2025届山西省大同市平城区第一中学数学高一上期末预测试题含解析

2025届山西省大同市平城区第一中学数学高一上期末预测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若集合，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.2．函数的零点所在的区域为（）A. B.C. D.3．设函数，若，则A. B.C. D.4．集合，，则（）A. B.C. D.5．已知集合，，，则（）A. B.C. D.6．已知幂函数在上单调递减，则的值为A. B.C.或 D.7．下列命题是全称量词命题，且是真命题的为（）A.有些四边形的内角和不等于360° B.，C.， D.所有能被4整除的数都是偶数8．函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.9．设命题p：，命题q：，则p是q成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．已知平面向量，，若，则实数值为（）A.0 B.-3C.1 D.-1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，则________.12．已知，则__________13．设函数，若关于x方程有且仅有6个不同的实根.则实数a的取值范围是_______.14．已知向量,其中，若，则的值为_________.15．计算_______.16．若，则_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数的图象在定义域(0，+∞)上连续不断，若存在常数T>0，使得对于任意的x>0，恒成立，称函数满足性质P(T).（1）若满足性质P(2)，且，求的值；（2）若，试说明至少存在两个不等的正数T1、T2，同时使得函数满足性质P(T1)和P(T2)；（3）若函数满足性质P(T)，求证：函数存在零点.18．榴弹炮是一种身管较短，弹道比较弯曲，适合于打击隐蔽目标和地面目标的野战炮，是地面炮兵的主要炮种之一．为中国共产党建党100周年献礼，某军工研究所对某类型榴弹炮进行了改良．如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为．改良后的榴弹炮位于坐标原点．已知该炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求该类型榴弹炮的最大射程；（2）证明：该类型榴弹炮发射的高度不会超过19．如图，函数（，）的图象与y轴交于点，最小正周期是π（1）求函数的解析式；（2）已知点，点P是函数图象上一点，点是线段PA中点，且，求的值20．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x万件，其总成本为万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数的解析式（利润=销售收入−总成本）；（2）工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？21．已知函数在一个周期内的图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若存在，使得关于的不等式成立，求实数的最小值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】利用元素与集合，集合与集合的关系判断.【详解】因为集合是奇数集，所以，，，A，故选：C2、C【解析】根据函数解析式求得，根据函数的零点的判定定理求得函数的零点所在区间【详解】解：函数，定义域为，且为连续函数，，，，故函数的零点所在区间为，故选：【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题3、A【解析】由的函数性质，及对四个选项进行判断【详解】因为，所以函数为偶函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，又因为，所以，即，故选择A【点睛】本题考查幂函数的单调性和奇偶性，要求熟记几种类型的幂函数性质4、B【解析】解不等式可求得集合，由交集定义可得结果.【详解】，，.故选：B.5、C【解析】解一元二次不等式求出集合，解不等式求出集合，再进行交集运算即可求解.【详解】因为，，所以，故选：C.6、A【解析】由函数为幂函数得，即，解得或．当时，，符合题意．当时，，不和题意综上．选A7、D【解析】根据定义分析判断即可.【详解】A和C都是存在量词命题，B是全称量词命题，但其是假命题，如时，，D选项为全称命题且为真命题故选：D.8、D【解析】解不等式，即可得出函数的单调递减区间.【详解】解不等式，得，因此，函数的单调递减区间为.故选：D.【点睛】本题考查余弦型函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题.9、B【解析】先解不等式，然后根据充分条件和必要条件的定义判断【详解】由，得，所以命题p：，由，得，所以命题q：，因为当时，不一定成立，当时，一定成立，所以p是q成立的必要不充分条件，故选：B10、C【解析】根据，由求解.【详解】因为向量，，且，所以，解得，故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】利用三角函数的诱导公式，化简得到原式，代入即可求解.【详解】因为，由故答案为：12、【解析】将题干中的两个等式先平方再相加，利用两角差的余弦公式可求得结果.【详解】由，，两式相加有，可得故答案为：.13、或或【解析】作出函数的图象，设，分关于有两个不同的实数根、，和两相等实数根进行讨论，当方程有两个相等的实数根时，再检验，当方程有两个不同的实数根、时，或，再由二次方程实数根的分布进行讨论求解即可.【详解】作出函数的简图如图，令，要使关于的方程有且仅有个不同的实根，（1）当方程有两个相等的实数根时，由，即，此时当，此时，此时由图可知方程有4个实数根，此时不满足.当，此时，此时由图可知方程有6个实数根，此时满足条件(2)当方程有两个不同的实数根、时，则或当时，由可得则的根为由图可知当时，方程有2个实数根当时，方程有4个实数根，此时满足条件.当时，设由，则，即综上所述：满足条件的实数a的取值范围是或或故答案为：或或【点睛】关键点睛：本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，解答本题的关键由条件结合函数的图象，分析方程的根情况及其范围，再由二次方程实数根的分布解决问题，属于难题.14、4【解析】利用向量共线定理即可得出【详解】∵∥，∴＝8，解得，其中，故答案为【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了向量的坐标运算，属于基础题15、【解析】利用指数的运算法则求解即可.【详解】原式.故答案为：.【点睛】本题主要考查了指数的运算法则.属于容易题.16、##【解析】依题意利用诱导公式及二倍角公式计算可得；【详解】解：因为，所以.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）0；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，由此可求的值；(2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和；（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.【小问1详解】因为满足性质，所以对于任意的x，恒成立.又因为，所以，，由可得，所以，；【小问2详解】若正数满足，等价于，记，显然，，因为，所以，，即.因为的图像连续不断，所以存，使得，因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.【小问3详解】若，则1即为零点；因为，若，则，矛盾，故，若，则，，，可得.取即可使得，又因为的图像连续不断，所以，当时，函数在上存在零点，当时，函数在上存在零点，若，则由，可得，由，可得，由，可得.取即可使得，又因为的图像连续不断，所以，当时，函数在上存在零点，当时，函数在上存在零点，综上，函数存在零点.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.18、（1）（2）证明见解析【解析】（1）解一元二次方程即可求得该类型榴弹炮的最大射程；（2）以二次函数在给定区间求值域的方法去解决即可.【小问1详解】令，得，由实际意义和题设条件知，故，（当且仅当时取等号）所以炮的最大射程为；【小问2详解】，由，可知因此，所以该类型榴弹炮发射的高度不会超过19、（1）；（2），或.【解析】（1）根据余弦型函数的最小正周期公式，结合代入法进行求解即可；（2）根据中点坐标公式，结合余弦函数的性质进行求解即可.【小问1详解】因为函数的最小正周期是π，，所以有，即，因为函数的图象与y轴交于点，所以，因为，所以，即；【小问2详解】设，即，因为点是线段PA的中点，所以有，代入，得，因为，所以，因此有，或，解得：，或.20、（1）（2）4万件【解析】（1）由题意，总成本，由即可得利润函数解析式；（2）根据反比例函数及二次函数的单调性，求出分段函数的最大值即可求解.【小问1详解】解：由题意，总成本，因为销售收入满足，所以利润函数；小问2详解】解：当时，因为函数单调递减，所以万元；当时，函数，所以当时，有最大值为13(万元).所以当工厂生产4万件产品时，可使盈利最多为13