新高考数学各地市期末好题分类汇编专题14数列选择填空(原卷版+解析)

专题14数列选择填空一、单选题1．（2022·江苏扬州·高三期末）在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2022·江苏通州·高三期末）函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（）A．4097 B．4107 C．5119 D．51293．（2022·江苏宿迁·高三期末）记表示不超过实数的最大整数，记，则的值为（）A．5479 B．5485 C．5475 D．54824．（2022·江苏海安·高三期末）设数列为等比数列，若，，则数列的前项和为（）A． B． C． D．5．（2022·江苏如皋·高三期末）已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则a2022＝（）A．－2 B．－1 C．1 D．26．（2022·江苏常州·高三期末）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为．按复利计算，则小李每个月应还（）A．元 B．元C．元 D．元7．（2022·江苏苏州·高三期末）记为等差数列的前项和，若，则（）A． B． C． D．8．（2022·广东潮州·高三期末）等差数列的前n项和，若的值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．（2022·广东清远·高三期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2021这2021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为（）A．58 B．59 C．60 D．6110．（2022·广东·铁一中学高三期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到1009这1009个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（）A．100项 B．101项 C．102项 D．103项11．（2022·湖南常德·高三期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（）A．35 B．42 C．49 D．5612．（2022·湖南郴州·高三期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满足，且，若数列的前n项和为，则（）A．4950 B．4953 C．4956 D．495913．（2022·湖北武昌·高三期末）已知等差数列，是数列的前n项和，对任意的，均有成立，则不可能的值为（）A．3 B．4 C．5 D．614．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知复数数列满足，，，（为虚数单位），则（）A． B． C． D．15．（2022·湖北·高三期末）已知数列满足：，则下列说法正确的是（）A．若，则数列是单调递减数列 B．若，则数列是单调递增数列C．时， D．时，16．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2an－Sn＝2，记数列的前n项和为Tn，若对于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，则实数k的取值范围为（）A． B．C． D．17．（2022·山东淄博·高三期末）已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前项和为（）A． B． C． D．18．（2022·山东青岛·高三期末）已知是等差数列的前项和，的公差，是与的等比中项，设，则的前2022项和为（）A． B． C． D．19．（2022·山东淄博·高三期末）己知等比数列的前n项和为，若，，则公比（）A．－2 B．2 C． D．20．（2022·河北深州市中学高三期末）已知正项等比数列的前项和为，，且数列的前项和为，若对于一切正整数都有，则数列的公比的取值范围为（）A． B． C． D．二、多选题21．（2022·江苏常州·高三期末）已知数列中，，，使的可以是（）A．2019 B．2021 C．2022 D．202322．（2022·广东东莞·高三期末）已知函数，则下列结论正确的是（）A． B．C．关于的方程的所有根之和为 D．关于的方程的所有根之积小于23．（2022·广东罗湖·高三期末）已知d为等差数列的公差，为其前n项和，若为递减数列，则下列结论正确的为（）A．数列为递减数列 B．数列是等差数列C．，，依次成等差数列 D．若，，则24．（2022·广东佛山·高三期末）数列中，.则下列结论中正确的是（）A．0C．D．25．（2022·湖南娄底·高三期末）已知数列满足，，为数列的前n项和，则（）．A．B．是关于n的单调递增数列C．可以取到的任意一个值D．若对一切正整数n都成立，则26．（2022·山东青岛·高三期末）在数列中，若，(为常数)，则称为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A．是等方差数列B．若数列既是等方差数列，又是等差数列，该数列必为常数列C．正项等方差数列的首项，且是等比数列，则D．若等方差数列的首项为2，公方差为2，若将，…这种顺序排列的10个数作为某种密码，则可以表示512种不同密码27．（2022·山东日照·高三期末）数列的各项均是正数，，，函数在点处的切线过点，则下列正确的是（）A．B．数列是等比数列C．数列是等比数列D．28．（2022·山东德州·高三期末）定义在区间上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.下列函数是“保等比数列函数”的为（）A． B． C． D．29．（2022·河北保定·高三期末）对于正整数是小于或等于的正整数中与互质的数的数目.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如，则（）A．B．数列为等比数列C．数列单调递增D．数列的前项和恒小于4三、双空题30．（2022·广东东莞·高三期末）龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图3）是以为斜边画出等腰直角三角形的直角边，所得的折线图，图4、图5依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.，，为第一代龙曲线的顶点，设第代龙曲线的顶点数为，由图可知，，，则_____；数列的前项和________.31．（2022·湖北襄阳·高三期末）如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记第块纸板的面积为，则（1）______，（2）如果，使得成立，那么的取值范围是______．32．（2022·山东济南·高三期末）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2；第二行得到数列；第三行得到数列，则第5行从左数起第6个数的值为________.用表示第行所有项的乘积，若数列满足，则数列的通项公式为________.33．（2022·山东临沂·高三期末）设数列满足且，则______，数列的通项______．34．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为的圆形纸，对折次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把次对折后得到的不同规格的图形面积和用表示，由题意知，，则________；如果对折次，则________.四、填空题35．（2022·江苏海门·高三期末）数列：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(LeonardoFibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为，．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为__________．36．（2022·江苏扬州·高三期末）数学中有许多猜想，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5不是质数．现设（n∈N*），bn＝，则数列{bn}的前21项和为__________．37．（2022·江苏无锡·高三期末）设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为__________.38．