.

又•：CF=2FB,CG=2GD,

.,.#=|西c&=|cb.

:.Fb=cb-CF=^cb-l^B

=|（cb—C!B）=|BT）.

3_

：.Bb=^Fb.

：.Eh=^Fb.

.•.曲与质;为共线向量.

规律方法（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数九

使4=劝成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通

过化简、计算得出”=劝，从而得到。〃儿

（2）共线向量定理还可用来判定两直线平行、证明三点共线.在

证明两直线平行时，先取两直线的方向向量，通过证明此两向量共线

来判定两直线平行.当两共线的有向线段有公共点时一，两直线即为同

一直线，即此时三点共线.

铳对训澜2

已知空间四边形ABC。，E,F,G,H分别是43,BC,CD,DA

的中点.求证：四边形MG”为平行四边形.

证明：如图，连接8D,

解法1:E,”分别是AB,DA的中点,

.\AE=^AB,Ah=^Ab,

：.曲=而一脑=；（初一协）

=^BD.

同理可得前=；肋，：.Ek=Fb.

又点后不在FG上,

:.EH〃FG且EH=FG.

I.四边形EFGH为平行四边形.

解法2:,血=月力+而=；(A力+员7)=；疵，EF=EB+BF=^

(牯+病)=次，.•.后6=彷.又点H不在EF上，J.HG//EF且HG

=EF,

：.四边形EFGH是平行四边形.

题型三空间向量的数量积

【例3】如图所示，在长方体ABCDAiBGOi中，AB=4,AD

=3,A4i=2,E为侧面A3的中点，尸为Ai£h的中点，试计算：

⑴肥西(2)呼.病；

(3)EFFdi.

【思路探究】长方体的棱对应的向量模长已知，且它们之间的

夹角已知，因此，可利用向量的线性运算，将其他向量的数量积运算

转化为这些向量的数量积，从而达到简单运算的目的.

【解】设油=a,AD=b,AA\=C,则⑷=4,|例=3,|C|=2,

ab=ac=bc=0.

(1)JB&£^I=Z>[^(C—«)+Z>]=1z>c—^«Z>+Z>2=|Z>|2=9.

(2)BF-A^i=(c—«+^Z>)-(a+c)=«-c+c2-a2—

c2—(r=—12.

11l111

f^^--

Fcl2-2-z.044

11

A2-2

力23

2-+-44

2a

规律方法在空间图形中计算数量积的方法步骤：

(1)在几何体中求空间向量数量积的步骤：

①将相关向量用已知模和夹角的向量线性表示；

②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量

的数量积；

③代入G6=|G||A|COS〈a,b)求解.

(2)长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结

构特点，善于挖掘隐含的垂直或特殊角等.

如图，已知E是正方体A8CDA1B1G。的棱G9的中点，试求

向量4亳与麻夹角的余弦值.

解：设自=。，Aib\=b,A\A=c,则A；d=a+〃，防=；。一c,

ab=ac=bc=O.

设正方体的棱长为m,

、行

则|否6|=也相，及|=看m.

Aiti-庞=(a+5)•俣—c)

=^\a\1—a-c-\-^a-b-b-c=^m2,

*9

2m丽

cos（AiCi,DEy=后--=J。.

\l2m-2,n

故向量4而'i与建1夹角的余弦值为

庇具扁TIGAOPIAN-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------自我超越

——多维探究——

待定系数法

用不共面的向量表示空间的其他向量，一般要用向量的加法、

减法、数乘的运算法则，包括加法的平行四边形法则和三角形法则.

【例4】已知矩形ABC。，P为平面ABCO外一点，且用，平

ffiABCD,M,N分别为PC,PO上的点，且PMMC=,N为

中点，求满足血=■+汨）+z^A的实数％,y,z的值.

【思路分析】结合图形，从向量丽V出发，利用向量运算法则

不断进行分解，直到目标向量用油，Ab,亦表示出来，即可求出工,

y,z的值.

