上海外国语大学附属外国语学校2025届高一数学第一学期期末监测试题含解析

上海外国语大学附属外国语学校2025届高一数学第一学期期末监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．不等式的解集为，则函数的图像大致为（）A. B.C. D.2．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（）A. B.C. D.3．要得到的图像，只需将函数的图像（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位4．正方形中，点，分别是，的中点，那么A. B.C. D.5．已知函数与的部分图象如图1（粗线为部分图象，细线为部分图象）所示，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（）A. B.C. D.6．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（）A. B.C. D.7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A. B.C. D.28．已知,则的值是A.0 B.–1C.1 D.29．设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（）A.（－1，1） B.C. D.（2，4）10．函数的部分图象大致是图中的（）A.. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，则_____________.12．已知，，与的夹角为60°，则________.13．写出一个同时具有下列性质①②的函数______.（注：不是常数函数）①；②.14．已知向量，，，，则与夹角的余弦值为______15．边长为2的菱形中，，将沿折起，使得平面平面，则二面角的余弦值为__________16．若，则实数____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．化简计算：（1）计算：；（2）化简：18．回答下列各题（1）求值：（2）解关于的不等式：（其中）19．已知函数是偶函数.（1）求实数的值；（2）若函数，函数只有一个零点，求实数的取值范围.20．设直线l的方程为.（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程（2）若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.21．在中，角的对边分别为,的面积为,已知,,（1）求值；（2）判断的形状并求△的面积

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据不等式的解集求出参数，从而可得，根据该形式可得正确的选项【详解】因为不等式的解集为，故，故，故，令，解得或，故抛物线开口向下，与轴的交点的横坐标为，故选：C2、D【解析】先逐个求解所有5个三角形的面积，再根据要求计算概率.【详解】如图所示，，，，，的面积分别为，，将，，，，分别记为，，，，，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点记事件表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件包含的样本点为，，，共3个，所以故选：D3、A【解析】化简函数，即可判断.【详解】，需将函数的图象向左平移个单位.故选：A.4、D【解析】由题意点，分别是，中点，求出，，然后求出向量即得【详解】解：因为点是的中点，所以，点得是的中点，所以，所以，故选：【点睛】本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用。属于基础题。5、B【解析】结合函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确选项.【详解】由图1可知为偶函数，为奇函数，A选项，，所以是偶函数，不符合图2.A错.C选项，，所以是偶函数，不符合图2.C错.D选项，，所以的定义域不包括，不符合图2.D错.B选项，，所以是奇函数，符合图2，所以B符合.故选：B6、A【解析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再求出其对称中心，确定选项【详解】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为再向右平移个单位得到图象的解析式为令，得，所以函数的对称中心为观察选项只有A符合故选A【点睛】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高7、B【解析】首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.8、A【解析】利用函数解析式，直接求出的值.【详解】依题意.故选A.【点睛】本小题主要考查函数值的计算，考查函数的对应法则，属于基础题.9、C【解析】由奇偶性可知的区间单调性及，画出函数草图，由函数不等式及函数图象求解集即可.【详解】根据题意，偶函数在上单调递减且，则在上单调递增，且函数的草图如图，或，由图可得－2＜x＜0或x＞2，即不等式的解集为故选：C10、D【解析】根据函数的奇偶性及函数值得符号即可得到结果.【详解】解：函数的定义域为R，即∴函数为奇函数，排除A，B，当时，，排除C，故选：D【点睛】函数识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】平方得12、10【解析】由数量积的定义直接计算.【详解】.故答案为：10.13、【解析】根据函数值以及函数的周期性进行列举即可【详解】由知函数的周期是，则满足条件，，满足条件，故答案为：（答案不唯一）14、【解析】运用平面向量的夹角公式可解决此问题．【详解】根据题意得，，，，故答案为．【点睛】本题考查平面向量夹角公式的简单应用．平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.15、【解析】作，则为中点由题意得面作，连则为二面角的平面角故，，点睛：本题考查了由平面图形经过折叠得到立体图形，并计算二面角的余弦值，本题关键在于先找出二面角的平面角，依据定义先找出平面角，然后根据各长度，计算得结果16、5##【解析】根据题中条件，由元素与集合之间的关系，得到求解，即可得出结果.【详解】因为，所以，解得.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据指数运算法则、对数运算法则求得结果.（2）利用诱导公式化简，结合同角商数关系即可求解.【详解】（1）；（2）.18、（1）2；（2）.【解析】（1）根据指数幂的运算法则和对数的运算性质计算即可；（2）不等式化为，根据不等式对应方程的两根写出不等式的解集【详解】（1）（2）不等式可化为，不等式对应方程的两根为，，且（其中）；所以原不等式的解集为19、（1）；（2）.【解析】（1）利用函数为偶函数推出的值，即可求解；（2）根据函数与方程之间的关系，转化为方程只有一个根，利用换元法进行转化求解即可.【详解】（1）由题意，函数为偶函数，所以，即，所以，即，则对恒成立，解得.（2）由只有一个零点，所以方程有且只有一个实根，即方程有且只有一个实根，即方程有且只有一个实根，令，则方程有且只有一个正根，①当时，，不合题意；②当时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，由，解得或，当，则不合题意，舍去；当，则，符合题意，若方程有两根异号，则，所以，综上，的取值范围是.20、（1）3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.（2）a＝2或a＝－2【解析】（1）直线在两坐标轴上的截距相等，有两种情况：截距为0和截距不为0，分别求出两种情况下的a的值，即得直线l的方程；（2）直线在两坐标轴上的截距互为相反数，由（1）可知有，解方程可得a。【详解】（1）当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上截距为零，∴a＝2，方程即为，当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴，即a＋1＝1.∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.（2）由，得a－2＝0或a＋1＝－1，∴a＝2或a＝－2.【点睛】第一个问中，直线在两坐标轴上的截距相等，注意不要忽略截距为0的情况。21、（1）;（2）是等腰三角形，其面积为【解析】（1）由结合正弦面积公式及余弦定理得到，进而得到结果；（2）由结合内角和定理可得分两类讨论即可.试题解析：（1