平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）

6.3.4-6.3.5平面向量数乘运算的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示

【考点梳理】

考点一平面向量数乘运算的坐标表示

已知a=（x,y）,则府=也工必，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

考点二平面向量共线的坐标表示

设。=的，力），b=（x2,y2）>其中6x0.,则a,b共线的充要条件是存在实数儿使。=lb.

如果用坐标表示，可写为（xi，y“=Xx2,力），当且仅当x“2—乂2月=0时,向量a,饥6M）共线.

注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成X1V1—X2y2=0或X1X2—出力=0都是不对的，因此要理解并熟记这一公

式，可简记为：纵横交错积相减.

考点三：平面向量数量积的坐标表示

设非零向量a=（xi，力），6=（X2，力），。与b的夹角为

则ab=x1X2+yiy2.

（1）若a=（x,y）,则|0|2=*2+/或"I=、仅2+/.

若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（xi，yi）,（x2，/2），则a=9一xi,力一九），|o|=

y]x2—xiy2~yi%.

（2）a_Lb<»iX2+vi/2—0-

ab_______xiX2+y】y2

3C°S/a〃b/y]xl+yly]xi+yi'

技巧：向量夹角问题的方法及注意事项

abX1X24-V1V2

⑴求解方法：由8SR丽=布丽节直接求出8S&

a-b

⑵注意事项：利用三角函数值cos。求0的值时，应注意角。的取值范围是0%的180°.利用cos9=面百判断2的

值时，要注意cos改0时，有两种情况：一是J是钝角，二是B为180°;cos9>0时，也有两种情况：一是9是锐角，

二是。为0。.

【题型归纳】

题型一：由坐标判断坐标是否共线问题

1.（2021・全国•高一课时练习）若2=（6,6）,B=（5,7）,"=（2,4）,则下列结论成立的是（）

A.。二与B共线B.力+1与£共线

C.2与力，共线D.£+5与W共线

2.（2021・全国•高一课时练习）已知A（-1,0）,3（3,0），。0,1）,下列点。的坐标中不能使点A、B、C、。构成四

边形的是（）

A.0（2,-1）B.。（4,1）C.。（＜1）D.0（1,2）

3.（2021•江苏淮安•高一阶段练习）若向量£=（1,2）,6=（2,3）,则与£+6共线的向量可以是（）

A.（2,1）B.（6,10）

C.（-1,2）D.（-6,10）

题型二：由向量平行（共线）求参数

4.（2021•全国•高一课时练习）设不，&是两个不共线的向量，若向量正=-可+小（keR）与向量元=务-2曷共线，

则（）

A.k=0B.k=lC.k=2D.k=~

2

5.（2021•全国•高一课时练习）设向量1（T,2）,，=（〃?」），如果向量"2%与平行，那么二I的值为（）

A.—B.—C.-D.一

2222

12

6.（2021•云南・昆明八中高一阶段练习）已知a=（〃Ll,-l）,日=（",。,（机＞0,n＞0）,且a/历,则一+一的最小值是

mn

（）

A.3B.3+20

C.4D.4+2夜

题型三：由坐标解决三点共线问题

7.（2021・上海•高一课时练习）已知4（—3,1）、C（2,3）三点共线，则x的值为（）

A.-7B.-8C.-9D.-10

8.（2021.江苏•泰兴市第三高级中学高一阶段练习）已知丽=（-1,cose）,8c=（2,0）,丽=（2,2sina）,若A,B,

。三点共线，则tana=（）

A.—2B.—C.~D.2

22

uutiitiuum

9.（2021・全国•高一课时练习）已知向量。4=（人,12）,08=（4,5）,OC=（-）1,10）,且A,B,C三点共线，则上的

值是（）

A.--B.-C.yD.-

3323

题型四：由坐标解决线段平行和长度问题

10.（2021•辽宁丹东•高一期末）已知向量a=（cosasin。），^=（2,-1）,若列区，贝ljtan,+；卜（）

A.—3B.—C.—D.3

33

11.（2021•江苏•星海实验中学高一期中）已知AA8c的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,若向量机=（a,扬）

