2024-2025学年高中数学选修3-3人教新课标A版教学设计合集

2024-2025学年高中数学选修3-3人教新课标A版教学设计合集目录一、第一讲从欧氏几何看球面 1.1一平面与球面的位置关系 1.2二直线与球面的位置关系和球幂定理 1.3三球面的对称性 1.4本章复习与测试二、第二讲球面上的距离和角 2.1一球面上的距离 2.2二球面上的角 2.3本章复习与测试三、第三讲球面上的基本图形 3.1一极与赤道 3.2二球面二角形 3.3三球面三角形 3.4本章复习与测试四、第四讲球面三角形 4.1一球面三角形三边之间的关系 4.2二球面“等腰”三角形 4.3三球面三角形的周长 4.4四球面三角形的内角和 4.5本章复习与测试五、第五讲球面三角形的全等 5.11．“边边边”(s.s.s)判定定理 5.22．“边角边”(s.a.s.)判定定理 5.33．“角边角”(a.s.a.)判定定理 5.44．“角角角”(a.a.a.)判定定理 5.5本章复习与测试六、第六讲球面多边形与欧拉公式 6.1一球面多边形及其内角和公式 6.2二简单多面体的欧拉公式 6.3三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式 6.4本章复习与测试七、第七讲球面三角形的边角关系 7.1一球面上的正弦定理和余弦定理 7.2二用向量方法证明球面上的余弦定理 7.3三从球面上的正弦定理看球面与平面 7.4四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离 7.5本章复习与测试八、第八讲欧氏几何与非欧几何 8.1一平面几何与球面几何的比较 8.2二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型 8.3三欧氏几何与非欧几何的意义 8.4本章复习与测试第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计意图本节课旨在引导学生从欧氏几何的角度理解和探究球面几何的基本性质，重点分析平面与球面的位置关系。通过具体实例和图形操作，使学生掌握球面与平面的交点、切点和球面距离等基本概念，为后续球面几何的学习打下坚实基础。同时，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力，提高解决实际问题的能力。核心素养目标1.空间观念：通过观察和分析球面与平面的位置关系，发展学生的空间想象力，能够准确描述和理解空间图形的性质和关系。

2.逻辑推理：培养学生运用数学符号和语言进行逻辑推理的能力，能够从已知条件推出球面与平面位置关系的结论。

3.数学建模：鼓励学生将实际问题抽象为数学模型，运用球面几何的知识解决实际问题，提升学生的数学应用意识。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生已经学习了平面几何和立体几何的基础知识，包括点、线、面的基本性质和位置关系，以及空间几何图形的画法和基本定理。此外，学生对球的几何性质和欧氏几何的基本概念有了一定的理解。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

学生对探索空间图形有较高的兴趣，但可能对抽象的空间几何概念理解较慢。他们在逻辑推理和数学表达方面具有一定的能力，但个别学生在空间想象方面可能存在不足。学生的学习风格多样，有的喜欢通过直观图形学习，有的则更倾向于通过公式和定理来理解。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在理解球面与平面位置关系时，可能会遇到空间想象困难，难以在脑中构建三维模型。此外，对于球面几何中的距离和角度计算，学生可能会感到复杂，需要大量的练习和引导来克服。同时，将理论应用于实际问题中，可能会因为缺乏实际操作经验而遇到挑战。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《高中数学选修3-3人教新课标A版》教材，以便于学生跟随课程进度学习。

2.辅助材料：收集球面与平面位置关系的图片、图表，以及相关教学视频，通过多媒体展示，帮助学生直观理解。

3.实验器材：无需特殊实验器材，但可准备一些球体模型和平面模型，以供学生在课堂上进行观察和操作。

4.教室布置：根据教学需要，将教室划分为小组讨论区，以便学生进行合作学习和交流。确保教室环境整洁、安静。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对平面与球面位置关系的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“同学们，你们在生活中见过哪些与球体相关的现象？比如足球在平面上的滚动。”

展示一些关于球体和平面交点的图片，让学生初步感受球面几何的魅力。

简短介绍平面与球面位置关系的基本概念和它在几何学中的重要性，为接下来的学习打下基础。

2.平面与球面位置关系基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解平面与球面位置关系的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解平面与球面位置关系的定义，包括球面与平面的交点、切点等基本元素。

详细介绍球面与平面的位置关系的分类，如相离、相切和相交，使用示意图帮助学生理解。

3.平面与球面位置关系案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解平面与球面位置关系的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的平面与球面位置关系案例进行分析，如地球表面的经纬线、球体的切面等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解平面与球面位置关系的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用平面与球面位置关系解决实际问题。

小组讨论：让学生分组讨论平面与球面位置关系在实际应用中的新发展或改进方向，并提出创新性的想法或建议。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与平面与球面位置关系相关的实际问题进行深入讨论。

小组内讨论该问题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对平面与球面位置关系的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括问题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调平面与球面位置关系的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括平面与球面位置关系的基本概念、案例分析等。

强调平面与球面位置关系在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用球面几何知识。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于平面与球面位置关系在实际生活中应用的短文或报告，以巩固学习效果。学生学习效果学生学习效果显著，主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握方面：学生能够准确描述平面与球面位置关系的基本概念，如球面与平面的交点、切点等，并且能够通过实例来理解这些概念。他们掌握了球面与平面位置关系的分类，如相离、相切和相交，并能运用相关定理和性质进行判断和证明。

2.空间想象能力方面：通过本节课的学习，学生的空间想象力得到了提升。他们能够更好地在脑中构建三维模型，理解球面与平面在空间中的相对位置，这对于后续学习空间几何具有重要意义。

3.逻辑推理能力方面：学生在案例分析中学会了如何运用数学定理和逻辑推理来解决问题。他们能够从已知条件出发，通过逻辑推理得出球面与平面位置关系的结论，这对于培养学生的数学思维能力非常有益。

4.解决实际问题能力方面：学生能够将所学的球面与平面位置关系知识应用于实际问题中，如计算地球表面两点间的最短距离、分析天体运动中的几何关系等。这有助于学生理解数学知识在实际生活中的应用价值。

5.合作与交流能力方面：在小组讨论环节，学生学会了如何与他人合作，共同探讨问题。他们能够有效地表达自己的观点，倾听他人的意见，并在讨论中达成共识。这种合作交流的能力对于学生的未来学习和职业生涯都非常重要。

6.创新思维方面：学生在讨论平面与球面位置关系在实际应用中的新发展或改进方向时，提出了许多创新性的想法和建议。这表明学生不仅能够掌握知识，还能够在此基础上进行思考和创造，展现了良好的创新思维。板书设计1.球面与平面位置关系的定义和分类

①球面与平面的交点、切点

②平面与球面位置关系的分类：相离、相切、相交

③球面与平面位置关系的判定定理

2.球面几何的基本概念

①球面距离、球面角度的定义

②球面几何中的弧长、面积计算公式

③球面三角形的性质和定理

3.实际应用案例分析

①地球表面经纬线的球面几何解释

②球体切面在实际问题中的应用

③球面几何在建筑、天文等领域的应用实例课堂1.课堂评价：

课堂是教学过程中的重要环节，通过以下方式对学生的学习情况进行评价：

①提问：在讲解过程中，教师会提出与平面与球面位置关系相关的问题，要求学生即时回答，以检验他们对知识点的理解和掌握程度。

②观察：教师会观察学生在课堂上的参与程度，包括他们在小组讨论中的表现，以及他们在解决问题时是否能够正确运用所学知识。

③测试：在课程结束时，教师会安排一次小测验，以评估学生对本节课重点知识的掌握情况。测试内容将涵盖球面与平面位置关系的判定、球面几何的基本概念等。

通过课堂评价，教师可以及时发现学生在学习过程中遇到的问题，如对空间概念的理解困难、逻辑推理能力的不足等。针对这些问题，教师可以及时调整教学策略，如提供更多的实例、开展针对性的练习等，以帮助学生克服困难，提高学习效果。

