2024年中职高考数学计算训练 专题15 圆锥曲线的基本计算（含答案解析）

2024年中职高考数学计算训练专题15圆锥曲线的基本计算一、单选题1．已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案.【详解】由圆，则其圆心，半径为，设动圆的圆心为，半径为，由圆在圆的内部与其相切，则，由圆过点，则，即，所以动点的轨迹为以为焦点的椭圆，则，，，所以其轨迹方程为.故选：D.2．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的标准方程得出椭圆中的，利用椭圆的定义及三角形的周长公式即可求解.【详解】由，得，即，所以，即.由椭圆的定义知，,所以的周长为.故选：B.3．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【分析】根据椭圆的定义，结合焦点三角形的周长即可求解.【详解】由，即，可得，根据椭圆的定义，所以.故选：B.

4．设椭圆，的离心率分别为，，若，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】根据离心率的关系列方程，从而求得.【详解】对于椭圆，有.因为，所以，解得．故选：B5．已知是椭圆：上的一点，，是椭圆的两个焦点，则的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．20【答案】C【分析】求得椭圆的，，，运用椭圆的定义，即可得到所求周长．【详解】椭圆，可得，，，由椭圆的定义可得，又，则的周长是．故选：C6．已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可.【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆,需满足,解得.故选:C.7．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆方程可用表示出离心率，由此可求得结果.【详解】椭圆焦点在轴上，，，离心率，解得：.故选：C.8．已知是椭圆：上的一点，则点到两焦点的距离之和是（

）A．6 B．9 C．10 D．18【答案】A【分析】由椭圆的定义可知，椭圆上任何一定到其两焦点的距离之和为定值，且定值为长轴的长度，由此即可得解.【详解】由题意可知椭圆：中的长半轴长，设其两焦点分别为，又因为点是椭圆：上的一点，所以点到两焦点的距离之和是.故选：A.9．已知是椭圆的一个焦点，则实数（

）A．6 B．C．24 D．【答案】D【分析】把椭圆方程化成标准形式，再利用给定的焦点坐标列式计算作答.【详解】椭圆化为：，显然，有，而椭圆的一个焦点为，因此，所以.故选：D10．椭圆可以看作由圆进行伸缩变换得到，模仿圆的面积公式，数学家得到椭圆的面积公式：椭圆的面积．若椭圆的面积是椭圆的4倍，则椭圆的焦距为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据椭圆面积公式建立关于的方程，求值，再根据椭圆方程求，求焦距.【详解】依题意，，解得，故椭圆的焦距为．故选：B11．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则m=（）A． B．1或2C．1或 D．1【答案】D【分析】根据给定条件，利用焦点位置及半焦距的计算列式求解作答.【详解】双曲线的焦点在x轴上，依题意，，即，又，解得，所以.故选：D12．已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.【详解】把代入中，得，即，因为，，所以，又，所以，解得，舍去，则.故选：A13．已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可.【详解】由题意双曲线的焦点在轴上，则，，又，则，故C的标准方程为.故选：C14．已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的性质得到，，即可解得，从而求得答案.【详解】由题意得：，解得：，即双曲线的方程为，所以的渐近线方程是.故选：A.15．已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可得，根据双曲线的定义及焦点的位置即可求解.【详解】由题意可得,由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即，所以.又因为焦点在轴上，所以曲线方程为.故选:A.16．若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】B【分析】先由双曲线方程求出，再根据双曲线定义结合已知条件解方程组可得结果.【详解】双曲线中，得，则，由双曲线的定义可得，因为，所以，解得，故选：B17．已知，，则动点P的轨迹是（）A．双曲线 B．双曲线左支C．一条射线 D．双曲线右支【答案】C【分析】根据给定条件，得，即可确定轨迹作答.【详解】因为，于是有，所以动点P的轨迹是一条射线．故选：C18．若双曲线：，则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线求渐近线方程公式求解即可.【详解】：的渐近线方程为，即.故选：A.19．双曲线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线中,,的关系即可求解.【详解】由题意得，所以，又因为焦点在轴上，所以焦点坐标为.故选：A.20．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程、椭圆的半焦距，再列式求出作答.【详解】由椭圆得其半焦距为，依题意，，双曲线的渐近线方程为，于是，即，由，解得，所以双曲线C的方程为.故选：A21．在双曲线的标准方程中，若，则其标准方程是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】双曲线的标准方程有两种情形，一是焦点在x轴，另一种焦点在y轴，根据a与b写出标准方程即可．【详解】在双曲线的标准方程中，，当双曲线的焦点在x轴上时，它的标准方程是；当双曲线的焦点在y轴上时，它的标准方程是.所以双曲线标准方程是或.故选：D22．抛物线的焦点坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先把抛物线方程转化为标准方程，再求出焦点坐标即可.【详解】抛物线可化为.它的焦点坐标是.故选：B.23．若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标可以为（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先求得焦点坐标，然后根据抛物线的定义求得点的坐标.【详解】设抛物线的焦点为，则，依题意可知，所以，则.所以点坐标为：、.故选：BD

