高考数学（理）解答题规范练

解答题规范练

(-)70分解答题规范练

解答题：本题共7小题，共70分。第22题〜23题为选考题。

解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤。

17.在AABC中，已知a,h,c分别是角A,B,C的对边,

兀

/?cosC+ccosB=4,3=4。

请在下列三个条件①(。+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB,

②b=4啦，③V§csin3=bcosC中任意选择一个，添加到题目的条

件中，求△ABC的面积。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

/+/—c2

解因为从osC+ccosB=4,所以由余弦定理得力一前一

«2+(?2—b2

+C2ac=4,付q=4。

若选择条件①,即(a+Z?+c)(sirb4+sinfi—sinC)=3asinB。

在△ABC中，由正弦定理得(a+b+c)(a+b—c)=3ab,所以

(a-\-b)2—c2=3ab,整理得a2-\~b2—c2=ab,

1TT

所以由余弦定理得cosC=5，又C£(0,7i),故。=彳。

乙J

又8=今，所以4=兀一^一彳571

12°

>_«____匕产6/sing4sm4r-_

由sinA—sinr仔》一siM-5兀-4(73—1),

sin12

11兀

故△A3C的面积S=^ahsmC=^X4X4(^/3—1)Xsin^=4(3—

小)。

若选择条件②，即力=4/。

「冗vu、，i-abp.,asiaB4‘叫,-j

因为B=~7,所以由-；~T=~~倚SinA=7=~~~/T-=^o

4'sinAsm3'b4勺22

yr57r

因为A£（0,7c）,所以4=5或？1=不。

5兀

由于/?〉〃，所以皮＞A,因此71=不不符合题意，舍去，故A

兀

不

.兀兀7兀

川0=兀一不一4=五，

11r-t

故△ABC的面积S=2^sinC=2X4X4-\/2Xsinj^=4(^/3+

1）。

若选择条件③，即,csinB=bcosC。

在△ABC中，由正弦定理可得,sinCsin8=sin8cosC,易知

sin8W0,

、巧7T

所以tanC=¥。因为。£（0,兀），所以。=不

一一兀”,，兀兀7兀

又3=不所以A=兀_4_^=正，

4--

「abpasinBSin4r-

-：

由~T~~o,传b=­：~~7~=%-=4(、3-1),

sinAsinBsinA.7兀vv7

sin日

II兀

故△ABC的面积S='^abs\nC=2X4X4(^/3—1)Xsin^=4(^3

-1）。

18.如图，四边形ABCD为矩形，四边形A3E尸为梯形，且

BE//AF,ZBEF=90°,Z5AF=30°,平面ABCD和平面ABEF

垂直，BF=2,AF=4o

(1)求证：BF±AC；

(2)若直线AC与平面ABEF所成的角为30°,求钝二面角

D-CF-E的余弦值。

BF

解⑴证明：在中，由正弦定理得口还

AF

sinZABF9

,AFsin^BAF4sin30°

所以sinZABF=BF=2=1'所以NA8F=

90°,BF±ABO

又平面ABC。_L平面ABE尸，平面ABCDG平面

3EU平面A8EF,

所以B尸_L平面4BCD。

又ACU平面A3CD,所以3尸_LAC。

(2)由于四边形ABC。是矩形，所以CB_LA8。

又平面ABCD_L平面ABE尸，平面ABCDG平面ABE/=A3,

C8U平面ABC。，

所以CB_L平面ABEQ

故直线AC与平面ABEF所成的角为/CAB,即NCAB=30°。

由(1)知△A3E为直角三角形，BF-LAB,

所以AB=7AF2—BN=26,

所以CB=ABtan30°=2。

易知△ABFs/\FEB,所以BE=1,EF=\f3o

易知直线CB,BA,3/两两垂直，故以3为原点，BA,BF,

所在直线分别为％,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。

（小I1

则。（2仍，0,2）,C（0,0,2）,尸（0,2,0）,用一看，0〉

所以沆=（—2小，0,0）,加=（一25，2,-2）,CE=

「早2，—21小=（02-2）o

设平面。Cb的法向量为y},z）

•元=0,

则1.