2.作业评价：

作业是课堂学习的延伸，对学生的作业评价包括以下几个方面：

①批改：教师会认真批改学生的作业，关注他们解题过程中的思维过程和答案的正确性。对于错误的答案，教师会标记出来，并附上简要的批注，指出错误的原因和改正的方法。

②点评：在作业批改完成后，教师会选取一些具有代表性的作业进行课堂点评，强调正确的解题思路和方法，同时指出常见错误，提醒学生注意。

③反馈：教师会及时将作业评价结果反馈给学生，鼓励他们根据反馈调整学习方法，继续努力。对于表现优秀的学生，教师会给予表扬，以激励他们的学习积极性。

通过作业评价，教师可以了解学生对课堂所学内容的巩固情况，以及他们在独立解决问题时的能力。这有助于教师调整教学计划，确保学生能够牢固掌握平面与球面位置关系的知识，并能够将其应用于实际问题中。

总体而言，教学评价是教学过程中的重要组成部分，它不仅能够帮助学生了解自己的学习状况，还能够为教师提供调整教学策略的依据，从而提高教学质量和学生的学习效果。典型例题讲解例题1：已知球心O的坐标为(0,0,0)，半径为R，平面方程为Ax+By+Cz+D=0。求球心到平面的距离。

解答：球心到平面的距离公式为\(d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)。将球心坐标代入公式，得到\(d=\frac{|D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)。

例题2：球面方程为\(x^2+y^2+z^2=R^2\)，平面方程为Ax+By+Cz+D=0。求球面与平面的交点。

解答：将平面方程代入球面方程中，得到一个关于x、y的二次方程。解这个方程，可以得到交点的坐标。

例题3：已知球面上一点P的坐标为(x,y,z)，求过点P的切平面方程。

解答：设切平面法向量为(n_x,n_y,n_z)，则切平面方程为\(n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)+n_z(z-z_0)=0\)。由于切平面与球面的切点处法向量相同，可以通过球面方程的梯度求得法向量，进而得到切平面方程。

例题4：球面方程为\(x^2+y^2+z^2=R^2\)，平面方程为x+y+z=1。求球面与平面的交线方程。

解答：将平面方程代入球面方程中，得到一个关于x、y的二次方程。解这个方程，可以得到交线的参数方程。

例题5：球心O的坐标为(0,0,0)，半径为R，点A在球面上，坐标为(a,b,c)。求过点A的切线方程。

解答：过点A的切线方程可以通过球面方程的梯度求得切点处的法向量，然后利用点向式方程求得切线方程。切线方程为\((x-a)\frac{x}{R}+(y-b)\frac{y}{R}+(z-c)\frac{z}{R}=0\)。反思改进措施（一）教学特色创新

1.引入实际案例：在教学过程中，我会引入一些实际案例，如地球表面的经纬线、球体的切面等，让学生更好地理解平面与球面位置关系的实际应用。

2.多媒体辅助教学：我会利用多媒体技术，展示球面与平面位置关系的图片、图表和视频，以增强学生的直观感受和理解能力。

（二）存在主要问题

1.学生的空间想象力不足：部分学生在理解球面与平面位置关系时，可能会遇到空间想象困难，难以在脑中构建三维模型。

2.逻辑推理能力的培养不足：学生在案例分析中可能会遇到逻辑推理困难，难以从已知条件推出球面与平面位置关系的结论。

3.实际问题解决能力的培养不足：学生在将平面与球面位置关系知识应用于实际问题时，可能会遇到挑战，需要更多的实践和指导。

（三）改进措施

1.加强空间想象能力的培养：我会通过更多的实例和图形操作，帮助学生构建空间几何模型，提高他们的空间想象力。

2.注重逻辑推理能力的培养：我会设计一些逻辑推理练习题，引导学生运用数学定理和逻辑推理来解决问题，提高他们的逻辑思维能力。

3.提供更多实际问题的案例和指导：我会增加一些实际问题案例的讲解和讨论，并给予学生更多的实践机会，以提高他们解决实际问题的能力。

4.引入更多的互动和讨论环节：我会设计一些互动和讨论环节，鼓励学生积极参与，提出问题和观点，以促进他们的思维和表达能力的发展。

5.加强个性化指导和反馈：我会根据学生的学习情况，提供个性化的指导和反馈，帮助他们克服困难，提高学习效果。第一讲从欧氏几何看球面二直线与球面的位置关系和球幂定理主备人备课成员设计思路本讲以人教新课标A版高中数学选修3-3为依据，围绕“从欧氏几何看球面二：直线与球面的位置关系和球幂定理”这一主题展开。课程设计旨在让学生理解直线与球面之间的位置关系，掌握球幂定理的应用，培养空间想象能力和逻辑思维能力。通过实际问题引入，引导学生探究直线与球面相交、相切、相离等情形，以及球幂定理在几何问题中的应用，从而提高学生对球面几何的理解和运用能力。课程内容与实际教学紧密结合，注重知识的应用和巩固。核心素养目标1.培养学生空间观念，能够运用数学语言描述直线与球面之间的位置关系。

2.增强学生的逻辑推理能力，通过探究球幂定理，提升分析问题和解决问题的能力。

3.培养学生数学抽象思维，学会从具体问题中提炼出一般性结论，提高数学建模能力。学习者分析1.学生已经掌握了直线与圆的位置关系、圆的方程及其性质，以及基本的几何证明方法等相关知识。在空间几何方面，学生已经了解了一些基础的立体图形及其性质。

2.学生对几何问题具有好奇心，喜欢探索空间关系，具备一定的逻辑推理能力。在解决问题时，学生倾向于通过直观图像和实际操作来理解概念，偏好具体实例和图形演示。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

-对直线与球面位置关系的抽象理解，可能难以形成清晰的空间想象。

-球幂定理的推导和应用可能较为复杂，学生可能难以把握证明过程和定理的使用条件。

-在解决实际问题时，学生可能不习惯将问题转化为数学模型，缺乏将抽象理论应用于具体情境的能力。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与策略1.结合讲授法与讨论法，讲解直线与球面的位置关系和球幂定理，同时引导学生通过小组讨论深入理解概念。

2.设计案例研究，让学生通过分析具体例题来探究球幂定理的应用，以及如何将直线与球面的位置关系转化为数学问题。

3.使用多媒体教学，如动态三维模型，帮助学生直观理解球面几何，增强空间想象能力。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对直线与球面位置关系和球幂定理的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“同学们，你们在生活中有没有观察到球体？比如篮球、地球仪等，它们与直线有什么关系呢？”

展示一些关于球体和直线的图片，如地球仪上的经纬线、篮球场上的投篮线等，让学生初步感受直线与球面之间的位置关系。

简短介绍直线与球面位置关系和球幂定理的基本概念及其在几何学中的重要性，为接下来的学习打下基础。

2.直线与球面位置关系和球幂定理基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解直线与球面位置关系和球幂定理的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解直线与球面位置关系的定义，包括相离、相切和相交三种情况。

详细介绍球幂定理的定义，使用示意图帮助学生理解定理的推导过程。

3.直线与球面位置关系和球幂定理案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解直线与球面位置关系和球幂定理的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的直线与球面位置关系和球幂定理案例进行分析，如地球仪上的经纬线、投篮线等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解直线与球面位置关系和球幂定理的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用直线与球面位置关系和球幂定理解决实际问题。

小组讨论：让学生分组讨论直线与球面位置关系和球幂定理在实际应用中的创新性想法或建议。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与直线与球面位置关系和球幂定理相关的实际问题进行深入讨论。

