2025届江西省临川一中数学高一上期末考试试题含解析

2025届江西省临川一中数学高一上期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若集合，则A. B.C. D.2．若角满足，，则角所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3．已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆画，则该几何体的体积为（）A B.C. D.4．已知H是球的直径AB上一点，AH:HB=1:2，AB⊥平面，H为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为A. B.C. D.5．若，则tanθ等于（）A.1 B.-1C.3 D.-36．函数在区间上的最小值是A. B.0C. D.27．已知，则的周期为（）A. B.C.1 D.28．下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（）A. B.C. D.9．已知集合，，有以下结论：①；②；③．其中错误的是（）A.①③ B.②③C.①② D.①②③10．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设，，则______12．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，3)，B(-1，-2)，C(-3，4)，则BC边上的中线AD所在的直线方程为_____13．如果对任意实数x总成立，那么a的取值范围是____________.14．函数的图象为，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）.①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象；④函数在区间内是增函数.15．若扇形AOB的圆心角为，周长为10+3π，则该扇形的面积为_____16．如图，已知△和△有一条边在同一条直线上，，，，在边上有个不同的点F,G，则的值为______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，当水车上水斗A从水中浮现时开始计算时间，点A沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过秒后，水斗旋转到点，已知，设点的坐标为，其纵坐标满足（1）求函数的解析式；（2）当水车转动一圈时，求点到水面的距离不低于的持续时间18．已知的三个顶点（1）求边上高所在直线的方程；（2）求的面积19．如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PE∶EA＝BF∶FD，求证：EF∥平面PBC.20．已知函数的图象在定义域(0，+∞)上连续不断，若存在常数T>0，使得对于任意的x>0，恒成立，称函数满足性质P(T).（1）若满足性质P(2)，且，求的值；（2）若，试说明至少存在两个不等的正数T1、T2，同时使得函数满足性质P(T1)和P(T2)；（3）若函数满足性质P(T)，求证：函数存在零点.21．如图，在三棱锥中，底面，，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】详解】集合，所以.故选D.2、C【解析】根据，，分别确定的范围，综合即得解.【详解】解：由知，是一、三象限角，由知，是三、四象限角或终边在y轴负半轴上，故是第三象限角故选：C3、C【解析】由三视图可知，该几何体为半个圆柱，故体积为.4、D【解析】设球的半径为，根据题意知由与球心距离为的平面截球所得的截面圆的面积是，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积【详解】设球的半径为，∵，∴平面与球心的距离为，∵截球所得截面的面积为，∴时，，故由得，∴，∴球的表面积，故选D【点睛】本题主要考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为，球心距为，球半径为，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，属于中档题.5、D【解析】由诱导公式及同角三角函数基本关系化简原式即可求解.【详解】由已知即故选：D【点睛】本题考查诱导公式及同角三角函数基本关系，属于简单题.6、A【解析】函数，可得的对称轴为，利用单调性可得结果【详解】函数，其对称轴为，在区间内部，因为抛物线的图象开口向上，所以当时，在区间上取得最小值，其最小值为，故选A【点睛】本题考查二次函数的最值，注意分析的对称轴，属于基础题．若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域.7、A【解析】利用两角和的正弦公式化简函数，代入周期计算公式即可求得周期.【详解】，周期为：故选：A【点睛】本题考查两角和的正弦公式，三角函数的最小正周期，属于基础题.8、B【解析】先由函数定义域，排除A；再由函数奇偶性排除D，最后根据函数单调性，即可得出B正确，C错误.【详解】A选项，的定义域为，故A不满足题意；D选项，余弦函数偶函数，故D不满足题意；B选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间是增函数，即B正确；C选项，正弦函数是奇函数，且在上单调递增，所以在区间是增函数；因此是奇函数，且在上单调递减，故C不满足题意.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数性质的应用，熟记三角函数的奇偶性与单调性即可，属于基础题型.9、C【解析】解出不等式，得到集合，然后逐一判断即可.【详解】由可得所以，故①错；，②错；，③对，故选：C10、D【解析】利用三角函数图象的平移变换及诱导公式即可求解.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到.故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】由，根据两角差的正切公式可解得【详解】，故答案为【点睛】本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础知识的考查12、【解析】求出的坐标后可得的直线方程.【详解】的坐标为，故的斜率为，故直线的方程为即，故答案为：13、【解析】先利用绝对值三角不等式求出的最小值，进而求出a的取值范围.【详解】，当且仅当时等号成立，故，所以a的取值范围是.故答案为：14、①②④【解析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象.【详解】由题意，，令，，当时，即函数的一条对称轴，所以①正确；令，，当时，，所以是函数的一个对称中心，所以②正确；当，，在区间内是增函数，所以④正确；的图象向右平移个单位长度得到，与函数不相等，所以③错误.故答案为：①②④.15、【解析】设扇形AOB的的弧长为l，半径为r，由已知可得l＝3π，r＝5，再结合扇形的面积公式求解即可.【详解】解：设扇形AOB的的弧长为l，半径为r，∴，l+2r＝10+3π，∴l＝3π，r＝5，∴该扇形的面积S，故答案为：.【点睛】本题考查了扇形的弧长公式及扇形的面积公式，重点考查了方程的思想，属基础题.16、16【解析】由题意易知：△和△为全等的等腰直角三角形，斜边长为，，故答案为16点睛：平面向量数量积类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.本题就是利用几何意义处理的.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）20秒.【解析】(1)根据OA求出R，根据周期T＝60求出ω，根据f(0)＝－2求出φ；(2)问题等价于求时t的间隔.小问1详解】由图可知：，周期，∵t＝0时，在，∴，∴或，，，且，则.∴.【小问2详解】点到水面的距离等于时，y＝2，故或，即，，∴当水车转动一圈时，求点到水面的距离不低于的持续时间20秒.18、(1)；⑵8.【解析】（1）设BC边的高所在直线为l，由斜率公式求出KBC，根据垂直关系得到直线l的斜率Kl，用点斜式求出直线l的方程，并化为一般式（2）由点到直线距离公式求出点A（﹣1，4）到BC的距离d，由两点间的距离公式求出|BC|，代入△ABC的面积公式求出面积S的值试题解析：(1)设边上高所在直线为，由于直线的斜率所以直线的斜率.又直线经过点，所以直线的方程为，即⑵边所在直线方程为：,即点到直线的距离，又.19、见解析【解析】连接AF并延长交BC于M.连接PM，因为AD∥BC，∴，又，∴，所以EF∥PM，从而得证.试题解析：连接AF并延长交BC于M.连接PM.因AD∥BC，所以＝.又由已知＝，所以＝.由平面几何知识可得EF∥PM，又EF⊄平面PBC，PM⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC.20、（1）0；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，由此可求的值；(2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和；（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.【小问1详解】因为满足性质，所以对于任意的x，恒成立.又因为，所以，，由可得，所以，；【小问2详解】若正数满足，等价于，记，显然，，因为，所以，，即.因为的图像连续不断，所以存，使得，因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.【小问3详解】若，则1即为零点；因为，若，则，矛盾，故，若，则，，，可得.取即可使得，又因为的图像连续不断，所以，当时，函数在上存在零点，当时，函数在上存在零点，若，则由，可得，由，可得，由，可得.取即可使得，又因为的图像连续不断，所以，当时，函数在上存在零点，当时，函数在上存在零点，综上，函数存在零点.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概