2025年九年级中考数学一轮复习考点突破课件：第7讲 一元二次方程

第7讲一元二次方程考点1一元二次方程的概念及其解法1.一元二次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.它的一般形式是

(a,b,c为常数,a≠0).

ax2+bx+c=02.一元二次方程的解法一次项系数一半的平方温馨提示一元二次方程解法口诀:方程没有一次项,直接开方最理想.如果缺少常数项,因式分解没商量.b,c相等都为零,等根是零不要忘.b,c同时不为零,因式分解或配方.也可直接套公式,因题而异择良方.考点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系b2-4ac不相等相等没有(3)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;考点3一元二次方程的应用常见类型:(1)增长率问题:设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为

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(2)利润问题:单件利润=单价-成本;总利润=单件利润×销量=总收入-总成本;(3)面积问题:对于规则图形,可直接套用面积公式列方程求解;对于不规则图形,可通过割补使其变为规则图形后,再根据面积间的和、差关系求解;a(1+x)2(4)循环球赛问题:单循环:x个队的单循环赛场数=

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双循环:x个队的双循环赛场数=x(x-1);(5)数字问题:一个两位数的十位数字为a,个位数字为b,则这个两位数可表示为

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10a+b命题点1一元二次方程的概念(易错点)例1已知关于x的一元二次方程(m-1)2x2+3mx+3=0有一实数根为-1,则该方程的另一个实数根为

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思路点拨把x=-1代入方程求出m的值,再通过解方程或利用根与系数的关系求出另一个实数根.变式1(2023渠县校级模拟)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的一个解是x=1,则代数式2022-a-b的值为()A.-2022 B.2021C.2022 D.2023变式2(2024南充)已知m是方程x2+4x-1=0的一个根,则(m+5)(m-1)的值为

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D-4命题点2一元二次方程的解法例2解下列方程:(1)2x2+3x-3=0;思路点拨

(1)应用公式法或配方法求解;(2)x(2x-5)=10-4x.思路点拨

(2)将方程右边的项移到左边,然后应用因式分解法求解.归律总结解一元二次方程的方法选择(1)若给定的方程为x2=n或(x+m)2=n(n≥0)型时,选用直接开平方法;(2)若给定的方程(或者变形后)右边为0,左边能因式分解,选用因式分解法;(3)若给定的方程右边为0,左边不能因式分解时,一般选用公式法;(4)对于二次项系数化为1后,一次项系数是偶数(即形如“x2+2kx+m=0”)的一元二次方程,采用配方法比较简单.变式3(2022雅安)若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程(x+3)2=2c,则c的值为()A.-3 B.0 C.3 D.9变式4解下列方程:(1)x2-4x+3=0;C解:(1)∵x2-4x+3=0,∴(x-1)(x-3)=0.则x-1=0或x-3=0,解得x1=1,x2=3.(2)(x-3)2-6(x-3)+8=0.解:(2)∵(x-3)2-6(x-3)+8=0,∴(x-3-2)(x-3-4)=0.即(x-5)(x-7)=0.则x-5=0或x-7=0,解得x1=5,x2=7.命题点3根的判别式和根与系数的关系例3(2024南充模拟)已知关于x的一元二次方程x2-4x-k+1=0有两个实数根分别为x1,x2.(1)求k的取值范围;解:(1)Δ=(-4)2-4×1×(-k+1)=4k+12,∵一元二次方程有两个实数根,∴Δ≥0.∴4k+12≥0.∴k≥-3.易错提醒用一元二次方程的根与系数的关系求字母系数的值时,不要忽略根的判别式b2-4ac≥0这一重要条件.变式5(2024自贡)关于x的方程x2+mx-2=0根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根A变式6(2023泸州)关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是()A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.实数根的个数与实数a的取值有关C变式7(2023广安)已知a,b,c为常数,点P(a,c)在第四象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断A变式8(2024泸州)已知x1,x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个实数根,则(x1-x2)2+3x1x2的值是

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变式9(2024成都)若m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根,则m+(n-2)2的值为

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147命题点4一元二次方程的应用例4(2024德阳模拟)三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一,昭示了长江流域与黄河流域一样,同属中华文明的母体,被誉为“长江文明之源”.为更好地传承和宣传三星堆文化,三星堆文创馆一次次打破了自身限定,让文创产品充满创意.已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A,B两个系列,A系列产品比B系列产品的售价低5元,100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等.按定价销售一段时间后发现:B系列产品按定价销售,每天可以卖50件,若B系列产品每降1元,则每天可以多卖10件.(1)A系列产品和B系列产品的单价各是多少?(2)为了使B系列产品每天的销售额为960元,而且尽可能让顾客得到实惠,求B系列产品的实际售价应定为多少元/件?解:(2)设B系列产品的实际售价应定为y元/件,则每天可以卖50+10(15-y)=(200-10y)件,根据题意,得y(200-10y)=960,整理,得y2-20y+96=0,解得y1=8,y2=12,又∵要尽可能让顾客得到实惠,∴y=8.答:B系列产品的实际售价应定为8元/件.变式10(2024德阳罗江区模拟)九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念,全班共送出1560张相片,如果全班有x名学生,根据题意,可列方程:

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x(x-1)=1560变式11(2023德阳旌阳一模)平安路上,多“盔”有你,在“交通安全宣传月”期间,某商店销售一批头盔,进价为每顶40元,售价为每顶68元,平均每周可售出100顶.商店计划将头盔降价销售,每顶售价不高于58元,经调查发现:每降价2元,平均每周可多售出40顶.(1)若该商店希望平均每周获利4000元,则每顶头盔应降价多少?解:(1)设每顶头盔应降价x元,则每顶头盔的销售利润为(68-x-40)元,平均每周的销售量为(100+20x)顶.依题意,得(68-x-40)(100+20x)=4000.整理,得x2-23x+60=0.解得x1=3,x2=20.∵68-x≤58,∴x≥10.∴x=20.答:每顶头盔应降价20元.(2)商店降价销售后,决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元(m为整数,且1≤m≤5),帮助做“交通安全”宣传.捐赠后发现,该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大,求m的值.