小组内讨论该问题的现状、挑战以及可能的解决方案，如何应用球幂定理解决实际问题。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对直线与球面位置关系和球幂定理的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括问题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调直线与球面位置关系和球幂定理的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括直线与球面位置关系和球幂定理的基本概念、案例分析等。

强调直线与球面位置关系和球幂定理在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用这些知识。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于直线与球面位置关系和球幂定理的短文或报告，以巩固学习效果。学生学习效果学生学习效果体现在以下几个方面：

1.知识掌握：学生能够准确描述直线与球面的位置关系，理解并掌握球幂定理的定义和推导过程。通过案例分析和实际问题的应用，学生能够将理论知识与实际问题相结合，提高了解决问题的能力。

2.空间想象能力：通过本讲的学习，学生的空间想象能力得到增强。他们能够更好地在脑海中构建直线与球面的三维模型，从而更直观地理解球面几何的概念。

3.逻辑推理能力：学生通过学习直线与球面位置关系和球幂定理，锻炼了逻辑推理能力。他们能够跟随定理的推导过程，理解每一步的逻辑关系，并在解决问题时运用这些逻辑推理。

4.问题解决能力：学生在小组讨论中学会了如何将抽象的数学问题转化为具体的几何模型，通过合作探究找到了解决问题的多种途径，提高了问题解决能力。

5.数学表达能力：在课堂展示环节，学生有机会向全班展示自己的思考和讨论成果，这不仅锻炼了他们的表达能力，也增强了他们对数学语言的运用能力。

6.创新思维：在案例分析和小组讨论中，学生被鼓励提出创新性的想法和解决方案。这种开放式教学激发了学生的创新思维，使他们能够在面对新问题时提出独特的见解。

7.学习兴趣：通过本讲的学习，学生对几何学的兴趣得到提升。他们能够认识到数学在生活中的广泛应用，从而增强了学习数学的积极性和主动性。

8.自主学习能力：学生在课后作业中需要独立撰写关于直线与球面位置关系和球幂定理的短文或报告，这一过程培养了学生的自主学习能力，使他们能够在没有教师指导的情况下进行有效的学习。教学反思与改进今天的课堂上，我看到了同学们对直线与球面位置关系和球幂定理的兴趣和热情，但也发现了一些可以改进的地方。首先，我在导入环节时，感觉同学们对直线与球面关系的直观感知还不够强烈，可能是因为我展示的图片和生活实例还不够贴近他们的实际经验。

在设计反思活动时，我会考虑以下几点：

1.课后收集同学们对导入环节的反馈，了解他们是否能够快速进入学习状态，以及他们对哪些实例更感兴趣。

2.观察同学们在案例分析环节的表现，看看他们是否能够积极参与讨论，以及讨论的内容是否深入。

基于这些反思，我将采取以下改进措施：

-在未来的课程中，我会选择更加贴近学生生活的实例，比如运动场上的足球射门轨迹，或者天文学中的地球和月球的相对位置，来引入直线与球面的位置关系。

-我会提前准备一些简单的模型或教具，比如球体和直线模型，让学生在课堂上实际操作，增强他们的空间感知能力。

另外，我也注意到在讲解球幂定理时，有些同学对定理的推导过程感到困惑。这可能是因为我在讲解时的语言不够简洁明了，或者是我没有提供足够的背景知识来帮助他们理解。

为了改进这一点，我会：

-在下一次讲解定理之前，先复习相关的几何知识，确保同学们对基础概念有扎实的理解。

-使用更直观的图形和动画来展示定理的推导过程，让同学们能够更清晰地看到每一步的逻辑。

-在课堂上留出更多时间让同学们提问，确保他们对定理的理解没有障碍。

最后，我觉得课堂展示环节同学们的表现总体不错，但有些小组的讨论成果并没有得到充分的展示。这可能是因为时间安排不够合理，或者是同学们的表达能力还有待提高。

为此，我计划：

-在未来的课堂上，我会调整时间分配，确保每个小组都有足够的时间来展示他们的讨论成果。

-我会加强同学们的表达能力训练，比如通过角色扮演或者模拟教学的方式，让他们练习如何清晰、准确地表达自己的观点。板书设计1.直线与球面位置关系的知识点板书设计：

①直线与球面位置关系的定义：相离、相切、相交

②相切时直线与球心的距离等于球的半径

③相交时直线与球心距离小于球的半径，有两个交点

2.球幂定理的知识点板书设计：

①球幂定理的定义：球面上任意两点到球心的距离乘积等于这两点间弦的平方

②球幂定理的应用条件：球面上的两点和球心连线与弦所在的直线共面

③球幂定理的证明过程：通过构造辅助图形，利用相似三角形等几何性质进行证明

3.课堂讨论与案例分析的板书设计：

①案例分析标题：直线与球面位置关系在实际问题中的应用

②讨论主题：如何利用球幂定理解决实际问题

③讨论要点：问题转化、模型构建、定理应用、结果验证教学评价与反馈1.课堂表现：学生在课堂上的参与度较高，对于直线与球面位置关系和球幂定理的基本概念掌握情况良好。在导入环节，大部分学生能够积极思考并参与到问题的讨论中，但仍有少数学生显得较为被动，需要更多的引导和鼓励。

2.小组讨论成果展示：小组讨论环节中，学生能够围绕主题进行深入的探讨，提出了不少有创意的想法。在成果展示时，大部分小组能够清晰地表达自己的观点和解决方案，但部分小组在表达时逻辑不够清晰，需要更多的练习来提高表达能力。

3.随堂测试：随堂测试结果显示，学生对直线与球面位置关系的基本概念掌握较好，但在球幂定理的应用题上，部分学生未能准确运用定理，说明对定理的理解还有待深化。

4.课后作业：学生提交的课后作业质量参差不齐。部分学生能够结合课堂所学，撰写出内容丰富、逻辑清晰的文章，但也有学生作业内容较为简单，缺乏深入分析和创新思考。

5.教师评价与反馈：针对学生的表现，我将在以下几个方面给予反馈和指导：

-对于参与度不高的学生，我将在课后进行个别辅导，了解他们的困难和需求，提供个性化的帮助。

-在小组讨论环节，我将鼓励学生更多地进行逻辑思考和表达练习，同时也会提供一些指导性问题来引导学生深入探讨。

-对于随堂测试中存在的问题，我将在下一次课上专门讲解相关题目，确保学生对球幂定理的理解更加深刻。

-对于课后作业，我将在批改后给予详细的评语，指出作业的优点和需要改进的地方，并鼓励学生在下一次作业中做得更好。

-我还会根据学生的反馈和作业情况，调整教学策略，确保教学内容更贴近学生的实际需求，提高教学效果。第一讲从欧氏几何看球面三球面的对称性主备人备课成员设计思路本讲课程旨在通过引导学生从欧氏几何的角度理解球面几何，深入探讨球面的对称性。设计思路以人教新课标A版高中数学选修3-3教材为依据，首先回顾欧氏几何中的对称性概念，然后通过实际操作和观察，让学生体验球面几何的对称性特点。课程分为导入、探究、应用和总结四个环节，结合实际例子和练习题，帮助学生掌握球面的对称性知识，提高空间想象能力和逻辑思维能力。核心素养目标分析本讲的核心素养目标在于培养学生的空间观念、逻辑思维和创新意识。通过探究球面的对称性，学生将提高对空间几何图形的感知和理解能力，能够在不同几何体系间建立联系，发展几何直观和空间想象能力。同时，通过对球面对称性的逻辑推理和证明，训练学生的逻辑思维，提升数学推理和论证能力。此外，鼓励学生发现和创造新的对称性实例，激发创新意识，为后续数学学习和实际应用奠定基础。教学难点与重点1.教学重点