[n\-^F=0,

[―2^3X1=0,

即|/—得％]=0,

「2审%]+2yi—2zi=0,

令yi=l,得zi=l,

所以平面。。尸的一个法向量为w=（0,1,1）。

设平面CFE的法向量为〃2=（%2,丝，Z2）,

则卜年=0,即「坐X2+52-2Z2=O,

["2•声=0,12y2—2z2=0,

令”=1,得％2=一小，22=1,

所以平面CF石的一个法向量为〃2=（一5，l,l）o

的〜/\•町2回

所以cos〈江肛〉一川网一也X小一5,

故钝二面角D-CF-E的余弦值为一^^。

19.已知尸”尸2为椭圆C=13金>0）的左、右焦点,

点P（2,3）为其上一点，且|PQ|+|PBI=8。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线/：丁=自一4交椭圆C于A,B两点，且原点。在

以线段A3为直径的圆的外部，试求实数%的取值范围。

。=4,

解（1）由题意可知解得

b=2y/3,

所以椭圆0的标准方程为各片=1。

+=]

（2）设A3,yi）,B（X2,"），由j1612'得

"=立-4,

（4斤+3）%2—32日+16=0,

由/>0,得（一32%）2—4（4公+3）X16>0,得其或k一

32k16

则+%2=42+3,即％2=4公+3'

又原点。在以线段A8为直径的圆的外部，所以⑪•加>0,

则①1•=（炉+1）%]%2—4攵（%|+应）+16=（公+1）必!：3—

,32k,16（4—3产）

4%乂4炉+3+16=4炉+3

得一卷：衣卷

综上所述，实数上的取值范围为[—乎，

20.2019年女排世界杯是由国际排联(FWB)举办的第13届

世界杯赛事，比赛于2019年9月14日至9月29日在日本举行,

共有12支参赛队伍。最终，中国女排以11战全胜且只丢3局的

成绩成功卫冕本届世界杯冠军。中国女排的影响力早已超越体育

本身的意义，不仅是时代的集体记忆，更是激励国人接续奋斗、

自强不息的精神符号。如表是本次世界杯最终比赛结果的相关数

具有线性相关关系，试根据表中数据求出y关于％的线性回归方

程(系数精确到0.01),并由此估计本次比赛中胜场数是4的塞尔

维亚队的积分(结果保留整数)；

(2)中国已经获得2020年东京奥运会女排比赛的参赛资格。

东京奥运会女排比赛一共有12支队伍，比赛分为2个小组，每个

小组进行单循环比赛。积分规则是以3：0或者3：1取胜的球队

积3分、负队积0分，以3：2取胜的球队积2分、负队积1分。

根据以往比赛的战绩情况分析，中国队与同组的某2支强队比赛

的比分以及相应概率如表所示：

比分3：03：13：22：31：30：3

概率0.10.20.30.20.10.1

试求小组赛中，中国队与这2支球队比赛总积分的期望。

n__

2r必一〃工y

i=1

参考公式：线性回归方程;=乐+2中，力=------------

n

—nx2

i=l

=,一分A工，其中工=:1》〃,，亍1=〃/。

i=li=1

解（1）由题表中数据可得：

排名123456

胜场数％11108766

积分y322823211918

_11+10+8+7+6+6

所以x—6—8,

-32+28+23+21+19+18

y—6—23.5,

6

2>/^/=352+280+184+147+114+108=1185,

i=\

121+100+64+49+36+36=406,

6一_

》匹―6%y

Z=1

所以金=------------

—6x2

i=\

1185-6X8X23.5

=2.591,

406-6X82

八-/\'