24．抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先将抛物线方程转化为标准形式，再求得抛物线的焦点坐标.【详解】抛物线的标准形式为，所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，所以焦点坐标为.故选：B25．若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线【答案】B【分析】根据给定条件，利用抛物线定义确定轨迹作答.【详解】动点到点的距离和它到直线的距离相等，而点不在直线，所以动点的轨迹是以点到直线的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物线.故选：B二、多选题26．若是椭圆上一点，，为其左右焦点，且不可能为钝角，则实数的值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】CD【分析】根据椭圆的几何性质可判断为椭圆的短轴端点时，此时最大，即可列不等式求解.【详解】由椭圆的性质可得当点为椭圆的短轴端点时，此时最大，若不可能为钝角，当点为椭圆的短轴断点时，则，则，即，又焦点在轴上，解得，所以实数的值可以是4，5，故选：CD

27．双曲线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据双曲线方程可得答案.【详解】双曲线的焦点在轴上，因为，所以，所以左顶点为，右顶点为.故选：AB.

28．双曲线的焦点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】化为标准方程后，利用关系即可求出焦点坐标.【详解】因为双曲线方程可化为，所以，得，所以焦点坐标为．故选：BC.29．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程为（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】分焦点在轴上和轴上两种情况，利用待定系数法求解即可.【详解】若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得，解得，所以抛物线的标准方程为；若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得，解得，所以抛物线的标准方程为．故选：BD三、填空题30．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第二象限．若为等腰三角形，则点的坐标为．【答案】【分析】先根据方程求，由题意分析可得，列方程求解即可.【详解】由题意可知：，设，因为为上一点且在第二象限，则，，又因为为等腰三角形，且，则，即，解得，所以点的坐标为.故答案为：,31．已知双曲线的离心率为2，则实数.【答案】【分析】根据双曲线标准方程的性质和离心率的定义即可求解.【详解】由题意得，，又，则.故答案为：32．若双曲线的焦距为6，实轴长为2，则该双曲线的虚轴长为．【答案】【分析】根据双曲线基本量的关系求解即可.【详解】依题意可得，，则，，所以该双曲线的虚轴长为．故答案为：33．已知曲线是双曲线，则实数的取值范围为．【答案】【分析】根据给定条件，利用双曲线方程的特征列式求解作答.【详解】由曲线是双曲线，得，解得或，所以实数的取值范围为.故答案为：34．求双曲线的渐近线为.【答案】【分析】根据双曲线渐近线方程的求法求得正确答案.【详解】双曲线的标准方程为，所以，且双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为.故答案为：.35．已知点在抛物线C：上，则点A到抛物线C的准线的距离为．【答案】2【分析】将点代入抛物线方程，求出及准线方程，进而可得出答案.【详解】因为在抛物线C：上，所以，解得，故抛物线C的准线为，所以点A到抛物线C的准线的距离为.故答案为：.36．写出抛物线上与焦点的距离等于的点的坐标：【答案】或【分析】利用抛物线焦半径公式可构造方程求得结果.【详解】设与焦点的距离等于的点为，由抛物线方程知：准线为，，解得：，，解得：，与焦点的距离等于的点的坐标为或.故答案为：或.四、解答题37．已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.(1)求椭圆的方程；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可知离心率且焦距为，结合焦距为即可得解.（2）由题意已知，所以设出直线方程（只含有一个参数即截距，不妨设为），将其与椭圆方程联立后，再结合韦达定理可将表示成的函数，进一步求其最大值即可.【详解】（1）由题意得,解得,，，∴椭圆的方程为.（2）因为，所以设直线的方程为，，.联立得得，又直线与椭圆有两个不同的交点，所以，∴∴，∴故当，即直线过原点时，最大，最大值为.38．已知曲线C：.(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，由椭圆与双曲线的标准方程的特点，即可得到结果；（2）根据题意，分别计算曲线C表示椭圆与双曲线时的焦点，即可得到结果.【详解】（1）当，即或时，且，则曲线C为椭圆；当，即或时，，则曲线C为双曲线．（2）由（1）可知，当或时，曲线C是椭圆，且，因此，∴焦点为；当或时，双曲线C的方程为，∵，∴焦点为.综上所述，无论为何值，曲线C有相同的焦点．39．已知双曲线的离心率是双曲线的两个焦点，且(1)求双曲线的标准方程；(2)求双曲线渐近线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据双曲线的离心率和焦点坐标求方程；（2）根据双曲线的渐近线方程进行求解.【详解】（1）由题意，且，解得，所以双曲线的标准方程为（2），焦点在轴上，故渐近线方程为40．指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程．