-球面几何的基本概念：理解球面几何与欧氏几何的异同，掌握球面上点的表示方法、球面距离和角度的定义等核心概念。例如，讲解球面上的点如何通过球心角来表示，以及如何计算球面上的距离和角度。

-球面的对称性：强调球面具有的多种对称性，如旋转对称、轴对称和中心对称等。通过具体实例，如地球仪上的经纬线分布，让学生直观感受球面的对称性特点。

2.教学难点

-球面几何与欧氏几何的转换：学生可能难以理解球面几何中的一些概念如何与欧氏几何相对应，例如球面上的“直线”实际上是“大圆弧”。可以通过实际操作，如使用球面模型进行演示，帮助学生理解这种转换。

-球面几何的证明方法：学生在运用球面几何知识进行证明时可能会遇到困难，尤其是涉及球面角度和距离的计算。可以通过讲解和练习球面三角形的基本定理，如球面正弦定理和余弦定理，来帮助学生掌握证明方法。

-球面对称性的逻辑推理：学生可能难以理解球面对称性的逻辑推理过程，如如何证明一个球面图形是旋转对称的。可以通过引导学生在球面模型上实际操作，观察对称性，并逐步推导出证明过程，以突破这一难点。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时步骤师生互动设计二次备课教学方法与手段1.教学方法

-讲授法：通过系统讲解球面几何的基本概念和对称性原理，帮助学生建立理论基础。

-实验法：利用球面模型进行实际操作，让学生直观体验球面的对称性，增强空间想象力。

-讨论法：组织学生小组讨论，分析球面几何问题，促进思维碰撞和深度理解。

2.教学手段

-多媒体教学：使用PPT展示球面几何的图形和动画，帮助学生更好地理解抽象概念。

-教学软件：利用几何软件进行动态演示，如旋转球体以观察不同角度的对称性。

-网络资源：提供在线教育资源，如视频讲座和互动练习，方便学生自主学习和复习。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：以地球上的经纬线为例，提问学生这些线条在几何学中的特性，引发学生对球面几何的兴趣。

-回顾旧知：简要回顾欧氏几何中的对称性概念，以及学生已掌握的几何图形知识，为引入球面几何做铺垫。

2.新课呈现（约30分钟）

-讲解新知：详细讲解球面几何的基本概念，包括球面上的点、线、角度和距离的定义。

-举例说明：通过展示地球仪上的经纬线，说明球面上的“直线”实际上是大圆弧，并解释球面角度的计算方法。

-互动探究：将学生分成小组，使用球面模型，让他们尝试在球面上作图，并探讨球面几何中的对称性。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：让学生独立完成一些球面几何的练习题，如计算球面上两点间的距离，证明球面图形的对称性。

-教师指导：在学生练习过程中，教师巡视课堂，对学生的疑问进行解答，提供必要的指导和帮助。

4.应用拓展（约15分钟）

-应用练习：给出一些实际应用问题，如航海、航空中的球面导航问题，让学生将所学知识应用于实际问题中。

-拓展讨论：组织学生讨论球面几何在现实生活和科学技术中的应用，激发学生的创新思维。

5.总结反馈（约10分钟）

-总结回顾：教师总结本节课的主要内容，强调球面几何的核心概念和对称性特征。

-反馈评价：教师收集学生对本节课的理解程度，鼓励学生提出疑问，对学生的表现给予积极反馈。拓展与延伸1.提供拓展阅读材料：

-《球面几何及其应用》

-《对称性：数学与自然界的基本原理》

-《球面三角学基础》

-《球面几何在地理信息系统中的应用》

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-探究球面几何在宇宙学中的应用，例如，如何使用球面坐标系统来描述天体的位置。

-研究球面几何在导航和地图绘制中的实际应用，例如，球面三角学在航海计算中的作用。

-分析球面几何在建筑和工程设计中的运用，例如，如何在设计大型穹顶结构时考虑球面几何的原理。

-探索球面几何在物理学中的角色，例如，球面波的性质和在电磁学中的应用。

-通过网络资源，学习球面几何在计算机图形学中的算法和应用，例如，球面插值和球面纹理映射。

-选取一些球面几何的难题，如球面四边形内角和的探究，鼓励学生尝试解决并提出自己的猜想。

-阅读有关球面几何的经典论文和现代研究成果，了解球面几何的最新发展动态和研究方向。

-完成一些球面几何的数学建模项目，如模拟地球自转和公转的球面运动，加深对球面几何的理解。

-参与线上线下的数学竞赛或挑战活动，将所学知识应用于解决实际问题，提升数学应用能力。教学反思与总结在讲授“从欧氏几何看球面三——球面的对称性”这一节课后，我对整个教学过程进行了深入反思。在教学方法上，我尝试了讲授法、实验法和讨论法等多种方式，力求让学生在直观体验和逻辑推理中深入理解球面几何的对称性。通过学生的反馈，我发现实验法和讨论法尤其受欢迎，它们能够有效提升学生的参与度和学习兴趣。

在教学策略上，我注重了由浅入深的讲解方式，先从学生熟悉的欧氏几何入手，再逐步过渡到球面几何，这样的过渡使学生能够更好地理解球面几何的特点。但是，我也发现有些学生在从欧氏几何到球面几何的转换上仍然存在困难，这说明我在这一部分的引导可能还不够充分。

在课堂管理方面，我尽量营造一个轻松和谐的学习氛围，鼓励学生提问和分享。不过，我也注意到在小组讨论环节，部分学生参与度不高，可能是因为他们对球面几何的先验知识不足，或者是对讨论主题不够感兴趣。

教学总结方面，通过本节课的学习，学生基本上掌握了球面几何的基本概念和对称性原理。他们在巩固练习和应用拓展环节的表现也让我看到了他们的进步。学生们不仅能够独立完成练习题，还能将所学知识应用于实际问题中，这让我感到非常欣慰。

然而，我也意识到了一些不足之处。例如，在讲解球面几何的证明方法时，我可能没有足够强调逻辑推理的重要性，导致学生在这一部分的学习上存在一定的困难。此外，课堂上的时间分配也有待改进，有些环节可能过于紧凑，没有给学生足够的时间消化和吸收。

针对这些问题，我认为在今后的教学中，我需要采取以下措施：

-加强对球面几何与欧氏几何差异性的讲解，通过更多实例帮助学生理解转换过程。

-在小组讨论环节，提前准备一些引导性问题，确保每个学生都能参与到讨论中来。

-调整课堂时间分配，确保每个环节都有充足的时间，让学生能够充分理解和练习。

-强调逻辑推理的重要性，并在教学中更多地融入逻辑思维训练。内容逻辑关系1.球面几何的基本概念

①球面上的点、线、角度和距离的定义

②球面几何与欧氏几何的异同

③球面几何中的“直线”即大圆弧的概念

2.球面的对称性

①球面的旋转对称、轴对称和中心对称

②对称性在球面几何中的具体表现形式

③球面几何中的对称性原理及其应用

3.球面几何的证明方法

①球面三角形的正弦定理和余弦定理

②球面几何中的证明技巧和策略

③球面几何证明过程中的逻辑推理

4.球面几何的实际应用

①球面几何在航海、航空导航中的应用

②球面几何在地理信息系统和地图绘制中的应用

③球面几何在建筑和工程设计中的应用第一讲从欧氏几何看球面本章复习与测试课题：科目：班级：课时：计划3课时教师：单位：一、设计思路本讲以人教新课标A版高中数学选修3-3第一章“从欧氏几何看球面”为教学内容，旨在帮助学生巩固球面几何的基本概念、性质和定理，以及与欧氏几何的关联性。课程设计分为复习导入、知识点讲解、例题分析、课堂练习和测试五大环节，确保教学内容与课本紧密关联，符合实际教学需求。通过复习旧知识，引导学生理解球面几何的特点；通过讲解知识点，让学生掌握球面几何的基本概念和性质；通过例题分析和课堂练习，培养学生的解题能力；最后通过测试，检验学生对本章内容的掌握程度。二、核心素养目标1.培养学生的空间想象能力，使其能够理解并描述球面几何中的图形与性质。

