辽宁省沈阳市第一七零中学2025届高一数学第一学期期末监测试题含解析

辽宁省沈阳市第一七零中学2025届高一数学第一学期期末监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数在R上是单调函数，则的解析式可能为（）A. B.C. D.2．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（）A. B.C. D.3．设，其中、是正实数，且，，则与的大小关系是（）A. B.C. D.4．函数图像大致为（）A. B.C. D.5．函数的一条对称轴是（）A. B.C. D.6．若集合，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.7．如图，已知，，共线，且向量，则（）A. B.C. D.8．已知与分别是函数与的零点，则的值为A. B.C.4 D.59．过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）A. B.C. D.10．已知，都是正数，则下列命题为真命题的是（）A.如果积等于定值，那么当时，和有最大值B.如果和等于定值，那么当时，积有最小值C.如果积等于定值，那么当时，和有最小值D.如果和等于定值，那么当时，积有最大值二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，则下列命题正确的是______填上你认为正确的所有命题的序号①函数单调递增区间是；②函数的图象关于点对称；③函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是；④若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则12．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A. B.C. D.－113．若函数y=是函数的反函数，则_________________14．化简：________.15．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为______________.16．已知函数，正实数，满足，且，若在区间上的最大值为2，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（Ⅰ）用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象简图；（Ⅱ）请描述如何由函数的图象通过变换得到的图象.18．如果函数满足：对定义域内的所有，存在常数，，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点.（1）证明点是函数的对称中心；（2）已知函数（且，）的对称中心是点.①求实数的值；②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围.19．已知定义域为的函数是奇函数（1）求实数，的值；（2）判断的单调性，并用单调性的定义证明；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围20．函数.（1）求，；（2）求函数在上的最大值与最小值.21．已知函数的部分图象如图所示，点为函数的图象与y轴的一个交点，点B为函数图象上的一个最高点，且点B的横坐标为，点为函数的图象与x轴的一个交点（1）求函数的解析式；（2）已知函数的值域为，求a，b的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据条件可知当时，为增函数，在在为增函数，且，结合各选项进行分析判断即可【详解】当时，为增函数，则在上为增函数，且，A.在上为增函数，，故不符合条件；B.为减函数，故不符合条件；C.在上为增函数，，故符合条件；D.为减函数，故不符合条件．故选：C．2、B【解析】先由圆方程得到圆心和半径，求出的长，以及的中点坐标，得到以为直径的圆的方程，由两圆方程作差整理，即可得出所在直线方程.【详解】因为圆的圆心为，半径为，所以，的中点为，则以为直径的圆的方程为，所以为两圆的公共弦，因此两圆的方法作差得所在直线方程为，即.故选：B.【点睛】本题主要考查求两圆公共弦所在直线方法，属于常考题型.3、B【解析】利用基本不等式结合二次函数的基本性质可得出与的大小关系.【详解】因为、是正实数，且，则，，因此，.故选：B.4、B【解析】先求出函数的定义域，判断出函数为奇函数，排除选项D，由当时，，排除A，C选项，得出答案.【详解】解析：定义域为，，所以为奇函数，可排除D选项，当时，，，由此，排除A，C选项，故选：B5、B【解析】由余弦函数的对称轴为，应用整体代入法求得对称轴为，即可判断各项的对称轴方程是否正确.【详解】由余弦函数性质，有，即，∴当时，有.故选：B6、C【解析】利用元素与集合，集合与集合的关系判断.【详解】因为集合是奇数集，所以，，，A，故选：C7、D【解析】由已知得，再利用向量的线性可得选项.【详解】因为，，，三点共线，所以，所以.故选：D.8、D【解析】设，，由，互为反函数，其图象关于直线对称，作直线，分别交，的图象为A，B两点，点为A，B的中点，联立方程得，由中点坐标公式得：，又，故得解【详解】解：由，化简得，设，，由，互为反函数，其图象关于直线对称，作直线，分别交，的图象为A，B两点，点为A，B的中点，联立得；，由中点坐标公式得：，所以，故选D【点睛】本题考查了反函数、中点坐标公式及函数的零点等知识，属于难题.9、B【解析】由题设得的中垂线方程为，其与交点即为所求圆心，并应用两点距离公式求半径，写出圆的方程即可.【详解】由题设，的中点坐标为，且，∴的中垂线方程为，联立，∴，可得，即圆心为，而，∴圆的方程是.