2024年中职高考数学计算训练 专题10 解三角形的相关计算（含答案解析）

2024年中职高考数学计算训练专题10解三角形的相关计算一、多选题1．在中，已知，且，则的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】BD【分析】利用余弦定理计算可得.【详解】由，得，，又，利用余弦定理可得，即，整理得，解得或．故选：BD2．在中，角，，的对边分别为，，，则下列的结论中正确的是（

）A．若，则为直角三角形B．若，则C．若，则△ABC为锐角三角形D．若，，则△ABC的外接圆半径是4【答案】AB【分析】根据题意，化简得到，可判定A正确；由，得到，进而得到，结合正弦定理，可判定B正确；设，利用余弦定理，求得的值，可判定C错误；利用正弦定理，求得外接圆的半径，可判定D错误.【详解】对于A中，因为，由正弦定理得，所以，即因为，可得，所以，所以，所以A正确；对于B中，由，因为在区间为减函数，可得，所以，又由正弦定理，可得，所以B正确；对于C中，因为，由正弦定理得，设，其中，由余弦定理得，因为，所以，所以为钝角三角形，所以C错误；对于D中，由，，可得外接圆的直径为，所以外接圆的半径为，所以D错误.故选：AB.3．在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（

）A．若，则一定是钝角三角形B．若，则C．若，则为等腰三角形D．若为锐角三角形，则【答案】ABD【分析】根据余弦定理、正弦定理、诱导公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A选项，因为，则，故角为钝角，A选项正确；对于B选项，因为，由正弦定理可得，所以，B选项正确；对于C选项，因为，即，整理可得，所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，C选项错误；对于D选项，若为锐角三角形，所以，所以，则，D选项正确.故选：ABD4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积可能为（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用三角形面积公式及余弦定理结合基本不等式可得面积最大值，由此判定选项即可.【详解】由余弦定理可得，当且仅当时取得等号，此时，当A靠近BC时高较小，此时的面积接近0，故ABC符合题意.故选：ABC.二、单选题5．已知中，若，，的面积为，为边的中点，则的长度是（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】因为的面积为，所以有，由余弦定理可知：，因为为边的中点，所以，因为，所以，故选：B6．在△ABC中，，，，则边长（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦定理求解.【详解】由正弦定理知，，即，解得.故选：D7．已知的内角的对边分别为，若，，则（

）A．6 B．5C．4 D．3【答案】A【分析】根据及正弦定理可得，由余弦定理即可求解.【详解】由得：.又因为，故，化简得.故选:A.8．分别为内角的对边．已知，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据余弦定理以及基本不等式求得正确答案.【详解】由余弦定理得．当且仅当时等号成立，所以BCD选项正确，A选项错误.故选：BCD9．在中，角所对的边分别为，若，则角（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据余弦定理求得正确答案.【详解】依题意，，即，所以，所以为锐角，所以.故选：B10．在中，若，，，则（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】由余弦定理直接求解.【详解】中，若，，，由余弦定理，，则.故选：C11．在中，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据二倍角公式求出，再结合余弦定理求即可.【详解】由题意得，，由余弦定理得，，所以.故选：D12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正弦定理结合三角形边角性质求解即可.【详解】在中，因为，所以，故，又，故．故选：B13．中，分别为角的对边，，，且（为锐角），则以下正确的有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理直接求解即可.【详解】由正弦定理得：，为锐角，.故选：C.14．在中，，，，则最长边（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根据题意利用余弦定理直接求解即可【详解】在中，，，，由余弦定理得，，化简得，解得或，因为是最长的边，所以，故选：B15．在中，，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理列方程，化简求得的值.【详解】由余弦定理得，即，解得（负根舍去）.故选：B16．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，再由正弦定理进行求解.【详解】因为，所以，由正弦定理得，即，所以.故选：B17．的内角的对边分别为，且，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形或直角三角形【答案】B【分析】由二倍角公式化简，结合余弦定理和勾股定理即可判定得解．【详解】∵，∴，即，又由余弦定理可得，∴，可得：∴是以∠C为直角的直角三角形．故选：B．18．若，且，那么是（