所以a=y~bx七23.5—2.591X8弋2.77,

故线性回归方程为金=2.59%+2.77。

当％=4时，^=2.59X4+2.77=13.13^13,

故塞尔维亚队的积分大约是13分。

(2)由题意得，中国队与这2支球队中的每支球队比赛时，积

3分的概率为0.1+0.2=0.3,积2分的概率为0.3,积1分的概率

为0.2,积0分的概率为0.1+0.1=0.2。

设中国队与这2支球队比赛的总积分为乙则。的可能取值

为6,5,4,3,2,1,0。

则P(^=6)=C2X0.32=0.09,

P(^=5)=ClX0.3X0.3=0.18,

P(<f=4)=CX0.3X0.2+C；X0.32=0.21,

P(4=3)=GX0.3X0.2+C；X0.3X0.2=0.24,

2

P(<f=2)=ClX0.3X0.2+ClX0.2=0.16,

P(W=1)=C；X0.2X0.2=0.08,

0)=仁X0.2X0.2=0.04。

因此4的分布列如下所示：

6543210

P0.090.180.210.240.160.080.04

则£(^)=6X0.09+5X0.18+4X0.21+3X0.24+2X0.16+

1X0.08+0X0.04=3.4。

21.函数y(%)=ln(%+/)+T，其中3〃为实数。

(1)若1=。，讨论函数X%)的单调性；

(2)若/=0时，不等式式%)>1在%£(0,1］上恒成立，求实数。

的取值范围；

(3)若g(%)=e、+T，当/W2时，证明：g(%)次%)。

解(1)由题意知/=0,4%)的定义域为(0,+°°),/(X)=—^

1x-a

x-x，

当“WO时，因为人>0,所以％—4>0,所以/(%)>0,所以/(%)

在(0,+8)上单调递增。

当4>0时，若%>凡则了(%)>0,於)单调递增；

若0<x<a,则/(x)<0,fix)单调递减。

综上可知，当“W0时，穴%)在(0,+8)上单调递增；当a>0

时，犬%)在(a,+8)上单调递增，在(0,a)上单调递减。

(2)r=0时，犬%)21="+111^>1=2》一lnx+1=。》一%lri¥+

JCX

x,故a2一％ln_x+%对任意％£(0,口恒成立，

等价于“2(—%kir+%)max,xG(0,l],

令〃(x)=-%lnx+%,%£(0,l],

则〃(%)=—ktr—%•；+1=—IILY'O,XG(0,1],

所以〃(%)在(0,1]上单调递增，

所以〃(%)max=/D=l,

所以

故实数a的取值范围为[1,+8)。

(3)证明：当，W2时，要证明g(%)M%),即证明g(%)—/U)>0,

只需证e'—ln(%+/)>0,

即证eA—ln(x+r)e'—ln(x+2)>0,所以只要证明e'—ln(%+

2)>0o

令5(%)=3—111(%+2),则广a)=e]-在(-2,十8)上单

调递增。

又尸(一1)<0,F(0)>0,

所以方程尸(%)=0在(-2,+8)上有唯一实根，设为％0,则

%()£(—1,0)。

当了£(—2,向)时，F(x)<0,9(%)单调递减，

当了£(即，+8)时，尸(%)>0,尸(幻单调递增，

从而当％=%()时，尸(%)取得最小值。

由F<%())=0,得e=京号,即％()=—ln(x()+2),

-Vo]

所以F(x)—eA—ln(x+2)2e-ln(xg+2)=+%o=

%o+2

(%o+l)2

>0o

x()+2

故当时，g(x)次c)。

请在第22题〜23题中任选一题作答，如果多做，则按所做

第一题计分。

22.(选修4一4：坐标系与参数方程)

在平面直角坐标系％0y中，以坐标原点为极点，x轴的正半

轴为极轴建立极坐标系。曲线C]:尤?+/一%=0,C2：f+y2-2y

=0o

(1)以过原点的直线的倾斜角0为参数，写出曲线G的参数

方程；

(2)直线/过原点，且与曲线G，。2分别交于A，3两点(A,

8不是原点)。求|AB|的最大值。

解(l)f+y2—%=(),即(%—；)2+,2=；,则曲线G是以

G[I,oj为圆心，E为半径，且过原点的圆，如图，设P(x,y)为

过原点的直线与曲线G的交点，连接PG,由圆的对称性，不妨

设NPC%=4(0W/<7T),

%=/+$cos6,

则5

尸;si明

由以过原点的直线的倾斜角夕为参数，得owe。,而夕=2。,

所以曲线G的参数方程为

%=/+］cos26,

<1(。为参数，且owe<7T)。

y=/sin29

(2)根据已知，得曲线G,。2的极坐标方程分别为0=cosa,

p2—2sin«(pi>0,p2>0),

=

故|A8|=i±p2||2sina±cosa|

=4^|sin(a±9)|W小，其中tan^=^o

当|sin(a±9)|=l时，等号成立。

综上，|AB|的最大值为小。

23.(选修4—5：不等式选讲)