故选：B10、D【解析】根据基本不等式计算求出和的最小值与积的最大值，进而依次判断选项即可.【详解】由题意知，，A：，则，当且仅当时取到等号，所以有最小值，故A错误；B：，则，当且仅当时取到等号，所以有最大值，故B错误；C：，则，当且仅当时取到等号，所以有最小值，故C错误；D：，则，有，当且仅当时取到等号，所以有最大值，故D正确；故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①③④【解析】先利用辅助角公式化简，再根据函数，结合三角函数的性质及图形，对各选项依次判断即可【详解】①，令，所以，因为，所以令，则，所以单调增区间是，故正确；②因为，所以不是对称中心，故错误；③的图象向左平移个单位长度后得到，且是偶函数，所以，所以且，所以时，，故正确；④函数，故错误；⑤因为，作出在上的图象如图所示：与有且仅有三个交点：所以，又因为时，且关于对称，所以，所以，故正确；故选:①③⑤12、D【解析】设平均增长率为x,由题得故填.13、0【解析】可得，再代值求解的值即可【详解】的反函数为，则，则，则.故答案为：014、－1【解析】原式)(.故答案为【点睛】本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.15、9【解析】根据扇形的弧长是6，圆心角为2，先求得半径，再代入公式求解.【详解】因为扇形的弧长是6，圆心角为2，所以，所以扇形的面积为，故答案为：9.16、【解析】先画出函数图像并判断，再根据范围和函数单调性判断时取最大值，最后计算得到答案.【详解】如图所示：根据函数的图象得，所以．结合函数图象，易知当时在上取得最大值，所以又，所以，再结合，可得，所以.故答案为：【点睛】本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）图象见解析；（Ⅱ）答案不唯一，见解析.【解析】（Ⅰ）分别令取、、、、，列表、描点、连线可作出函数在一个周期内的图象简图；（Ⅱ）根据三角函数图象的变换原则可得出函数的图象通过变换得到的图象的变换过程.【详解】（Ⅰ）列表如下：函数在一个周期内的图象简图如下图所示：（Ⅱ）总共有种变换方式，如下所示：方法一：先将函数的图象向左平移个单位，将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的倍，可得到函数的图象；方法二：先将函数的图象向左平移个单位，将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，可得到函数的图象；方法三：先将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，将所得图象向左平移个单位，再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的倍，可得到函数的图象；方法四：先将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，可得到函数的图象；方法五：先将函数的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的倍，将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，可得到函数的图象；方法六：先将函数的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的倍，将所得图象向左平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍，可得到函数的图象.【点睛】本题考查利用五点作图法作出正弦型函数在一个周期内的简图，同时也考查了三角函数图象变换，考查推理能力，属于基础题.18、（1）见解析；（2）①，②.【解析】（1）求得，根据函数的定义，即可得到函数的图象关于点对称.（2）①根据函数函数的定义，利用，即可求得.②由在上的值域，得到方程组，转化为为方程的两个根，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，所以函数的图象关于点对称.（2）①因为函数（且，）对称中心是点，可得，即，解得（舍）.②因为，∴，可得，又因为，∴.所以在上单调递减，由在上的值域为所以，，即，即，即为方程的两个根，且，令，则满足，解得，所以实数的取值范围.【点睛】本题主要考查了函数的新定义，函数的基本性质的应用，以及二次函数的图象与性质的综合应用，其中解答中正确理解函数的新定义，合理利用函数的性质，以及二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.19、（1），（2）在上单调递增，证明见解析（3）的取值范围为.【解析】（1）根据得到，根据计算得到，得到答案.（2）化简得到，，计算，得到是增函数.（3）化简得到，参数分离，求函数的最大值得到答案.【详解】（1）因为在定义域R上是奇函数.所以，即，所以．又由，即，所以，检验知，当，时，原函数是奇函数.（2）在上单调递增.证明：由（1）知，任取，则，因为函数在上是增函数，且，所以，又，所以，即，所以函数R上单调递增.（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，因为在上是增函数，由上式推得，即对一切有恒成立，设，令，则有，，所以，所以，即的取值范围为.20、（1），（2），【解析】（1）首先利用两角和的正弦公式及辅助角公式将函数化简，再代入求值即可；（2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解：因为所以即，所以，【小问2详解】解：由（1）可知，∵，∴，∴，∴，∴，令，即时取到最大值，，令，即时取到最小值.21、（1）