与〃=（8$45m3）平行，则A=（）

兀e兀一九一2兀

A.-B.-C.-D.—

6323

12.（2018・广东•仲元中学高一期中）已知£=（-1,6），下列向量中，与£反向的单位向量是（）

A.（彳，亭B.（:与C.D・（；,争

题型五：数量积和模的向量坐标运算

13.（2021.全国.高一课时练习）已知向量。=（2刈），,=（2,4）,若则忖-/；|=（）

A.75B.5C.275D.4亚

14.（2021・全国•高一课时练习）己知向量2=（1,2）,%（3,1）,贝IJ向量£+2区与2展/的夹角的余弦值为（）

Ax/5RV13-2765n而

5136526

15.（2021・吉林・延边二中高一期中）在AABC中，,豆+川。=«豆-44，AB=4,A32,E,尸为线段BC的三

等分点，则荏./=（）

A.与B.4

题型六：向量垂直的坐标表示问题

16.(2021.全国•高一课时练习)设向量4=(6,1),&=(x,-3),c=(1,-73).若5_L1,则”5与-的夹角为()

A.0°B.30°C.60°D.90°

17.(2021•重庆第二外国语学校高一阶段练习)己知x,_yeR,向量a=(x,l),另=(l,y),c=(2,-4),且a_Lc,B//c,则

x+尸()

A.2B.0C.4D.-4

18.(2021•安徽•合肥市第八中学高一期中)已知向量£=(*/),]=(-"),其中xeR,则“x=2”是“打户的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要

题型七：向量垂直中的参数问题

19.(2021•甘肃・嘉峪关市第一中学高一期末)已知向量£=(3,1),5=(1,0),c=a+kb.^aVc,则后=()

105_10

A.---B.—C.—D.—

3333

20.(2021•江苏・南京市第一中学高一阶段练习)设向量£=(x,l)石=(l,y),Z=(2,-4),且n2,bHe,则

||«+^|=()

A.V5B.V10C.2加D.10

21.(2021・全国•高一课时练习)“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周

公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABC。中，△ABC满足“勾

3股4弦5"，且AB=3,E为A。上一点，8ELAC若丽4丽+〃死，贝U的值为()