已知对任意实数x,都有|%+2|+|x—4］一根20恒成立。

(1)求实数机的取值范围；

41/7

(2)若m的最大值为n,当正数a,b满足上必+^^时'

a-r5h3。+2。6

求4a+78的最小值。

解(1)因为对任意实数%,都有|%+2|+|%—4］一恒成立,

且|%+2|+|%—4|2|%+2—%+4|=6,

所以mW6。

故实数机的取值范围为(-8,6]o

41

(2)由⑴知〃=6,则在豆+豆包=1°

[4,1)

4a+7h=(4a+7与=3+5b+3。+

I4।11,a+5b,4(3a+2b)、，一，

；豆+工不"当且仅当

23\a^-r5b3a十2列=5+33。+"2。+a+5b29,a=

高3赭时15取等号,

所以4〃+7。的最小值为90

（二）70分解答题规范练

解答题：本题共7小题，共70分。第22题〜23题为选考题。

解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤。

17.如图所示，在平面直角坐标系％07中，扇形。A3的半径

?71

为2,圆心角为至，点〃是弧A3上异于A,3的点。

⑴若点C（1,O）,且CM=啦，求点M的横坐标；

（2）求△MAB面积的最大值。

解（1）连接0M（图略），依题意可得，在△OCM中，OC=1,

CM=y/2,0M=2,

22+妙一（近了3

所以cosZCOM=2X2X14’

33

所以点Af的横坐标为2X^=5。

2TT।

(2)设NAOM=。，6>elO,yl,则NBOM=3仇

_1•<27r_y|i1

=

SZ\MAB=SZ\OAM+S^OBM—S^OAB2^2X2sinO+sin—0j—/2

X

X2X2X看=25sin一黄,

因为q0,y],所以呜喏,y

所以当。=即寸，△M4B的面积取得最大值，最大值为小。

18.如图，在三棱柱A3CA向G中，A]3=A4i=AC=AC=2,

AB=BC,^ABLBC,。为AC的中点。

(1)证明：40,平面ABC；

(2)求直线AB与平面G08所成角的正弦值。

解(1)证明：因为AAi=AC=2,。为AC的中点,

所以AO_LAC。又AC=A3=2,

所以4。=小，05=1,

所以4。2+。32=4力，所以A0_LQB,

又ACn08=0,ACU平面ABC,OBU平面ABC,

所以AO_L平面ABC。

(2)以。为坐标原点，分别以QB,OC,04的方向为％,y,z

轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则0(0,0,0),A(0,

-1,0),B(1,0,0),G(0,2,®

所以A5=(l,l,0),0G=(0,2,回OB=(1,0,0),

设平面C\OB的法向量为〃=(%,y,z),

―>

〃OG=0,2y+小z=0,

由〈得‘

―>%=0,

令y=小,则z=—2,

所以八=（0,小，-2）,

设直线AB与平面C\OB所成的角为夕,

一A/42

则sin^=|cos(AB,n)|=四，

所以直线与平面CQB所成角的正弦值为曙。

19.平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1(。>力>0)

右焦点的直线％+y—5=0交M于A,B两点，且椭圆M的离心

（1）求椭圆M的方程；

⑵C,。为M上的两点，若四边形AC8O的对角线CD_LAB,

求四边形ACBO面积的最大值。

解⑴易知椭圆M的右焦点为（小，0）,则c=4L

离心率6=。=哼=乎，则，=#,

IztC/L

222

故b=a—c=?)o

22

所以椭圆M的方程为菅+9=1o

o3

卜+厂小=0,

哪+、’

’4^3

%-3'