【解】（方法一）如图所示，取PC的中点E,连接NE,则硒=

E^-EKI.

,:域=；Cb=3/

=-；版EM=PKl-fE

连接AC,则无=杭一仆=油+中一油，

：.MN=-1AB-1（AS+Ab-AP）

911

=一.油一zAb+7■油，

366

.21_1

••%__§，不z_—

（方法二）如图所示，在产力上取一点尸，使尸分可）所成的比为2,

连接则丽V=桥+司V,

22

而祈穴=3份=-利瓦

F^=^N~^F=^DP~^DP

=:济=/（介-疝），

A21［一

，g=——TAZ）+TAP.

366

._2_1_1

••X——3,y——6,z_g

（方法三）如图，疝v=两一成;

=；（或+疝）一|（国+At）

112A3於

=力,（-仆+能+通）

711

=—rAfi—yAb+TAP,

366

211

-

X--y--一Z--

*36

6?

专％II澜4

已知空间四边形Q43C的棱04OB,8C互相垂直，0A=03

="=1，N是。。的中点，点M在A5上，若端=%,试探究”的

值，使MNLAA

解：如图，由于瑞=%

则篦7=”

，丽=(］一%防+%血

丽/龙耳物十南,

丽2•一血=抽+坡一(1-%肪一%仍

=(%—1)勿1+g—%)及+g反?.

又脑=防一历1,MN.LAB,

:.弧•矗=0,

即口一1肪十七一%)协+坡］.(-5+附=0.

•.•次，丽,觉互相垂直且它们长度为1,从而求;一%+1—x=0,

歹3

付l=不

联kIR国篇GONGGUPIAN当堂演练

1.如图，在正方体ABCO-AiBiG。中，向量表达式防1一油十

能化简后的结果是(

A.BDIB®B

C.B^DD.mi

解析：Db\-AB+B(2=Db\+{B\+B(J)=Dbx-\-Bb=Bbx.

2.设⑷=1,|回=2,且〈a,b)=120。，则(2a+6)2=(D)

A.2事B.12

C.2D.4

解析：(2。+32=4。2+4。1+"=4+4XlX2Xcosl20°+4=4.

3.已知非零向量a,力不平行，并且⑷=|。|,则与”一方之

间的位置关系是垂直.

解析：(a+b>(a—b)=a2—b2=0,

(a+Z>)J-(«—b).

4.已知在空间四边形OABC中，OB=OC,AB=AC,求证：OA

LBC.

证明：如图.

'：OB=OC,

AB=AC,OA=OA.

：./\AOC^/\AOB,

：.ZAOC=ZAOB.

•.•醇.能=次•（龙一循）=次.龙.循=|次||求IcosN

40。一|阿•两cosNAOB=0,

：.^A±Bt,FpOA.LBC.

§3向量的坐标表示和空间向量基本定理

3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示

3.2空间向量基本定理

Z---------------------------------学习目标----------------------------------重点睚点-----------------

1.能记住空间向量基本定理及其意义.

2.能说出空间向量的正交分解及其坐标表示.:重点：空间向量的坐标表示.

3.会用一组基底表示向量,能计算一个向量在另一：难点：将平面向量的坐标表示推广到空间向量.

个向量上的投影.|

\______________________________：_______________________________♦

4m.9为篇YUXIPIAN新知导学

细读课本

知识点一空间向量的标准正交分解与坐标表示

［填一填］

(1)在给定的空间直角坐标系中，令i,j,无分别为X轴，y轴，Z

轴正方向上的单位向量,对于空间任意向量。，存在唯一一组三元有

序实数(%,y,z),使得a=xi+M+zA.我们把a—xi-\-yj+zk叫作a的

标准正交分解,把i,j,左叫作标准正交基.