2.提升学生的逻辑推理能力，通过分析球面几何问题，发展数学证明和论证技巧。

3.加强学生的数学抽象思维，能够将实际问题转化为球面几何模型，并运用相关定理解决。

4.增强学生的数学应用意识，理解球面几何在现实生活和科学技术中的应用价值。三、教学难点与重点1.教学重点

-球面几何的基本概念和性质：如球面上的点、线、圆以及球面角、球面距离等，是本节课的核心内容。教师应通过实际示例，如绘制球面上的大圆和小圆，解释球面距离的概念，帮助学生理解球面几何的基本特征。

-球面几何的定理和推论：如球面三角形的性质、球面三角形的面积公式等，是教学的重点。例如，通过讲解和分析球面三角形的内角和定理，强调其在解决实际问题中的应用。

2.教学难点

-球面几何图形的直观感知：学生往往难以直观理解球面几何中的图形和性质。教师可以通过制作实物模型或使用多媒体工具，如3D动画，来展示球面上的点、线、圆，帮助学生建立直观印象。

-球面几何定理的证明过程：球面几何定理的证明通常涉及复杂的逻辑推理和空间想象，是学生理解的难点。例如，在证明球面三角形的内角和定理时，教师需要引导学生理解球面角度的度量方法，以及如何运用球面几何的基本性质进行证明。

-球面几何在实际问题中的应用：学生可能难以将球面几何知识应用到实际问题中。教师可以通过设计相关的应用题，如计算地球表面两点间的最短距离，帮助学生理解球面几何在实际生活中的应用价值。四、教学资源-硬件资源：投影仪、电脑、3D球面模型

-软件资源：几何画板软件、PPT教学课件

-课程平台：学校在线学习平台

-信息化资源：球面几何相关视频资料、电子教案

-教学手段：小组讨论、问题驱动、实物演示五、教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对球面几何的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“同学们，你们知道地球是一个球体吗？那么在球体上如何定义点、线、圆呢？”

展示地球仪和一些球面几何的图片，让学生初步感受球面几何的特点。

简短介绍球面几何的基本概念和其在地理、天文等领域的重要性，为接下来的学习打下基础。

2.球面几何基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解球面几何的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解球面几何的定义，包括球面上的点、线、圆等基本元素。

详细介绍球面几何的组成部分，如大圆、小圆、球面角等，使用示意图帮助学生理解。

3.球面几何案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解球面几何的特性和重要性。

过程：

选择球面三角形、球面圆等几个典型的球面几何案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点，如球面三角形的内角和定理，以及其在航海和天文学中的应用。

引导学生思考这些案例对实际生活的影响，如全球定位系统（GPS）的工作原理。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个球面几何相关的实际问题进行深入讨论。

小组内讨论该问题的现状、挑战以及可能的解决方案，如计算两地间的最短距离。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对球面几何的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括问题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调球面几何的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括球面几何的基本概念、案例分析等。

强调球面几何在现实生活和科学领域中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用球面几何。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于球面几何在实际生活中应用的短文或报告，以巩固学习效果。六、学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解球面几何的基本概念：学生能够掌握球面几何的基本元素，如点、线、圆的定义，以及球面角、球面距离等概念。通过实例和练习，学生能够将这些概念应用到实际问题中，如计算地球表面两点之间的最短距离。

2.掌握球面几何的性质和定理：学生能够理解并运用球面几何的性质和定理，如球面三角形的内角和定理、球面圆的性质等。在解决问题时，学生能够正确运用这些定理进行推理和证明。

3.提升空间想象和逻辑推理能力：通过学习球面几何，学生的空间想象能力得到了提升，能够更好地理解和构建球面几何图形。同时，学生的逻辑推理能力也得到了锻炼，能够通过定理和性质进行严密的证明。

4.增强数学应用意识：学生通过学习球面几何在地理、天文等领域的应用，增强了数学应用意识。他们能够将球面几何知识应用于解决实际问题，如计算航海航线、卫星定位等。

5.培养合作和表达能力：在小组讨论和课堂展示环节，学生通过合作交流，不仅加深了对球面几何的理解，还锻炼了团队合作和表达能力。他们能够清晰地表达自己的思路，倾听他人的意见，并能够有效地进行沟通和反馈。

6.提高解决问题的能力：学生在解决球面几何相关问题时，能够运用所学知识，通过分析问题、设计解决方案、实施解题策略，最终得出正确的结论。这种能力的提升有助于学生在面对复杂问题时，能够有条不紊地进行分析和解决。

7.形成持续学习的习惯：通过本讲的学习，学生能够认识到球面几何的重要性和实用性，激发了对数学学习的兴趣。他们能够主动探索球面几何的更多知识，形成了持续学习和深入探究的良好习惯。

8.提升综合素质：在学习球面几何的过程中，学生不仅掌握了数学知识，还培养了科学思维、创新意识、实践能力等综合素质。这些素质的提升为学生未来的学习和职业发展奠定了坚实的基础。七、典型例题讲解1.例题一：已知球面上两点A、B，且∠AOB=90°，求证：线段AB是球面上的一条大圆的弧。

解答：在球面上任取一点C，使得∠AOC=∠BOC=90°。由于∠AOB=90°，根据球面三角形的性质，有∠ACB=90°。因此，三角形ACB是一个直角三角形，且AC=BC。由于AC和BC都是球的半径，所以AB是球面上的一条大圆的弧。

2.例题二：在球面上有一个圆C，其半径为r，圆心O到球心O'的距离为d，求圆C在球面上的面积。

解答：设球的半径为R，则根据勾股定理，有R^2=r^2+d^2。球面上圆C的面积可以通过球冠面积公式计算，即S=2πr^2(1-cos(d/R))。

3.例题三：在球面上有两个圆C1和C2，它们的半径分别为r1和r2，且两圆的圆心距离为d，求两圆的交线长度。

解答：设两圆的交线为L，球的半径为R。根据球面几何的性质，两圆的交线长度可以通过公式L=2r1r2/(R+d)计算。

4.例题四：已知球面上一个三角形的三个内角分别为α、β、γ，且α+β+γ=π，求证：这个三角形是一个球面直角三角形。

解答：根据球面三角形的内角和定理，如果α+β+γ=π，则三角形是球面直角三角形。由于在欧氏几何中三角形的内角和为π，而球面三角形的内角和大于π，因此这个三角形必须是直角三角形。

5.例题五：在球面上有两个点A和B，它们的球面距离为d，求以A和B为端点的所有球面圆的半径之和。

解答：设球面上以A和B为端点的圆的半径为r。由于A和B是圆的端点，所以圆的半径r与球面距离d之间存在关系。根据球面几何的性质，所有这样的圆的半径之和为2Rsin(d/2)，其中R是球的半径。因此，以A和B为端点的所有球面圆的半径之和为2Rsin(d/2)。八、教学反思与总结在讲授“从欧氏几何看球面”这一讲的过程中，我深感教学不仅是知识的传递，更是方法和思维的引导。以下是我对本次教学的一些反思和总结。

教学反思：

在设计本节课时，我力求将抽象的球面几何概念与学生的实际生活相结合，通过引入地球仪和GPS定位系统等实例，帮助学生直观地理解球面几何的基本概念。在实际教学中，我发现学生们对球面几何有了更直观的认识，但我也发现了一些不足之处。