7D.1

题型八：向量坐标中的夹角计算问题

22.（2021•全国•高一课时练习）已知九R是单位向量，且£+分=-JI,则向量Z与B夹角的余弦值为（

3x/5-4

8

23.（2021•全国•高一课时练习）已知1=（3,-1）,5=（1,2）,则下列结论中正确的个数为（）

①与在同向共线的单位向量是乎，竽）

②1与5的夹角余弦值为受

5

③向量5在向量5上的投影向量为

A.1个B.2个C.3个D.4个

24.（2021.福建省漳州第一中学高一期中）在“A8C中，AB=AC=2,8c=26，动点P位于直线8c上，当而.而

取得最小值时，向量而与刀夹角的余弦值为（）

「V21

7

【双基达标】

一、单选题

—>1—>—>

25.（2021•福建省宁化第一中学）在菱形438中，ZABC=120°,AC=郃,BM+-CB=0,DC=ADN'若

AM-AN=29'则”=（）

A.—B.—C.一D.一

8765

26.（2022・全国•）已知平面向量£,瓦2满足|4=2忖=日/=4,仅-£>（C：+6）=-3,则卜的最小值为（）

A.72-1C.6-2D.币-2

27.（2021•全国•）已知向量1=（2,1）,9=（3,4）,守=（2,2）,若则实数％的值为（）

28.（2022・全国・）如图，在平面四边形ABC。中，AB_LBC,A。J_CE）,NBAD=120。,=A£>=2.若点E为边CD上

的动点，则荏•丽的最小值为（）

D

29.（2021,福建省福州格致中学）骑自行车是一种既环保又健康的运动，如图是某自行车的平面结构示意图，已知

图中的圆A（前轮），圆£）（后轮）的半径均为G，AABE、△BEC、AECD均是边长为4的等边三角形.设点尸为

后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，配.行的最大值为（）

A.48B.36C.72D.60

【高分突破】

一：单选题

30.（2021•北京石景山。如图所示，边长为1的正方形ABCD的顶点分别在x轴，），轴正半轴上移动，则而.玄

的最大值是（）

B.1+72

31.（2021•宁夏•青铜峡市高级中学（理））若点4（-2,宇）、B（0,y）、C（2,5）共线，则y的值等于（

32.（2022•全国•）己知AABC是边长为3的等边三角形，点。在边BC上，且满足|丽|=2|丽点户在AABC边上

及其内部运动，则而•丽的最大值为（）

33.（2021•全国•（文））在矩形ABC。中，AB=4,AD=^3,点P在CD上,而=3定，点Q在BP上，AQAB=14,

则方•丽=（）

A.6B.8C.10D.12

34.（2021.北京市第二十二中学）已知向量B在正方形网格中的位置如图所示，那么向量。，5的夹角为（）

C.90°D.135°

35.（2021•河北邢台・）已知向量方=（-2,1）,b=（l,t）,则下列说法不正确的是（）

A.若。〃力，贝打的值为B.若|£+昨|£-向，贝"的值为2

C.|£+引的最小值为1D.若£与B的夹角为钝角，则r的取值范围是t<2

36.（2021.重庆市江津中学校）若鼻,最是夹角为60'的两个单位向量，则£=21+1与万=-3冢+24■的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

37.（2021.河南♦）已知向量2=（1,3）,5=（2,T）,则下列结论正确的是（）

A.（a+b\llaB.卜+国=5

Q-rr

C.向量入坂的夹角为邛D.5在£方向上的投影是亚

4

38.（2021•广西桂林•（理））已知〃、b、。为“6。的三个内角A、B、C的对边，向量送=（6,-1）,n=（tanA,l）,

若而J,3，且acos8+hcosA=csinC,则角A、8的大小分别为（）

.71「24兀

A-镇TB-T）?

C.3D.-

3633

39.（2021•河北巨鹿中学）已知向量0=（3,9）,ft=（lj）,且4与B的夹角为锐角，则实数女的取值范围是（）

A.B.（-^,3）

C.D.(--,3)U(3.+°°)

40.(2021•黑龙江大庆(理))已知向量2=(1,6),U(w,l),下列说法正确的是()

A.Vme[0,+oo),£与B的夹角不小于B.V/ne[0,+oo),^2a-y/3t^>y/l

C.3〃€(T»,0),使得(〃+即/BD.3/HS(^»,0),使得

二、多选题

41.（2021•浙江♦杭州市富阳区场口中学）已知四边形ABC。是边长为2的正方形，户为平面A8C。内一点，则

（丽+丽）•（同+啊（）

A.最小值为TB.最大值为T

C.无最小值D.无最大值

42.（2021•吉林・梅河口市第五中学）若向量3=（石,3）,B=（〃,G）,下列结论正确的是（）

A.若同向，则〃=1

（nc

B.与£垂直的单位向量一定是-半弓

C.若另在2上的投影向量为3"（"是与向量£同向的单位向量），则〃=3

D,若2与石所成角为锐角，则”的取值范围是〃>-3

43.（2021・湖北・）己知Z=（3,-l）,U（l,-2）,则下列说法正确的有（）

A.£在B方向上的投影为右B.与公同向的单位向量是［噜,-雪）

C.D.£与坂平行

44.（2021.广东•仲元中学）已知向量：=（2,1）,S=（-3,l）,则（）

A.£与的夹角余弦值为半

B.{a+b^Ha

C.向量£在向量B上的投影向量的模为画

2

D.若"=乎，一2^,贝

45.（2021•全国全国•）已知向量2=（-3,2）,1=（2,1）,c=（A,-l）,2wR,则（）

A.若（4+2®_LC,则a=4

B.若£=历+£,贝！］4+，=-6

C.|£+〃母的最小值为平

D.若向量£+5与向量M+"的夹角为锐角，则2的取值范围是（田，-1）

三、填空题

46.（2021・四川・绵阳中学（理））已知同=1,向量7满足,一同=分石，当向量而，G夹角最大时，卜卜

47.（2021•全国•）设向量£石的夹角为。，且£=（5,5）,25-£=（-1,1）,则cosd=.

48.（2021•河北保定•）已知向量2=（41）,5=（-3,5）,且。与坂的夹角为锐角，则2的取值范围是.

49.（2021•全国•）己知笳=（-1,-6）,场=（3,0）,点P在g［延长线上，且|两|=［匾则加的坐标为,

四、解答题

50.（2020•广东・东莞五中）已知半圆圆心为。，直径A8=4,C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若尸为半径OC

上的动点，以。点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示.

—.3—►1—.

⑵若*产一严‘求⑸与而夹角的大小;

（3）试确定点P的位置，使用.所取得最小值，并求此最小值.

51.(2021•北京景山学校远洋分校)已知向量2=(1,2),向量1=(-3,2).