解得正

U=-3

因此依同=¥。

由题意可设直线CD的方程为丁=%+〃(一¥<〃<“§]，C&3,

刈)，。(％4,%)。

\y=x-\-n,

由<幺y2得3%2+4内+2川一6=0,

匕+3=1，

曰一2fi±\/2(9—冷

丁点.%3,4—3°

因为直线CD的斜率为1,

所以\CD\=\[2\X4—X3\=|A/9—z?o

由已知，四边形AC3。的面积

S=1|CD\-\AB\="49-〃之o

Zyv

当〃=0时，S取得最大值，最大值为邛。

所以四边形ACBD面积的最大值为‘步。

21m—X3—mx2+x

20.已知函数犬%)=

(1)求证：无论相取何值，曲线於)在(1,犬1))处的切线均与工

轴平行或重合；

(2)若函数大%)在(0,+8)上有两个不同的零点，求实数机的

取值范围。

21n¥—%3—mx'-\-x21nx

解(1W)=x+~—m,式1)=一根,

/⑴=2—1—1=0,

所以曲线/(%)在(1,,穴1))处的切线方程为y+m=0,

当根=0时，切线方程为y=0,切线与％轴重合；

当根W0时，切线与X轴平行。

所以无论m取何值，曲线,/(%)在(1,/(I))处的切线均与x轴平

行或重合。

(2)函数五%)在(0,+8)上有两个不同的零点等价于方程大工)

=0在(0,+8)上有两个不同的实根，

即机=吧一％在(0,+8)上有两个不同的实根。

JCX

设函数g(%)=3卢一%+：(%>0),

,2%—4%lnx12—41nx—X1—x

则,(%)=一7--1-7=------p------°

-A/人<人

令函数r(x)=2—41nx—x3—x(x>0),

则当x>0时，v'(x)=—3x2—1<0恒成立，

X

所以v(x)—2~41a¥—x3—x(%>0)为减函数。

又。(1)=2—0—1一1=0,

所以当x>\时，0(%)<0,当0<%<1时，0(%)>0,

所以当了>1时，g'(%)vO,当0<%<1时，g'(%)>0,

故g(%)在(1,+8)上为减函数，在(0,1)上为增函数，即g(%)max

=g(l)=0。

又当％—0时，g(%)——8,当％—+8时，—8,

所以数形结合可知当函数g(x)的图象与直线y=m有两个不

同的交点时，m<0。

故若函数大%)在(0,+8)上有两个不同的零点，实数机的取

值范围为(-8,0)o

21.某市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1

月期间购买二手房的情况，首先随机抽取其中200名购房者，并

对其购房面积皿单位：米20WmW130)进行了一次调查统计，

制成了如图①所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年1

月至2019年1月期间当月在售二手房均价M单位：万元/米,

制成了如图②所示的散点图(图中月份代码1〜13分别对应2018

年1月至2019年1月)。

(1)试估计该市市民的平均购房面积而；

(2)从该市2018年1月至2019年1月期间所有购买二手房的

市民中任取3人，用频率估计概率，记这3人购房面积不低于100

米2的人数为X,求X的分布列与数学期望；

(3)根据散点图选择砧和两个模型进行拟

合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为$=0.9369+0.028

5m和$=0.9554+0.03061nx,并得到一些统计量的值，如表所示:

A,A,

^=0.9369+0.028y=0.9554+0.030

5y/x61iir

0.0005910.000164

1=1

2

E(y(-y)0.006050

i=i

请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合

效果更好的模型预测2019年6月份的在售二手房均价（精确到

0.001）o

参考数据:ln2-0.69,ln3-120,足17/2.83,-94,

巾F.41,小=1.73,历七4.12,V19^4.36O

Z8-4y

当月在华二手房均价

1.04-••一

1.02-.■・.

1.00-.••

0.98-••

0.96-・

0.9我

o12345678910111213月份代码x

②

解(1)m=65X0.05+75X0.1+85X0.2+95X0.25+

105X0.2+115X0.15+125X0.05=96(米2)。

(2)每一位市民购房面积不低于100米2的概率为0.20+0.15

+0.05=0.4,

所以X〜8(3,0.4),

所以P(X=k)=Cy0邛♦0.63一依=0,1,2,3),

X的分布列为

X0123

P0.2160.4320.2880.064

石(X)=3X0.4=1.2。

(3)i殳模型£=0.9369+0.0285市才口£=0.9554+0.03061nx的

相关指数分别为鹿，鹿，

2=00005910.000164

人」"l10.00605'&-10.00605'

所以一V鹿,

所以模型金=0.9554+0.03061ii¥的拟合效果更好，

2019年6月份对应的％=18,

所以$=0.9554+0.03061n18=0.9554+0.0306X(ln2+

2

21n3)"1.044(万元/米)o

请在第22题〜23题中任选一题作答，如果多做，则按所做

第一题计分。

22.(选修4一4：坐标系与参数方程)

在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为

%=S+/cosa,

..。为参数，。为/的倾斜角)，以原点。为极点,

%轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线后的极坐标方程为一

717r.