(2)(%,y,z)叫作空间向量a的坐标，记作a=(x,y,z).a=(x,

y,z)叫作向量a的坐标表示.在空间直角坐标系中,点P的坐标为(%,

y,z),向量由的坐标也是(%,y,z).

［答一答］

空间点的坐标和空间的点为何是一一对应的？

提示：在空间直角坐标系中，过空间点M向平面xOy引垂线，

有且只有一条，设垂足为N,而N在xOy面内的横纵坐标都是唯一

的，所以空间点的坐标和空间点是一一对应的.即在空间直角坐标系

0-孙z中，对空间任一点存在唯一的有序实数组(X,y,z),使血

=xi-\-yj-\-zk,x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.如图.

M(x,y,z)

N(x,y,0)

知识点二向量a在向量b上的投影

［填一填］

一般地，若6()为分的单位向量，称。•瓦)=|a|-cos〈a,b)为向量

。在向量方上的投影.可见，向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的

投影.

［答一答］

求证：向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影.

提示：设4=苏+力+2左，

.\ai=xii-\-yji~\-zki,

由于i_Lj,k±i,：.ij=0,ki=0,

.'.ai=x,同理ak=z.

知识点三空间向量基本定理

［填一填］

(1)如果向量3,C2,C3是空间三个不共面的向量，G是空间任一

向量，那么存在唯---组实数无，不，心，使得a=X\e\+hei+^e3.

空间中不共面的三个向量力，。2,63叫作这个空间的一个基底.2⑻

+义202+2363表示向量4关于基底幻，02,03的分解.

(2)特别地，当向量为，C2,63两两垂直时，就得到这个向量的一

个正交分解.当e1=i,e2=j,03=左时，就是标准正交分解.

[答一答]

求证：满足々=为.+2202+^303中的21,石，■是唯一的.

提示：设a=2/ei+22'e2+23'e3,

又a=X\e\+2262+2363,

/.AlCl+丸202+2363=九'61+22'62+义3’63,

:.(21-21')ei+“2-石')02+-3-丸3‘)。3=0,

又•.7],62,03是空间三个不共面的向量，

Ai，=/ll,^.2=^2,^3，=^3,

即九，A2,■是唯一的.

•|特别关注

1.关于空间向量的标准正交分解与坐标表示的几个注意点：

(1)投影a•加=|a|cos｛a,b)是一个实数.

兀

①若〈a,b)G[0,2)»则。如＞。；

7T

②若〈a,b)=1,则abo=O；

jr

③若(a,b)G(-,TI],则很加＜0.

(2)建立坐标系时一，应注意点。的任意性，原点O的选择要便于

解决问题，既有利于作图的直观性，又要尽可能地使各点的坐标为正.

2.空间向量基本定理说明：

(1)用空间三个不共面的已知向量组｛⑨，02,03｝可以线性表示出

空间任意一向量，而且表示的结果是唯一的.

(2)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基

底.

(3)由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零

向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.

要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一

个向量，二者是相关联的不同概念.

3.特殊向量的坐标表示：

若向量。平行x轴，则a=(%,0,0).

若向量a平行y轴，贝ija=(0,y,0).

若向量。平行z轴，则a=(0,0,z).

若向量a平行％Oy平面，则a=(%,y,0).

若向量a平行yOz平面，则a=(0,y,z).

若向量a平行zQx平面，则a=(%,0,z).

喧课堂篇KETANGPIAN合作探究

题型一空间向量的坐标表示

【例1】如图所示，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,

M,N分别是AB,PC的中点，并且B4=AQ=1.求前，河的坐标.

建立空间直求的标准

【思路探究】

角坐标系正交分解式

【解】由题意可知B4=AO=48=1,且朋_L平面AC,ADA-

AB,不妨以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，其中疝=i,AB=

j,Ap=k.AKl=^B=^j,欢=#+两=力+；无=崩+；（庆+协+

111

5，V

力

规律方法用坐标表示空间向量的一般步骤：

(1)找垂线：仔细观察图形特征，寻找两两垂直的三条直线.若

无，则需构造两两垂直的三条直线；

(2)取基底：取(1)中找出的三条直线的单位方向向量为基底；

(3)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；

(4)进行计算：综合利用向量的加减及数乘运算；

(5)确定结果：确定目标向量的坐标.