首先，在教学过程中，我发现部分学生在理解球面几何的定理时存在困难，尤其是球面三角形的内角和定理。我意识到，我在讲解这一部分内容时可能过于急于求成，没有给予学生足够的时间去消化和理解。今后，我会在这一部分内容上多花一些时间，通过更多的例题和练习来帮助学生理解和掌握。

其次，我在课堂管理方面也发现了一些问题。在小组讨论环节，有些小组的讨论不够积极，可能是因为学生对讨论主题不够感兴趣，或者是因为缺乏有效的引导。我认识到，作为教师，我需要更加细致地设计讨论主题，并在讨论过程中给予适当的引导和激励。

教学总结：

总体来说，本节课的教学效果是积极的。学生们对球面几何的基本概念有了较好的理解，能够运用球面几何的知识解决一些实际问题。在技能方面，学生的空间想象能力和逻辑推理能力得到了锻炼，他们能够更好地理解和运用球面几何的定理和性质。

在情感态度方面，学生们对球面几何的兴趣有所提升，他们能够认识到球面几何在现实生活中的应用价值。但同时，我也发现部分学生对球面几何的学习仍存在恐惧和抵触心理，这可能是由于球面几何的抽象性和复杂性造成的。

针对教学中存在的问题和不足，我提出了以下改进措施和建议：

1.在讲解球面几何的定理时，我将采用更多直观的教具和模型，帮助学生建立空间概念。

2.对于小组讨论环节，我将提前准备更具有吸引力和挑战性的讨论主题，并在讨论过程中给予学生更多的引导和激励。

3.我将加强对学生学习状态的观察，及时发现并解决他们在学习过程中遇到的问题。

4.为了帮助学生更好地理解球面几何的应用，我计划引入更多与现实生活相关的案例，让学生在实践中感受球面几何的价值。教学评价与反馈1.课堂表现：

学生在本节课的课堂表现整体积极，能够跟随教学进度，对球面几何的基本概念和定理表现出较高的兴趣。在讲解球面三角形的内角和定理时，学生们能够积极参与讨论，提出自己的疑问和见解。但在球面几何的实际应用部分，部分学生表现出理解上的困难，需要更多的实例和练习来加深理解。

2.小组讨论成果展示：

小组讨论环节，学生们能够围绕主题进行积极的讨论。在成果展示时，各小组代表能够清晰地表达自己的观点和结论，展示出良好的团队合作和表达能力。其中，一些小组提出了富有创造性的解决方案，显示出学生对球面几何知识的深入理解和灵活运用。

3.随堂测试：

随堂测试结果显示，大部分学生对球面几何的基本概念和定理掌握较好，能够正确运用所学知识解决问题。但在一些复杂的应用题上，部分学生仍存在理解上的不足，需要加强对这部分内容的复习和巩固。

4.课后作业：

课后作业的完成情况表明，学生们能够将课堂所学知识运用到实际问题中，但部分学生在解题过程中对定理的应用不够熟练，需要更多的练习来提高解题技巧。

5.教师评价与反馈：

针对本节课的教学，我认为学生们在球面几何的基本概念和定理方面取得了较好的学习效果。但同时，我也发现以下几方面需要改进：

-对于理解较困难的部分，如球面三角形的内角和定理，我将在下一节课中安排更多的练习和讨论，帮助学生深入理解。

-在小组讨论环节，我将更加细致地指导学生，确保每个学生都能参与到讨论中，提高讨论的实效性。

-对于随堂测试和课后作业中反映出的问题，我将在今后的教学中加强对学生的个别辅导，帮助他们克服学习中的难点。

-我将鼓励学生更多地运用球面几何知识解决实际问题，提高他们的数学应用能力。第二讲球面上的距离和角一球面上的距离科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）第二讲球面上的距离和角一球面上的距离课程基本信息1.课程名称：高中数学选修3-3人教新课标A版第二讲球面上的距离和角一球面上的距离

2.教学年级和班级：高中二年级

3.授课时间：2022年11月10日

4.教学时数：1课时核心素养目标分析本节课的核心素养目标在于培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和数学建模能力。通过学习球面上的距离和角的概念，学生将能够运用空间几何的知识解决实际问题，发展几何直观和数学抽象思维能力。同时，通过探究球面上的距离和角的计算方法，学生将提高分析问题和解决问题的能力，以及数学应用意识。重点难点及解决办法重点：球面上两点间距离的计算方法，以及球面上角的定义和性质。

难点：球面上两点间距离的计算公式的推导，以及球面上角度与平面角度的区别理解。

解决办法：

1.对于球面上两点间距离的计算方法，首先通过具体的实例引入，如地球表面两城市间的距离计算，让学生直观感受球面距离的概念。然后，通过逐步引导，帮助学生推导出球面上两点间距离的计算公式，强调公式的适用条件和推导过程。

2.对于球面上角的定义和性质，可以通过制作球面模型或使用多媒体辅助教学，让学生在直观的观察中理解球面角的形成及其与平面角的区别。同时，通过练习题的解答，让学生在实际操作中掌握球面角的测量和计算方法。

3.针对难点，可以设计一些针对性的练习题和讨论题，让学生在小组讨论中共同解决问题，教师适时给予指导和反馈，帮助学生突破理解上的障碍。教学资源准备1.教材：人教新课标A版高中数学选修3-3教材，确保每位学生人手一册。

2.辅助材料：准备球体模型、球面距离和角度相关的PPT演示文稿，以及网络资源链接，用于辅助讲解和直观展示。

3.实验器材：无特殊实验器材需求。

4.教室布置：确保教室有足够的空间进行小组讨论，并提前设置好投影设备以便展示PPT。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过班级微信群发布预习资料，包括本节课的PPT和预习指导文档，明确要求学生预习球面距离的计算方法和球面角的定义。

设计预习问题：设计问题如“球面上两点间距离的计算与平面有何不同？”和“如何理解球面上的角？”等，引导学生思考。

监控预习进度：通过在线平台的预习任务提交功能，监控学生的预习进度和成果。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生按照要求阅读预习资料，理解球面距离和球面角的基本概念。

思考预习问题：针对预习问题进行独立思考，记录疑问。

提交预习成果：学生将预习笔记和问题提交至在线平台。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：鼓励学生自主探索，发展独立思考能力。

信息技术手段：利用在线平台和微信群进行资源分享和进度监控。

作用与目的：

帮助学生提前掌握基础知识，为课堂学习打下基础。

培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过展示地球仪上两城市间的距离问题，引出球面距离的概念。

讲解知识点：详细讲解球面距离的计算公式和球面角的定义，通过实例演示如何应用这些概念。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生探讨球面距离的计算方法在实际生活中的应用。

解答疑问：对学生提出的问题进行解答，帮助学生理解难点。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，思考球面距离和球面角的性质。

参与课堂活动：积极参与小组讨论，分享自己的理解和应用案例。

提问与讨论：对不理解的地方提出问题，参与课堂讨论。

教学方法/手段/资源：

讲授法：讲解球面距离和球面角的计算方法。

实践活动法：通过小组讨论，让学生在实际问题中应用所学知识。

合作学习法：通过小组合作，培养学生的团队协作能力。

作用与目的：

帮助学生深入理解球面距离和球面角的概念。

通过合作学习，培养学生的团队合作意识。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置与球面距离和球面角相关的练习题，巩固学生对知识点的掌握。

提供拓展资源：提供相关的数学网站和书籍，供学生进一步学习。

反馈作业情况：及时批改作业，对学生的作业情况进行反馈。

学生活动：

完成作业：学生认真完成作业，巩固课堂所学知识。

拓展学习：利用提供的资源进行深入学习，拓宽知识面。

反思总结：对学习过程进行反思，总结学习心得。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生对学习过程进行反思，提升学习效果。

作用与目的：

巩固学生对球面距离和球面角的理解和应用能力。

通过反思总结，帮助学生提升自我学习能力。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）球面几何的基本概念：介绍球面几何的基本元素，如点、线、圆、角等，以及球面几何的基本性质。