4sin。，直线。=q，。=夕-gS£R)与曲线上分别交于不

同于极点。的三点A,B,Co

(1)若,邙＜与，求证:\OB\-\-\OC\=\OA\',

(2)当夕=可口寸，直线/过3,C两点，求为与a的值。

解(1)证明：依题意，|Q4|=|4si咽，\0B\=4sin^+d,\0C\

4.o兀m%兀n2兀

=4sin['—wj,因为

所以|08|+|0C|=4sin4+a+4sin4一与=4sin夕=|O4|。

SirTT

(2)当夕=不时，直线。=夕+；与曲线E的交点B的极坐标为

JT(冗冗'

直线。=夕一§与曲线E的交点C的极坐标为14sin1,2j=

,舒，

从而，B,C两点的直角坐标分别为B(巾，1),C(0,4),

所以直线I的方程为y=一小龙+4,

也,12兀

所以yo=l,a=~^~o

23.(选修4—5：不等式选讲)

已知函数於)=|%—〃|+仅+1|。

(1)若〃=2,求不等式次%)>%+2的解集；

(2)如果关于％的不等式段)<2的解集不是空集，求实数。的

取值范围。

-2%+l(x<-1),

解⑴当a=2时，於)=<3(—14<2),

、2%—1(%>2),

x<—1,—1W%<2,

不等式4])>%+2等价于，或或

—2%+1>%+23>%+2

*%22,

2x—l>x+2,

解得X<1或%>3,故原不等式的解集为或%>3｝。

(2)因为y(x)=|x—。|+|%+1|邦(%—ci)—(%+1)|=|Q+1|,

当且仅当(%-a)(%+l)WO时取等号。

所以若关于％的不等式於)<2的解集不是空集，只需|Q+1|<2,

解得一即实数a的取值范围是(一3,1)。

(=)70分解答题规范练

解答题：本题共7小题，共70分。第22题〜23题为选考题。

解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤。

17.已知S〃是等差数列｛诙｝的前〃项和，且为+53=20,7S2

T+及

=8的。是数列｛乩｝的前〃项和，且吃一=a一1。

(1)求数列｛&｝和｛乩｝的通项公式；

⑵设cn=an+bn,求数列｛c〃｝的前n项和。

解(1)设等差数列｛4｝的公差为"，

根据&+S3=20,752=8的，

得4。1+42=20,20=3d,

所以。1=3,d=2,

因此数列｛a｝的通项公式为的=2〃+1。

Tn-\~n.

由-2―=bn—1,彳寸T“=2bn—2—n,

当n=l时，Z?i=2Z?]—2—1,Z?i=3o

当〃22时，7^-i=2Z?„-i—2—(71—1),且〃一。一1=

所以bn=2bn—2—n—[2bn-i—2—(〃-1)],

b+1

=

bn2bn-i-\-1,1=2("?-】+1),7工7=2,

on-1।1

所以数列｛乩+1｝是以仇+1=3+1=4为首项，2为公比的等

比数列，

于是儿+1=4X2"T=2"I,

所以数列｛。〃｝的通项公式为Z?„=2/i+1-lo

(2)由(1)得，金=。"+。“=2〃+1+2""—1=2«+2H+Io

数列｛金｝的前n项和为

ci+cz+c3H---1-金

=2+22+4+23+6+24+-+2n+2z,+1

=(2+4+6H---l-2/2)+(22+23+24H---F2/,+1)

_n(2+2ri)22(1—2")

