2024-2025学年高考数学一轮复习专题1.2命题及其关系充分条件与必要条件知识点讲解文科版含解析

专题1.2命题及其关系、充分条件与必要条件【核心素养分析】1.理解命题的概念。2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义。4.重点考查数学抽象、逻辑推理实力的核心素养。【学问梳理】学问点一命题及其关系1．命题用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题，其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．学问点二充分条件与必要条件1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p【特殊提示】1．充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．2．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于【典例剖析】高频考点一四种命题及其相互关系例1、（2024·福建三明一中模拟）命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1【答案】D【解析】命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的学问，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.【规律方法】由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题。【变式探究】（2024·浙江杭州十四中模拟）有下列四个命题，其中真命题是()①“若xy＝1，则lgx＋lgy＝0”的逆命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．A．①② B．①②③④C．②③④ D．①③④【答案】B【解析】①“若xy＝1，则lgx＋lgy＝0”的逆命题为“若lgx＋lgy＝0，则xy＝1”，该命题为真命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直(b－c)”，由a·b≠a·c可得a(b－c)≠0，据此可知a不垂直(b－c)，该命题为真命题；③若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．综上可得，真命题是①②③④.故选B.高频考点二充分条件与必要条件的推断例2、(1)(2024·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)(2024·高考北京卷)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】(1)B(2)C【解析】(1)由x2－5x<0可得0<x<5，由|x－1|<1可得0<x<2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．(2)b＝0时，f(x)＝cosx，明显f(x)是偶函数，故“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，又cos(－x)＝cosx，sin(－x)＝－sinx，所以cosx－bsinx＝cosx＋bsinx，则2bsinx＝0对随意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分必要条件，故选C.【规律方法】充要条件的推断方法(1)定义法：依据p⇒q，q⇒p进行推断.(2)集合法：依据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行推断.(3)等价转化法：依据一个命题与其逆否命题的等价性，把要推断的命题转化为其逆否命题进行推断.这个方法特殊适合以否定形式给出的问题.【变式探究】（2024·吉林长春外国语学校模拟）设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．高频考点三充分条件、必要条件的应用例3、（2024·湖南株洲二中模拟）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围。【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m≤10，))解得m≤3.又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.综上，m的取值范围是[0，3].【方法技巧】依据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件,常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围.(2)求解参数的取值范围时,肯定要留意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号确定端点值的取舍,处理不当简单出现漏解或增解的现象.【变式探究】（2024·山西平遥中学模拟）若关于x的不等式|x－1|<a成立的充分条件是0<x<4，则实数a的取值范围是()A．a≤1 B．a<1C．a>3 D．a≥3【答案】D【解析】|x－1|<a⇒－a<x