（2）球面距离的计算方法：详细讲解球面距离的多种计算方法，包括利用球面三角形的余弦定理和正弦定理等。

（3）球面角和球面三角形的性质：探讨球面角和球面三角形的特殊性质，如球面角的度量方法和球面三角形的内角和。

（4）球面几何在实际生活中的应用：分析球面几何在地理、天文学、航海、航空等领域的应用实例。

（5）球面几何与其他数学分支的联系：探讨球面几何与欧几里得几何、非欧几里得几何等其他数学分支的联系和区别。

2.拓展建议：

（1）深入学习球面几何的基本概念，理解球面几何与平面几何的异同，通过绘制球面图形加深对球面几何的理解。

（2）通过解决实际问题，如计算地球表面上两点的距离，来练习球面距离的计算方法，并探讨不同计算方法的适用场景。

（3）研究球面三角形的性质，尝试解决一些球面三角形的问题，如给定两边和夹角求第三边等，并对比球面三角形与平面三角形的区别。

（4）探索球面几何在实际生活中的应用，例如在航海和航空中如何利用球面几何知识确定航线，以及在天文学中如何利用球面几何研究天体运动。

（5）阅读相关书籍和文章，了解球面几何的发展历史，以及球面几何与其他数学分支如微分几何、拓扑学等的联系。

（6）参与数学社团或研究小组，与他人讨论球面几何的问题，分享学习心得，提高自己的数学思维能力。

（7）利用数学软件或在线工具，如几何画板、MATLAB等，进行球面几何的模拟实验，直观地观察球面几何图形的性质和变化。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《球面几何导论》、《高等几何》等相关书籍中关于球面几何的章节，以及数学史相关书籍中涉及球面几何发展的部分。

-视频资源：科普视频，如“球面几何的奇妙世界”，以及教学视频，如“球面三角形的性质与应用”。

2.拓展要求：

-学生在课后应自主阅读推荐的书籍章节，加深对球面几何的理解，特别是球面距离和球面角的概念。

-观看科普和教学视频，通过直观的演示和讲解，更好地把握球面几何在实际生活中的应用。

-鼓励学生思考以下问题：

-球面几何与平面几何的主要区别是什么？

-球面几何在哪些领域中有着重要的应用？

-如何将球面几何的知识应用于解决实际问题？

-学生可以尝试以下活动：

-绘制球面图形，如球面三角形，并计算其边长和角度。

-利用球面几何知识，设计一个简单的导航系统，如用于短途航行的船只或飞行器的航线规划。

-探索球面几何在艺术和建筑中的应用，例如分析某些球形建筑的设计原理。

-教师提供必要的指导和帮助，包括但不限于：

-解答学生在阅读和观看视频过程中遇到的问题。

-提供额外的阅读材料和实例，帮助学生更好地理解球面几何的概念。

-组织讨论会，让学生分享他们的学习心得和发现，互相学习和启发。

-学生应在下一次课前提交一份简短的报告或心得，总结他们的学习成果和体会。内容逻辑关系①球面距离的计算方法

-重点知识点：球面余弦定理、球面正弦定理

-重点词：球面距离、弧长、中心角

②球面角的定义和性质

-重点知识点：球面角的度量方法、球面角的分类

-重点词：球面角、弧度、优角、劣角

③球面几何在实际生活中的应用

-重点知识点：球面几何在地理、天文学、航海、航空中的应用

-重点词：经纬度、恒星视运动、航线规划教学反思今天的课堂上，我们一起探讨了球面几何中的距离和角的知识点。通过这节课的教学，我有几点反思和感悟。

首先，学生在预习阶段的自主探索给了我很大的启示。通过发布预习任务和设计预习问题，我发现学生们在自主学习中展现出了很高的积极性和思考能力。他们不仅认真阅读了预习资料，还能够提出一些有深度的问题。这让我意识到，作为教师，我们应该更多地给予学生自主学习的空间，让他们在探究中发现问题、解决问题。

其次，课堂上的小组讨论活动让我感受到了学生的合作意识和沟通能力。在讨论球面距离的计算方法和球面角的性质时，学生们积极参与，互相交流自己的理解和思路。他们通过合作学习，不仅加深了对知识点的理解，还提高了自己的表达和倾听能力。这让我思考，作为教师，我们应该设计更多这样的实践活动，让学生在实践中学习和成长。

另外，我也发现了一些需要改进的地方。在讲解球面距离的计算方法时，我发现有些学生对于公式的推导和理解还存在一定的困难。这让我意识到，我在讲解过程中可能没有足够详细地解释公式的来源和应用场景。下次教学中，我计划通过更多的实例和图示来帮助学生更好地理解这些概念。

此外，我也注意到在课堂上有部分学生对于球面几何的实际应用不够清晰。这可能是因为我在讲解时没有很好地将理论与实际结合起来。未来，我计划在教学中引入更多的实际案例，让学生看到球面几何在现实生活中的应用，从而提高他们的学习兴趣和动力。

最后，我对学生的作业和反馈也进行了反思。通过批改作业，我发现学生们在球面距离的计算方面还存在一些问题，如对公式的应用不够熟练。我会针对这些问题提供更多的练习机会，并在下一次课上专门针对这些难点进行讲解和巩固。教学评价与反馈1.课堂表现：学生整体表现积极，能够主动参与课堂讨论和活动，提出问题并思考解决方案。然而，部分学生对于球面距离的计算方法和球面角的定义的理解不够深入，需要进一步加强学习和理解。

2.小组讨论成果展示：学生们在小组讨论中展现出了良好的合作能力和沟通能力，能够积极分享自己的观点和思路。在讨论过程中，一些小组提出了创新性的解决方案，展示了较高的思维能力和创造力。

3.随堂测试：通过对学生的随堂测试，我发现学生们对于球面距离的计算方法和球面角的定义的理解有所提高，但仍有部分学生对于公式的应用不够熟练。我会在下一次课上针对这些问题进行讲解和巩固，帮助学生更好地掌握这些知识点。

4.课后作业完成情况：学生整体能够按时完成课后作业，但部分学生在球面距离的计算和球面角的度量的应用上存在一些困难。我会通过个别辅导和解答疑问，帮助学生解决这些问题，提高他们的学习效果。

5.教师评价与反馈：针对学生在课堂上的表现和作业完成情况，我会给予及时的反馈和指导。我会对学生的优点给予肯定和鼓励，同时也指出他们的不足之处，并提供相应的改进建议。我会与学生们保持良好的沟通，了解他们的学习需求和困惑，并提供必要的支持和帮助。同时，我会定期与学生家长进行沟通，共同关注学生的学习进展，形成家校合作的教育合力。第二讲球面上的距离和角二球面上的角授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：高中数学选修3-3人教新课标A版第二讲球面上的距离和角二球面上的角

2.教学年级和班级：高三年级（1）班

3.授课时间：2023年10月15日，上午第3节

4.教学时数：1课时核心素养目标1.理解并运用球面上的角的概念，提升空间想象能力和几何直观感知。

2.通过球面角的计算，培养逻辑推理能力和数学运算技能。

3.能够将实际问题抽象为球面模型，增强数学建模意识。学习者分析1.学生已经掌握了空间几何的基本概念，如点、线、面的位置关系，以及基本的几何图形的性质和计算方法。在选修3-3的学习中，学生已经接触了球的概念和球面距离的计算。

2.学生对空间几何问题具有一定的兴趣，尤其是在解决实际问题时，他们能够感受到数学的应用价值。在学习能力上，学生具备了一定的逻辑推理和数学运算能力，但个别学生在空间想象方面可能存在不足。在学习风格上，学生偏好通过直观的图形和实例来理解抽象概念。