(I)求w和w；

(II)求(24+6〉(〃-石)；

(III)当％为何值时，向量£+心与向量13很平行？并说明它们是同向还是反向.

__2__1Q__

52.(2021・安徽・蚌埠二中)已知kA8c中，A(-2,5),8(1,1),OC=-OA+—OB.

(1)求cosZABC：

(2)求-ABC的面积.

53.(2021•江苏•金陵中学)设向量。=(3cosa,sina),5=(sin0,3cos/7),c=(cosp,-3sinP).

(1)若值与5-右垂直，求tan(a+0的值；

(2)求|方-的最小值.

【答案详解】

1.C

解：2—2=(4,2),0^4x7-5x2=18*0,所以。，与坂不共线；

^+c=(7,ll),因为7*6—6x11=—24声0,所以二1与£不共线;

行一"=(3,3),因为3x6—6x3=0,所以£与力，共线；

Z+B=(ll,13),因为11X4—2X13=18/0,所以£+5与之不共线.

故选：C.

2.D

【详解】

因为A(-l,0),8(3,0),C(0,l),显然三点不共线,

y

2，%

De/

、、、、、义、、、/DB

、、、、/z

__1______|_____।〜〜.匕।〜〜1a

-4-3-212/3B4*

j、一z

-1-、、“'

Da

如图在坐标系中可得选项ABC能构成四边形，

当0(1,2)时，而=(1/),苞=(2,2)=2祝，即此时A、C、。共线，不能使点A、B、C、。构成四边形.

故选：D

3.B

【详解】

由已知£+1=(3,5),只有(6,10)=2(3,5),即只有(6,10)与2+5平行.

故选：B.

4.D

【详解】

因为不，&是两个不共线的向量，且向量正=-耳+陶(&eR)与向量为=弓-2耳共线,

所以五=2几即/+蝎=>(&_%),

f—1=—221

所以，，，解得

[k=/i2

故选：D

5.D

【详解】

解：a+2b=(-1+26，4),2a-b=(—2—加,3),

所以(-1+2〃?)x3-4(-2-/n)=O,/./n=--.

2

所以b=-1x(—Q)+2=三.

故选：D

6.B

【详解】

根据向量平行的坐标表示，//区时，”=?.•.〃7+〃=1

—11

—I—=—I—(/%+〃)=3H-----1----->3+2V2

mn\tnn)mn

当且仅当“=冽，即〃z=1,〃=2-&时取等号，所以选项B正确.

mn

故选：B.

7.B

【详解】

解：因为4(—3,1)、B(x-l).C(2,3)

所以衣=(5,2),CB=(x-2,-4),因为A(-3,1)、B(x-1),C(2,3)三点共线,所以蔗〃而，即2(x—2)=Tx5,

解得x=-8

故选：B

8.A

【详解】

由题意得丽=/+①=(4,2sina),AB=(-l,coscr),

又A,B,。三点共线，所以而〃而，即4cosa-2sina-(-l)=0,即sina=-2cosa,所以tana=-2.

故选：A.

9.A

【详解】

AB=OB-OA=（4-k,-l）,AC=OC-OA=（-2k,-2）.

因为A,B,C三点共线，所以通，正共线，

所以—2x（4—%）=—7x（—2Z）,解得女=一：.

故选：A

10.C

【详解】

因为:〃。所以一cos9=2sine,易知8S6W0,所以tan6=-g,所以tantan6+11

—=------------=—

4)1-tan3

故选：C.

11.B

解：因为向量机=（〃,，0）与〃=（cosA,sinB）平行，

所以asinB=GbcosA,

由正弦定理得，sinAsinB=百sin3cos4,

因为8w（0,万），所以sinBwO,

所以sinA=石cosA,

因为cosAwO,

所以tanA=\/3,

因为Ae（O,;r）,所以4=三，

故选：B

12.B

因为与2反向，所以舍去A,C,D

因为（g,-手）的模为1,

故选：B.

13.B

【详解】

由向量。二（2,m），b=（2,4）,a.Lh

A2X2+4XAW=0,所以6=一1,

:.a=(2,-1),a-b=(0,-5),即卜”同=5.

故选：B

14.D

【详解】

2),5=(3,1).•.£+2石=(7,4),2力=(-1,3),

,(£+2万).(2力)=7x(—1)+4x3=5忖+2q=犷+不=病,12力卜^-1)2+32=V10

...C小+2碗-%禺昼=5_5屈

底乂回一59—26,

故选：D.