=2+1-2

=2"+?+/+〃-4o

18.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形,

AB=2BC,EF=ED=FC=BC。

(1)求证：石/〃平面ABC。；

(2)当平面A3CD_L平面。CFE时，求异面直线AE与C尸所

成角的余弦值。

解(1)证明：因为四边形ABCQ是矩形，所以AB〃CO。

因为CDU平面DCFE,ABC平面DCFE,

所以A3〃平面DCFE。

又ABU平面尸石，平面ABFEC平面DCFE=EF,所以AB

//EF,

又ABU平面ABCD,EF^^JABCD,

所以EF〃平面ABCD。

(2)解法一：1殳8C=1,则EF=ED=FC=BC=1,AB=2BC

=2

因为平面A8CO_L平面DCFE,平面ABCOA平面DCFE=

CD,AD-LCD,

所以AO_L平面DCFEO

因为OEU平面DCFE,

22

所以AO_LDE,AE=\]AD+DE=\f2o

由（1）知，EF//CDO

如图，取CD的中点M,连接EM,AM,则Eb=CM,四边

形石/CM是平行四边形，

阳以EM//FC,且EM=FC=1,

则就是异面直线AE与C厂所成的角或其补角。

在aAME中，AE=y/2,EM=1,

AM=NAD?+DM?=巾,

由余弦定理，得

信+石序—一序2+1—2/

cosZAEM=2AEEM=2啦=4，

\/2

因此异面直线AE与C/7所成角的余弦值为之~。

解法二：过点E作石O_LCO于点0,

因为平面ABCD_L平面。

所以EO_L平面A8CO。

过点0作0H//AD,交AB于点H,

因为四边形ABCQ是矩形，所以OH_LCO。

以0为坐标原点，OH,OC,0E所在直线分别为％,y,z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

设8c=1,则EF=ED=FC=BC=1,AB=2BC=2,

由（1）知，EF//CD.

在梯形CDE/中，EF=ED=FC=\,DC=2,

1A/3

f所以〜。人0=72'，JE"0=y,

于是E0,0,g

5,o,CO,,。，/o,1,

/I

i

则AE=—1,,c尸=[o,一],

设异面直线AE与c/所成的角为e,

\AE\\CF\啦

因此异面直线AE与C尸所成角的余弦值为苧。

22

19.已知抛物线G：）2=2p%（p＞0）的焦点是椭圆Q：§+}=

13＞方＞0）的右焦点，且两条曲线的一个交点为现lo,必）,局，若

E到G的准线的距离为a到。2的两焦点的距离之和为4o

（1）求椭圆。2的方程；

（2）过椭圆C2的右顶点的两条直线/”/2分别与抛物线G相

交于点A,C,点、B,D,且/」/2,M是AC的中点，N是的

中点，证明：直线MN恒过定点。

解（1）由椭圆的定义知，2a=4,a=2,过后作Eg垂直G

的准线于点Ei,则|EEi|=%o+g=*

设椭圆的左、右焦点分别为Q,&,连接EQ,石尸2（图略）,

557

则[石尸2尸],l"il=4_g=w，

⑸c⑺24

在RtZliE'E1]77]中，3~=3~~y^得诏=§。

过石作石乙，%轴于点石2,

在Rt△%F2中，同2=/+|“『，得|民/2|=号

又易知|石2BI=〃一所以p=2。

故c=g=l,b2=a2—c2=3,

22

所以椭圆G的方程为1+三=1。

（2）证明：设直线/1：%=切+2&H0）,

直线力：%=左2丁+2（左2/。），

-y7=4%,、

由彳..o得），一4鬲厂8=0,

.%=桃十2,

设A（%i,yD,C（%2,>2）,则>1+》2=4扇，

所以加=2舟，则%加=2+2后，得M（2+2丘2左）。

同理得M2+2后，2k2）。

因为/]_L所以k[k?=-1o

当2+2后=2+22时,ky=~k2,

结合上的=-1,得后=后=1,

此时直线MN的方程为％=4。

当2+23W2+2爱,即鬲+420时，

______2-2-2-]________]

kMN=（2+22合一（2+22：）=向+1'

所以直线MN的方程为y—2k\=.।.(x—2后一2),

七十人1

,=全国一2(1一k]k2)]=六(%—4)，

所以直线MN过点(4,0)。

综上，直线MN恒过定点。

20.已知函数g(%)=j?—(2—a)%?。

(1)若a=l,证明：对任意％]£口，e],存在％2金口，e],使

得1/Ui)=g(%2);