针对训愕期11

如图，在空间直角坐标系中有长方体OABCORbC,且Q4=6,

OC=8,OO'=5.

(1)写出点9的坐标，并给出防，关于i,j,A的标准正交分解式;

(2)写出的坐标.

解：(1)因为OA=6,OC=8,OO'=5,所以点3,的坐标为(6,8,5),

从而防'=(6,8,5)=6i+町+54.

(2)因为点。的坐标是(0,8,5),所以沅'=(0,8,5).

题型二空间向量基本定理

【例2】如图，已知出_L平面A3CQ,四边形A8CQ为正方形,

G为△PDC的重心，AB=i,AD=j,AP=k,试用基底｛i,j,幻表示

向量化,Bb.

【思路探究】利用三角形法则，平行四边形法则将向量Bb

2

用油，Ab,力来表示.由于点G为△PQC的重心，所以有PG=^PN.

901

【解】两=大两=于5(卮+加)]

=/成+油+疝+疝一硝

=|A^+|AI)—

=g+务—泉

而=求+西+祐

=武+的+;海

=Ab—^DC—^P^I

规律方法用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、

数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法

则.逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.

错知II澜2

如图所示，在平行六面体ABCQ-AEC。中，A^=a,Ab=b,AA'

=c,P是C4的中点，M是C。的中点，N是的中点，点。在

C4上，且CQQA'=,用基底｛a,b,c｝表示以下向量.

（1）AP；（2）询；（3）欢；（4）&.

解：连接AC,AD'.

⑴力=；（疵+而）=；瀛+A方+何

=；（a+5+c）.

⑵前/=g（杭+/0，）=；（a+2A+c）

1,,,1

=于十5+产

⑶欢=；（房+办

=2[(油+疝+翁，)+(协+成/

=；a+~+c.

(4)破=疵+诙=疵+如，

=At'+|(A^,-At)

=；杭+,筋，=/循+疝)+,筋，

_1,1,,4

一铲+?+声

题型三空间向量基本定理的简单应用

【例3】如图所示，平行六面体A8CD-A1B1GO1中，E,F分

12

别在B山和AO上，且BE.BBi,DF=^DDx.

(1)证明：A、E、G、厂四点共面；

(2)若丽=JtA^+yAl)+z筋1,求％+y+z.

【思路探究】第⑴问要证明四点共面只需证明瓶”可用造，

A7r表示即可；第(2)问中求％+y+z只需先把辟用At),表不

出来，求出入、y、z,再求x+y+z.

【解】(1)证明：•.•段|=油+才力+/Q]

>A12一

=AB~\~Ab+^AA\

—12-»

=（A^+^TOI）+（AI）+^A1I）

=AB+BE+AD+DF=XE-¥XF,

，A、E、Ci>F四点、共面.

⑵，.,呼=办一他

=中+加一（油+雇）

f2f—►]

=AD-\-^pb\

=—A百+Ab+|y4Ai,

•*•x=-1,y=1?z=q.

.••x+y+z=g.

规律方法证明三个向量共面.，直线与平面平行或直线在平面内,

四点共面，都要利用共面向量定理，即对于向量P来说是否存在工,

y,使p=%a+y。成立.

铳而Oa3

已知A,B,C三点不共线，平面ABC外的一点M满足血=；血

（1）判断加，而瓦碇三个向量是否共面；

（2）判断点M是否在平面ABC内.

角星：（D；次+怎+抗=3而，

.,例一曲=（而一曲+（血一困.

.•.必=丽+曲=一讪一砒.