15.C

【详解】

△A8C中，|通+前|=|丽

AB2+2AB'AC+AC2=AB-2AB'AC+AC'

•'­AB-AC=O,

♦♦AB-LAC，

建立如图所示的平面直角坐标系,

由E,F为BC边的三等分点,

2844

则A(0,0),B(0,4),C(2,0),E(-,”，F(-,

3333

・——/28、_/44

••AE=(—，]),AF=(~

.__~r^248440

33339

故选：C

16.D

【分析】

根据题意，513求出x的值，即可得5的坐标，进而可得5的坐标，即可求解.

【详解】

根据题意，设方与不的夹角为。，

B=(X,-3),C=b1c

则5l=x+3石=0,解得x=-36，

贝防=卜36-3),a-b=(443,4),

lj1iJ(a-^).c=(4>/3,4)-(l,-^)=4A/3-4x/3=0,

所以卜-5)，工，

故6=90°,

故选：D.

17.B

【分析】

根据£1.23/无，利用向量坐标运算求解.

【详解】

因为向量。=(》,1),至=(1,”©=(2,-4),且〃_1<:,坂〃。，

所以向量2x_4=0,2y+4=0,

解得x=2,y=-2,

所以x+y=0,

故选：B

18.A

【分析】

根据£=(x,l),b=(-x,4)，由打人求得x，再利用充分、必要条件的定义判断.

【详解】

已知”=(x,l),b=(-x,4),

若a_LB,贝1l-x2+4=0，

解得x=—2或x=2,

所以“x=2”是“£，厂的充分不必要条件，

故选：A

19.A

【分析】

依题意首先求出"的坐标，再根据得到7"=o,即可得到方程，解得即可;

【详解】

解：因为£=(3,1),^=(1,0),c=a+kb^所以c=〃+防=(3』)+Z(l,O)=(3+攵,1),因为£1.3所以

々•c=3(3+攵)+1x1=0,解得k=一日,

故选：A

20.B

【分析】

先由3，人bHc，列方程求出x,y,从而可求出d+B的坐标，进而可求出归+6

【详解】

解：因为bIIcy

所以x+y=0,lx(-4)=yx2,则x=2,y=-2,

所以£=(2,1),B=(1,_2),

则IZ+年用+㈠尸=Vio,

故选：B.

21.B

【分析】

_____9

建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设有值=(兄3),由急.砺=0可得”=1,再由丽=2赤+

利用坐标表示建立方程组求解即可.

【详解】

解：由题意建立如图所示直角坐标系

因为AB=3,BC=4,则8(0,0),A(0,3),C(4,0),

丽=(0,3),AC=(4,-3),设丽=(a,3),

因为BE_LAC,

_,_9

所以AC-8E=4。-9=0，解得

4

__a

由丽k=/1屁+〃/，得(0,3)=2(13)+〃(4,-3),

所以9卜一+"=八°'解得义一，

.3/1-3〃=3,〃=一五，

7

所以2+A=—■，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题.

22.A

【分析】

根据平面向量夹角坐标公式求解即可.

【详解】

由题意可知，卜+=“-+2a,b+。一=1+2x1x1.cos匕）+1=（万）+l=］，

则解得cos（a,B）=-|

故选：A

23.C

【分析】

根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.

【详解】

b(石2石)/

解：Hi=，故①正确；

擀I55)

ab1V2

R=丽=而^=而‘故②错误；

向量五在向量8上的投影向量为同,cos(a@g=得x号,2当=(d)'故③正确;

(l-1515=(3-：)xl+(-l_|Jx2=0,故④正确；

故选:C.

24.D

【分析】

日时,

以8c的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设P(«,0),ae[-6,6]，结合向量的坐标运算得出当a=

Q.而取得最小值，再由数量积运算得出向量而与而夹角的余弦值.