3.学生在球面上的角的概念理解上可能会遇到困难，特别是在将球面角与平面角进行区分时。此外，球面角的计算可能会因为缺乏直观感知而感到复杂，需要通过大量的练习来熟练掌握。对于空间想象力较弱的学生来说，将实际问题转化为球面模型可能会是一个挑战。教学资源准备1.教材：确保每位学生都配备了人教新课标A版高中数学选修3-3教材。

2.辅助材料：准备球体模型、球面角度演示动画视频，以及相关的PPT课件。

3.教室布置：将教室内的座位调整为小组讨论模式，以便学生进行小组合作学习和讨论。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过班级微信群发布预习资料，包括球面角度的PPT和球体模型的三维动画，要求学生预习球面上的角的概念。

-设计预习问题：设计问题如“球面角与平面角有何不同？”和“如何计算球面上的角？”来引导学生思考。

-监控预习进度：通过在线平台的预习任务提交功能，监控学生的预习进度和成果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生根据要求阅读预习资料，观看动画，初步理解球面角的概念。

-思考预习问题：学生针对预习问题进行思考，尝试用自己的语言解释概念。

-提交预习成果：学生通过在线平台提交自己的预习笔记和问题。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主探索，培养独立思考能力。

-信息技术手段：利用微信群和在线平台，实现资源的共享和预习进度的监控。

-作用与目的：为课堂学习打下基础，让学生对球面角有初步的认识。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过展示地球仪上的经纬线，引出球面角的概念。

-讲解知识点：详细讲解球面角的定义和计算方法，通过具体例题帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生探讨球面角在实际生活中的应用。

-解答疑问：针对学生的疑问，提供清晰的解释和指导。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，对球面角的定义和计算方法进行思考。

-参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，分享球面角的应用实例。

-提问与讨论：学生提出自己在学习过程中的疑问，并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：详细讲解球面角的定义和计算方法。

-实践活动法：通过小组讨论，让学生在实践中加深对球面角的理解。

-合作学习法：培养学生的团队合作和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解球面角的定义和计算方法。

-通过实践活动，培养学生的实际应用能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置与球面角相关的练习题，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供球面几何相关的书籍和网站，供学生深入学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，提供反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成作业，巩固对球面角的理解。

-拓展学习：利用提供的资源进行拓展学习，加深对球面几何的理解。

-反思总结：对学习过程进行反思，总结学习中的收获和不足。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生自我反思，提升学习效果。

作用与目的：

-巩固和拓展学生对球面角的知识。

-培养学生的自主学习能力和反思能力。知识点梳理1.球面距离的定义

-球面距离是指球面上两点之间的最短距离，可以通过球心角的余弦值来计算。

2.球面角的定义

-球面角是由球面上的两条弧所夹的角，其度数等于这两条弧所对的球心圆心角的两倍。

3.球面角的分类

-锐球面角：小于π/2的球面角。

-直球面角：等于π/2的球面角。

-钝球面角：大于π/2且小于π的球面角。

4.球面角的度量

-球面角的度量通常使用弧度制，即通过计算两条弧所对的球心圆心角的大小来确定球面角的度数。

5.球面角的性质

-球面角的度数不随球面的大小而改变。

-球面角的度数等于其所对的球心圆心角的两倍。

-球面上任意两点间的球面角都小于或等于π。

6.球面角的计算

-利用球面三角形的边长和角度关系，可以计算球面角的度数。

-通过球面三角形的正弦定理和余弦定理来计算球面角。

7.球面三角形

-球面三角形是由球面上的三条弧组成的图形，其中每条弧的两端点都是球面上的点。

-球面三角形的三个角都是球面角。

8.球面三角形的性质

-球面三角形的三个角的和大于π。

-球面三角形的边长小于或等于π。

9.球面三角形的计算

-利用球面三角形的正弦定理和余弦定理来计算边长和角度。

-正弦定理：在球面三角形中，各边的正弦与它们所对的角的正弦之比相等。

-余弦定理：在球面三角形中，任意一边的余弦等于其他两边的余弦乘以它们所对的角的余弦之和减去两边乘积的两倍。

10.球面距离和球面角的应用

-导航：在航海和航空导航中，球面角和球面距离的计算对于确定航线至关重要。

-天文学：天文学家使用球面角和球面距离来描述天体之间的位置关系。

-地理学：地理学中使用球面角和球面距离来计算地球表面上的距离和方向。

11.球面几何的基本定理

-球面几何中的基本定理包括：球面三角形的内角和定理、球面三角形的正弦定理和余弦定理。

12.球面几何的推论

-球面几何的推论包括：球面三角形的边长和角度之间的关系、球面三角形的面积公式等。

13.球面几何的实践应用

-球面几何在地图制作、天体观测、航海导航等领域有广泛的应用。

-在地图制作中，球面几何用于将地球表面的信息投影到平面上。

-在天体观测中，球面几何用于计算天体之间的角度和距离。

14.球面几何的数学基础

-球面几何的数学基础包括：球面三角学、球面几何的公理和定理、球面几何的变换等。

15.球面几何的学习方法

-通过实际例题和练习来加深对球面几何概念的理解。

-利用球面几何模型和软件工具来直观展示球面几何的性质和定理。

-通过解决实际问题来应用球面几何的知识，提高解决问题的能力。内容逻辑关系①球面角的定义和性质

-重点知识点：球面角的定义、球面角的分类（锐球面角、直球面角、钝球面角）、球面角的度量（弧度制）。

-重点词汇：球面角、锐球面角、直球面角、钝球面角、弧度制。

②球面角的计算和球面三角形

-重点知识点：球面角的计算方法（利用球心角的余弦值）、球面三角形的性质（内角和大于π）、球面三角形的计算（正弦定理和余弦定理）。

-重点词汇：球心角、余弦值、球面三角形、正弦定理、余弦定理。

③球面几何的实际应用

-重点知识点：球面距离和球面角在导航、天文学、地理学等领域的应用、球面几何的基本定理和推论。

-重点词汇：导航、天文学、地理学、球面几何定理、球面几何推论。反思改进措施（一）教学特色创新

1.结合现代信息技术，采用在线平台和微信群进行预习和作业提交，提高了教学资源的共享性和学习效率。

2.在课堂活动中引入实际案例，如航海导航和天体观测，让学生更好地理解球面角和球面距离的实际应用，增强学习的趣味性和实用性。

（二）存在主要问题

1.在教学组织方面，由于课堂时间有限，未能充分给予每个学生发表观点和提问的机会，部分学生的参与度不高。

2.在教学方法上，讲授环节较多，学生主动探索和动手操作的机会较少，可能导致学生对知识点的理解不够深入。

3.在教学评价方面，作业和测试的反馈不够及时，学生难以在第一时间了解自己的学习效果和存在的问题。

（三）改进措施

1.为了提高学生的参与度，我将调整课堂活动，设计更多的小组讨论和个人展示环节，确保每个学生都有机会参与到课堂讨论中，发表自己的观点。

2.增加学生的动手操作机会，例如通过制作球面模型的实践活动，让学生在操作中学习球面角的概念和计算方法，从而加深对知识点的理解。

3.优化教学评价过程，确保作业和测试的反馈能够在第一时间内提供给学生，让学生能够及时了解自己的学习情况，并根据反馈调整学习策略。同时，考虑引入形成性评价，以鼓励学生在学习过程中的持续进步。第二讲球面上的距离和角本章复习与测试授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计意图本讲旨在帮助学生巩固和深化对球面上距离和角的理解，通过复习本章内容，使学生能够熟练运用球面几何知识解决实际问题，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力，为后续学习打下坚实基础。同时，通过测试检验学生对本章知识点的掌握情况，为下一阶段教学提供参考。核心素养目标分析本节课的核