）A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，再利用结合余弦定理可得出，即可得出结论.【详解】因为，则，可得，由余弦定理可得，因为，所以，，因为，则，整理可得.所以，为等边三角形.故选：A.三、解答题19．在中，角A，B，C的对边分别为，，，且，求和．【答案】，，；【分析】根据正弦定理化简，可求得角,再根据正弦定理，求出角,继而求出角,再根据，求出的值.【详解】解∵，∴由正弦定理得，∵A为的内角，，∴，则，∵，∴．∵，，∴由正弦定理得，∵，∴,∴．∴由正弦定理得20．已知的内角的对边分别为，，，若，(1)求；(2)请指出不满足下面的哪一个条件并说明理由，根据另外两个条件，求的面积．①；②；③的周长为9．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解；（2）若选①，可求出，推出矛盾，则只能选择②③，利用余弦定理及完全平方公式求出、，即可求出、，再根据面积公式计算可得．【详解】（1）因为，由正弦定理可得，所以，又，即，又，故，所以，即，又，所以；（2）因为，故，若选①，则，故不合要求，所以不存在，则不存在，故不能选①；所以只有一种情况，选择②③，即，的周长为9，所以，由余弦定理，即，即，故，解得，故，所以，故，又，所以，此时三角形存在且唯一确定，所以．21．如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，点D在边BC上，且.

(1)求；(2)求线段AD的长.【答案】(1)(2)4【分析】（1）利用余弦定理与三角函数的平方关系即可得解；（2）利用正弦定理即可得解.【详解】（1）根据题意得：，又，所以.（2）因为，所以，在中，由正弦定理可得，.22．在中，内角，，的对边分别为，，，若，.(1)求；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出，再由利用两角和（差）的正弦公式展开计算可得；（2）首先求出，再求出，即可求出，再由正弦定理求出、，最后由面积公式计算可得.【详解】（1）因为，，所以.因为，所以，则，即，所以.（2）由，且、，解得或（舍去），又，同理可得，由，，即，解得，，所以.23．已知的内角的对边分别为，.(1)求；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由正弦定理及余弦定理得出结果；（2）由正弦定理得出，根据诱导公式得出关系，再分情况求三角形的面积.【详解】（1）由正弦定理得，所以，由余弦定理得，又，所以.（2）由正弦定理得，而，或，或.若，则为正三角形，；若，则为直角三角形，，，，综上所述，的面积为或.24．已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，且．(1)求角C的大小；(2)若，且，求边c的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理求解即可;（2）根据三角形面积公式解得，可得为正三角形，即可得.【详解】（1）由题意，，即，由余弦定理可得，又，则.（2）由题意，故，解得.又，，故为正三角形，故.25．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求B；(2)若，，求三角形的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，进而求得.（2）根据三角形的面积公式求得正确答案.【详解】（1）依题意，，由正弦定理得，由余弦定理得，所以为锐角，所以.（2）.26．在中，，．(1)若，求的长；(2)若，为延长线上一点，为边上一点，且，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形内角和定理，结合两角差的正弦公式、正弦定理进行求解即可；（2）利用余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1）在中，，因为，所以，则．因为，所以，由正弦定理得，则；（2）由（1）知，则，在中，由余弦定理得，代入数据，得，解得（舍去），所以的面积为：.27．已知在中，角的对边分别为，.(1)若，求.(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合正弦定理和三角形的性质，得到，进而求得的值；（2）由余弦定理得到，结合基本不等式，求得，进而求得面积的最大值.【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，所以，可得，所以.（2）解：由余弦定理得，即因为，当且仅当时，等号成立，所以，即所以，即面积的最大值为.28．分别为内角的对边，已知．(1)求；(2)若，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简后可求得结果，（2）利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】（1）因为，所以，即，又，所以．（2）由余弦定理得，即，解得或（舍去）．因为，，所以，所以的面积．29．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，，点D在边上，，求的长．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦求解作答.（2）结合（1）的结论，利用三角形面积公式求解作答.【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，整理得，即，而，于是，所以.（2）在中，由（1）知，，依题意，，因此，即，解得，所以.30．的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求角；(2)若，的面积为，求.【答案】(1)(2)3【分析】（1）由正弦定理边化角求解即可得出答案；（2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可.【详解】（1）因为，所以，因为，，所以，所以.又，所以.（2）因为，所以，所以，解得.四、填空题31．正四面体中，O为的重心，则．【答案】【详解】解法一：如图，不妨设正四面体的棱长为2，则，，∴．解法二：如图，由三余弦公式，，显然，，∴．32．在中，，，，则.【答案】/【分析】利用余弦定理的定义，可得答案.【详解】.故答案为：.33．在中，，，，则.【答案】/【分析】利用余弦定理计算可得.【详解】.故答案为：34．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，则外接圆半径为.【答案】【分析】利用正弦定理求得正确答案.【详解】设外接圆半径为，由正弦定理得.故答案为：35．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则角A的大小为．【答案】/【分析】余弦定理结合已知条件直接求解即可．【详解】解：因为，所以，因此，又因为，所以.故答案为:36．在中，角所对的边分别为，若，