【详解】

以3c的中点为坐标原点建立如下图所示的平面直角坐标系

A=(0,l),B(-G,0),C(G,0),设尸(4,0),4€[-0，石]

■.■AP=(a,-l),PB=(a+>/3,0

:.APPB=a2+yf3a^a+^"当…正时，丽・丽取得最小值为

J424

此时网［图+1等

3

・3"，孙网舄二-4_V21

也下一7

22

故选：D

25.D

【分析】

作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系,设N(x,y),得到M是8C的中点，根据已知求出—1),再根据

2

AM-AN=29即得解•

【详解】

作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系,设N(x,y),因为AC=2®ZABC=120BO=1,

TITT->—>

因为8M+5cB=0,所以8^=58。,即M是8C的中点,

所以4(-若,0),M(坐,1),0(0,-1),C(石,0),

22

所以4力=(|6,；),庆=(6,1)=2屈=〃%〉+1),由题知；IwO.

yFx1TT31

故N(J——1),.-.AM-AN=-+4=29,:.A=-.

AAA.5

故选：D

26.D

【分析】

根据已知条件可得W=4,同=2,(词设方=£=(2,0),OB=h=(2,2yf3),鸵=；伍封，可得点C(x,y)

的轨迹为圆，由圆的性质即可求解.

【详解】

因为忖=2忖=a/=4,所以W=4,1d=2,

熊［=£《，因为0«痴)4加，所以,@后，

设OA=o=(2,0),OB=B=(2,2>A),OC=c=(x,y),

c-4Z=(x-2,y),c4-^=(x4-2,2x/3+y),

所以e-2)(c+今=(x-2)(x+2)+乂26+y)=-3,

即x?+(y+G)=4,

所以点C(.y)在以M(0,-G)为圆心，半径r=2的圆上，

|1£卜"(二2)2+/表示圆一+(y+6丫=4上的点(x,y)与定点4(2,0)的距离,

所以,一0的最小值为|M4|-r=^(0-2)2+(-73-0)2-2=疗-2,

故选：D.

27.C

【分析】

先求出22-5=(1,-2),再解方程以2-(-2)或=0即得解.

【详解】

由题得22-5=(4,2)-(3,4)=(1,-2),

因为(22-5)佗，

所以lx2_(_2)x%=0,.・M=_l.

故选：c

28.D

【分析】

以。为原点，以C4所在的直线为x轴，以。C所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，求出各点坐标，设灰0,加）,

用数量积的坐标表示求出数量积，结合二次函数性质得最小值.

【详解】

如图所示，以。为原点，以。A所在的直线为x轴，以。C所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，

过点8做切V_Lx轴，过点B做轴，

VABYBC,ADVCD,ZBAD=120°,AB=AD=2,

，AN=ABcos60。=1,BN=ABsin600=y/3

£W=2+1=3,:.BM=3,VGW=MBtan30°=6

：.DC=DM+MC=2^,AA（2,0）,8（3,V3）,C（0,2⑹，设E（0,/n）,

二AE=（-2,m）,BE=（一3,〃？-G）.0w机42拒；

AE-BE=6+m2--/im=+6--=m-^-+—,当=■时.

I2J4I4J42

取得最小值为421.

4

故选：D.

29.D

【分析】

以点A为坐标原点，AD所在直线为无轴建立平面直角坐标系，设点P（8+Gcos9,6sin。），利用平面向量数量积

的坐标运算以及辅助角公式可求得正.赤的最大值.

【详解】

以点A为坐标原点，AO所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示:

因为zMBE、ABEC、AECZ)均是边长为4的等边三角形，

则A(0,0)、B(2,2月)、C(6,26)、0(8,0),设点P(8+6cos&百sin。)，

贝I」衣=仅,2百)，AP=(8+x/3cos6»,^sin<9),

所以，AC-AP=48+6V3cos6»+6sin6»=12sinp+y^+48e[36,60].

故选：D.

30.A

【分析】

令/。4。=，，由边长为I的正方形ABC3的顶点A、。分别在x轴、丫轴正半轴上，可得出5,C的坐标，由此

可以表示出两个向量，算出它们的内积即可.

【详解】

解：令/。4D=e,由于AD=1,故。4=cos。，OD=sin0,

/RAx=^-0,AB=\,故Xp=cose+cos(]-e)=cos9+sin，，yB=sin^y-0^=cos0,

故OB=(cos0+sin9,cos6),

同理可求得C(sincos。+sin6),即OC=(sin6,cos6+sin6),

...OB^OC=(cos6^+sin<9,cos，)(sin。，cos〃+sin。)=l+sin2。，

丽•反=l+sin2。的最大值是2,

故选：A.

31.C

【分析】

首先根据已知条件，首先求出几，人"的坐标表示，然后利用三点共线的向量表示即可求解.

