统计学常用分布及分位数

范文范例指导参考PAGE学习资料整理§1.4常用的分布及其分位数1.卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布,它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当X1X2…Xn相互独立且都服从N（0，1）时，Z=的分布称为自由度等于n的分布，记作Z~(n)，它的分布密度p(z）=式中的=，称为Gamma函数，且=1,=。分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且Y~（n)，Z～(m),则Y+Z～(n+m)。证明:先令X1X2…XnXn+1Xn+2…Xn+m相互独立且都服从N（0，1），再根据分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令Y=X+X+…+X，Z=X+X+…+X，Y+Z=X+X+…+X+X+X+…+X，即可得到Y+Z～(n+m）。2。t分布若X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～（n），则Z=的分布称为自由度等于n的t分布,记作Z~t（n）,它的分布密度P（z）=。请注意：t分布的分布密度也是偶函数,且当n〉30时,t分布与标准正态分布N（0，1)的密度曲线几乎重叠为一这时t分布的分布函数值查N（0,1)的分布函数值表便可以得到。3。F分布若X与Y相互独立，且X～（n）,Y～(m），则Z=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，记作Z～F(n,m)，它的分布密度p(z)=请注意:F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z～F(n，m)时，～F（m,n）。4。t分布与F分布的关系若X~t(n），则Y=X～F（1，n）.证：X～t(n），X的分布密度p（x)=。Y=X的分布函数F(y)=P｛Y〈y}=P｛X〈y}。当y0时，F(y)=0，p（y)=0；当y〉0时，F（y)=P｛—〈X<}==2，Y=X的分布密度p（y)=,与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=X～F（1，n).为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表.有关分位数的概念如下:4。常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼,即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为F(x），实数α满足0<α〈1时，α分位数是使P{X<α}=F（α)=α的数α，上侧α分位数是使P｛X〉λ}=1-F（λ）=α的数λ,双侧α分位数是使P｛X<λ1｝=F（λ1)=0。5α的数λ1、使P{X〉λ2｝=1-F（λ2）=0.5α的数λ2.因为1—F（λ）=α，F(λ)=1—α，所以上侧α分位数λ就是1—α分位数1-α；F（λ1）=0.5α，1—F(λ2)=0。5α,所以双侧α分位数λ1就是0。5α分位数0。5α，双侧α分位数λ2就是1—0。5α分位数1-0.5α.2）标准正态分布的α分位数记作α，0。5α分位数记作0。5α1-0.5α分位数记作1—0.5α。当X～N（0，1)时,P{X<α}=F0,1（α)=α，P｛X〈0。5α}=F0,1(0。5α）=0.5α，P{X〈1-0.5α}=F0，1（1—0.5α）=1—0。5α。根据标准正态分布密度曲线的对称性，当α=0.5时α=0;当α<0.5时α<0。α=-1—α。如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数,则先查出1—α，然后得到α=—1-α。论述如下:当X～N(0,1）时P｛X〈α｝=F0，1（α)=αP｛X<1—α}=F0，1（1—α)=1—αP{X>1-α｝=1—F0，1(1—α）=α故根据标准正态分布密度曲线的对称性，α=—1-α。例如，u0。10=—u0。90=—1。282，u0.05=—u0。95=—1。645，u0。01=—u0。99=—2.326,u0。025=—u0.975=-1。960，u0。005=—u0。995=-2。576。又因为P｛|X|<1-0.5α}=1—α，所以标准正态分布的双侧α分位数分别是1-0.5α和-1-0。5α。标准正态分布常用的上侧α分位数有：α=0.10，u0。90=1。282；α=0.05,u0.95=1。645；α=0.01，u0.99=2.326；α=0.025,u0。975=1。960；α=0。005，u0。995=2.576。3）卡平方分布的α分位数记作α（n)。α(n)〉0当X～（n)时，P{X〈α(n）}=α。例如,0。005（4）=0。21,0。025(4)=0.48，0。05(4）=0.71,0。95（4)=9。49,0.975(4)=11。1,0.995(4)=14.9.4）t分布的α分位数记作α(n）。当X～(n)时，P{X〈α(n）}=α，且与标准正态分布相类似,根据t分布密度曲线的对称性,也有α(n)=—1—α(n),论述同α=—1—α。例如，t0.95(4)=2.132，t0.975（4)=2.776，t0。995(4)=4.604,t0。005（4)=-4。604，t0。025(4)=—2.776，t0。05（4)=—2.132。另外，当n〉30时,在比较简略的表中查不到α(n），可用α作为α（n)的近似值.5）F分布的α分位数记作α（n,m)。α(n，m）〉0当X～(n，m)时，P{X〈α（n，m)}=α。另外,当α较小时,在表中查不出Fα（n，m），须先查F1—α(m，n），再求Fα（n，m)=。论述如下：当X～F（m,n)时P{X〈F1-α（m，n)}=1—αP{>｝=1-αP{<｝=α又根据F分布的定义，~F（n，m），P{〈Fα(n,m)}=α因此Fα（n，m)=。例如，F0。95（3，4)=6.59，F0.975（3,4)=9.98，F0。99（3，4）=16。7，F0。95(4,3）=9.12，F0。975（4，3)=15.1,F0.99（4,3）=28。7，F0。01（3，4）=，F0.025（3，4)=，F0。05（3，4）=.【课内练习】1.求分位数①0.05（8)，②0。95（12)。2.求分位数①t0。05(8)，②t0.95(12）。3.求分位数①F0。05（7，5），②F0.95（10，12）。4。由u0。975=1。960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。5。由t0。95（4)=2。132写出有关的上侧分位数与双侧分位数.6.若X～(4)，P｛X<0.711｝=0。05，P{X<9。49}=0。95，试写出有关的分位数。7。若X～F（5，3），P｛X<9。01｝=0.95,Y~F(3,5)，{Y<5。41｝=0.95，试写出有关的分位数。8。设X、X、…、X相互独立且都服从N(0，0.09)分布,试求P｛>1。44}。习题答案：1.①2。73，②21.0。2。①-1.860，②1。782。3.①，②3。37。4.1。960为上侧0.025分位数，-1.960与1。960为双侧