(2)若八恒成立，求实数a的取值范围。

解⑴证明：当”=1,xG[l,e]时，

/(%)=1+lnx>0,

所以函数火%)在[1,e]上单调递增，

所以犬1)0(%)勺3)，即0W“v)We,

所以火幻的值域为[0,e]0

gz(x)=3f_2%=%(3%-2)>0,

所以函数g(%)在[1,e]上单调递增，

所以g(l)Wg(%)Wg(e),即0Wg(%)We3—e2,

32

所以g(x)的值域为[0,e—e]o

因为e3—e2=e(e2—e)>e,

所以[0,e]c[0,e3-e2],

所以对任意％i£[l,e],存在％2£口，e],使得於D=g(%2)。

(2)解法一：由八%)Wg(x)得adnxW%3—Q—a)%2,

因为x>0,所以alrvc^x2—(2—a)x,

整理得a(ln_r—%)W%2—2%。

令G(%)=lo¥—%,%£(0,+0°),

11—]

则G\x)=--1=—

在(0,1)上，G'(%)>0,在(1,+8)上，G'(%)<0,

所以G(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

%2—2%

所以G(%)max=ai)=—1<0,故

Inx-x

x—2x

令〃(%)=启G，%£(°，+8),则"(%)

(I\

(2x—2)(lri¥-%)—~~1(X2—2x)

___________________,_____________

(lnx-x)2

_(x-l)(21nx-x-2)

(lux—x)2°

令人(%)=21iu—%—2,%£(0,+°°),

o2—x

贝l]%'(%)=__1=----,

3%X

在(0,2)上,/(%)>0,在(2,+8)上,M%)v0,

所以女(%)在(0,2)上单调递增，在Q,+8)上单调递减，

所以％(%)max=攵(2)=21n2—4=2(ln2-2)<0,

所以在(0,1)上，"(%)>0,在(1,+8)上，

所以力(%)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

1—2

所以〃(X)max=〃(1)=0_]=1,所以〃21,

即实数〃的取值范围为[1,+8)。

解法二：由_/(%)Wg(%)得(ZxlrLv^x3—(2—a)%?,

彳殳h(x)=以lux—V+(2—a)x,

则〃(%)W0,

根据/z(l)=-1+2—a=l—aWO,得all。

下面证明当“21时，〃(%)&0。

■i己m(x)=lrt¥—x+1,

j]—x

所以根(%)在(0,1)上是增函数，在(1,+8)上是减函数，

所以机(%)max=M(D=0,

所以根(%)W0,即InxW%—1o

于是—1)—%,+(2-d)x-=—x3+2x2—ax=—%[(x-

l)2+a-l]^0,

故实数。的取值范围为[1,+8)。

21.有一种类型的题目，此类题有5个选项A,B,C,D,

E,其中有3个正确选项，满分5分。赋分标准为“选对1个得2

分，选对2个得4分，选对3个得5分，每选错1个扣3分，最

低得分为0分”。在某校的一次考试中出现了一道这种类型的题

目，已知此题的正确答案为ACD。假定考生作答的答案中的选项

个数不超过3个。

(1)若甲同学只能判断选项A,D是正确的，现在他有两种选

择：一种是将AD作为答案，另一种是在B,C,E这3个选项中

任选1个与AD组成一个含有3个选项的答案。则甲同学的最佳

选择是哪一种？请说明理由；

(2)若乙同学无法判断所有选项，他决定在5个选项中任选3

个作为答案。

①设乙同学此题得分为X分，求X的分布列；

②已知有10名和乙同学情况相同的考生，且这10名考生的

答案互不相同，他们此题的平均得分为，分。现从这10名考生中

任选3名考生，计算得到这3名考生此题得分的平均分为b分，

试求a的值及b<a的概率。

解(1)甲同学的最佳选择是选择AD。

理由如下：

设甲同学此题得分为^分。

①若甲同学仅选择AD,则(f=4,4的数学期望E©=4。

②若甲同学选择3个选项，则他可能的答案为ABD,ACD,

ADE,共3种。其中选择ABD,ADE,得分均为1分，其概率为

21

选择ACD,得分为5分，其概率为手

217

所以的数学期望E(^)=lX-+5X-=-o

7

由于4>j故甲同学的最佳选择是选择AD。

(2)①乙同学可能的答案为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,

ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种。其中选择ABE,BCE,

3

BDE,得分均为0分，*既率为正；选择ABC,ABD,ACE,ADE,

Aa

BCD,CDE,得分均为1分，概率为m=子选择ACD,得分为

5分，概率为正。

331

故X可取0,1,5,且尸(X=0)=而，P(X=D=§P(X=5)=正。

所以X的分布列为

X015

331

P