【详解】

由题意可知，几=(2,y+3)，AC=(4,8)-

因为A(-2,-3)、8(0,y)、C(2,5)共线,

故油=2左，即(2,y+3)=(4482),

解得，A=y=l.

故选：C.

32.C

【分析】

建立适当的坐标系，然后用向量数量积公式得标.市,最后用线性规划的知识求得最大值.

【详解】

如图，以A为坐标原点，而所在的方向为X轴正方向，建立直角坐标系，

3

所以，4(0,0),8(3,0),C(-,

2

—/l—\UUU

设P(x,y),贝!]AO=(2,g),AP=(x,y),

所以而至二？/。,

由直线AO：y=+x,直线8C：y=->/3x+3V3,

因为点尸在AABC边上及其内部运动，由线性规划可得，

当点户与C重合时，通.而取值最大为

33.D

【分析】

画出图形，建立坐标系，求出P的坐标，然后求解。的坐标，然后求解向量的数量积即可.

【详解】

建立如下图的坐标系，在矩形A8CQ中，A8=4,AD=6,又点P在CD上,DP=3PC>由已知得

P(3,G),8(4,0),A(0,0),

点。在8P上，过点。作QSAB于点£又通.通=14,所以荏.通=14,即囤•网=14,

所以|祠=<,EB=；,NQ8A=g,所以QE=无，所以

2232

所以而.通=3xg+Gx¥=12.

故选：D.

【分析】

设小正方形边长为1,则)=(3,1),丐=(1,2),由夹角公式可求得结果.

【详解】

设小正方形边长为1,由平面向量的坐标表示可得：=(3,1),石=(1,2),

八ab3xl+lx2V2_.

设两向量夹角为凡则8$6=丽=而访=3,又©WO,句，所以。=45.

故选：A.

35.D

【分析】

根据向量平行、模、夹角等知识确定说法不正确的选项.

【详解】

A选项，若。〃),则-2x/=lxlnf=-g,A选项说法正确.

B选项，若|£十年|々-石|,两边平方并化简得7B=0，即-2+/=0=/=2,B选项说法正确.

C选项，\a+b\=|(-1,1+/)|=+1)2+1,当1=-1时，有最小值为1,C选项说法正确.

-2+r<07<2

ab<0

D选项，若£与坂的夹角为钝角，则=>S1n1D选项说法不正确.

-2xtw1x1t牛一t牛——

22

故选：D

36.C

【分析】

不妨设之=(1,0)，岑，贝而=|，*|，坂=(-2,6)，进而由夹角公式可求得结果.

【详解】

不妨设q=0,0),e?=,则a=2q+e2=,五=-3q+2e?=卜2,@,

所以“石=

设的夹角为。，则cos0=,又6e[0,句，所以9=120".

故选：C.

37.C

【分析】

利用向量数量积、模、夹角、投影等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】

对选项A,£+否=(3,—1),因为(3,—1〉(1,3)=3—3=0,

所以故A错误；

对选项B,a+2^=(5,-5),

所以归+2*6+(-5)2=5&,故B错误；

对选项C,衣”)=丽=而而=-3，

所以向量坂的夹角为9371,故C正确；

4

对选项D,6在£方向上的投影是阵。$,,与=2后*[_孝=-710,故D错误.

故选：C

38.A

【分析】

7TTT

根据而JUG可得4=/，再化简acosB+Z?cosA=csinC可得C=7,进而得出8即可

62

【详解】

由机_1_〃可得/%•〃=()，即GtanA—1=0,BPtanA=——,又A为△ABC的内角，

3

所以角A=J,

6

因为acos3+力cosA=csin。，由正弦定理得

sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC=>sin(A4-S)=sin2C,又sin(A+B)=sinC。0,故sinC=1,C=—

所以B=〃_C_A=2

3

故选：A

【点睛】

(1)平面向量/M_L〃可得w=0;

(2)关于解三角形的化简，常用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换与内角和、诱导公式化简

39.D

【分析】

由已知得了5>0且G与5不平行，根据向量的坐标运算可得选项.

【详解】

因为a与5的夹角为锐角，所以不出>0且々与5不平行，即3xl+9x%>0且女工9,解得且忆片3,

所以实数&的取值范围是(-；,3)U(3,+8),

故选：D.

40.D

【分析】

根据向量坐标运算的知识，对选项逐一分析即可.

【详解】

因为向