（2022·江苏苏州·高三期末）记数列的前项积为，写出一个同时满足①②的数列的通项公式：__________．①是递增的等比数列；②．39．（2022·广东揭阳·高三期末）在等差数列中，分别是方程的两个根，则__________.40．（2022·广东潮州·高三期末）设是首项为2的等比数列，是其前n项和．若，则_________．41．（2022·广东汕尾·高三期末）已知等差数列的前n项和是，且，则______．42．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知数列满足，的前项的和记为，则______.43．（2022·湖北江岸·高三期末）数列中，，，使对任意的恒成立的最大k值为___________.44．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）在等差数列中，，当取得最小值时，______.45．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）设函数，定义，其中，，则______.46．（2022·山东莱西·高三期末）记函数的图像在点处的切线的斜率为，则数列的前n项和为___________.47．（2022·山东泰安·高三期末）设等差数列的前项和为，若，则___________.48．（2022·山东烟台·高三期末）在等差数列中，，则______．49．（2022·河北唐山·高三期末）等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则______．50．（2022·河北张家口·高三期末）已知为等差数列，，，且、、成等比数列，则___________.专题14数列选择填空一、单选题1．（2022·江苏扬州·高三期末）在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据给定条件求出数列的通项，再计算，列式解不等式作答.【详解】设正项等比数列公比为q，由得，于是得，而，解得，因此，，，由得：，从而得：，而，解得，又，则，所以n的最小值为5.故选：C2．（2022·江苏通州·高三期末）函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（）A．4097 B．4107 C．5119 D．5129【答案】B【分析】根据新函数的定义，确定的值，然后用分组求和法、错位相减法求和．【详解】由题意时，，，在上奇数共有个，，，，设，则，相减得：，所以，所以．故选：B．3．（2022·江苏宿迁·高三期末）记表示不超过实数的最大整数，记，则的值为（）A．5479 B．5485 C．5475 D．5482【答案】B【分析】分别使、等，然后求和即可.【详解】由题意可知，当时，；当时，；当时，；当时，，所以.故选：B4．（2022·江苏海安·高三期末）设数列为等比数列，若，，则数列的前项和为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的求和公式可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，解得，因此，数列的前项和为.故选：C.5．（2022·江苏如皋·高三期末）已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则a2022＝（）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】A【分析】根据递推式可求出即可归纳出数列是一个周期为3的周期数列，再根据周期性即可求出的值．【详解】a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，，，，……由此推理可得数列是一个周期为3的周期数列，所以.故选：A6．（2022·江苏常州·高三期末）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为．按复利计算，则小李每个月应还（）A．元 B．元C．元 D．元【答案】A【分析】小李的还款x元每月要产生复利，小李的贷款元每月也要产生复利.这是本题的关键所在.【详解】设每月还元，按复利计算，则有即解之得，故选：A7．（2022·江苏苏州·高三期末）记为等差数列的前项和，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差数列的前项和公式，将进行化简,可得，然后利用通项公式将展开，并将代入，化简可得答案.【详解】，则，故选：C．8．（2022·广东潮州·高三期末）等差数列的前n项和，若的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据，即可得出答案.【详解】解：因为，所以.故选：B.9．（2022·广东清远·高三期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2021这2021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为（）A．58 B．59 C．60 D．61【答案】A【分析】根据题意先得到数列的首项及公差，再建立不等式即可求解.【详解】因为由1到2021这2021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为23，公差为35的等差数列，所以该数列的通项公式为．因为，所以．即该数列的项数为58．故选：A10．（2022·广东·铁一中学高三期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到1009这1009个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（）A．100项 B．101项 C．102项 D．103项【答案】B【分析】先求出数列的通项公式，然后根据通项公式进行求解项数.【详解】因为能被2除余1且被5除余1的数就能被10整除余1，所以按从小到大的顺序排成一列可得，由，得，故此数列的项数为101.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，熟记公式是求解的关键，属于容易题，侧重考查数学运算的核心素养.11．（2022·湖南常德·高三期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（）A．35 B．42 C．49 D．56【答案】B【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,则每轮新增感染人数为，经过n轮传染，总共感染人数为：，∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，由，故得，又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．12．（2022·湖南郴州·高三期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.已知数列满足，且，若数列的前n项和为，则（）A．4950 B．4953 C．4956 D．4959【答案】C【分析】由题利用累加法可得，进而可得，分类讨论的取值，即求.【详解】由，可得，根据累加法可得所以，故，当时，；当时，；当时，；当时，，因此.故选：C.13．（2022·湖北武昌·高三期末）已知等差数列，是数列的前n项和，对任意的，均有成立，则不可能的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由已知分析可得，公差，讨论当时，当，时，与的关系，计算即求得的取值范围,得出结果.【详解】等差数列，对任意的，均有成立，即是等差数列的前项和中的最小值，必有，公差，当，此时，、是等差数列的前项和中的最小值，此时，即，则当，此时是等差数列的前项和中的最小值，此时，，即，则,则有，综合可得：分析选项可得：BCD符合题意；故选：A14．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知复数数列满足，，，（为虚数单位），则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得的值.【详解】由已知可得，因此，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，，故.故选：D.15．（2022·湖北·高三期末）已知数列满足：，则下列说法正确的是（）A．若，则数列是单调递减数列 B．若，则数列是单调递增数列C．时， D．时，【答案】C【分析】将式子进行变形，构造等差数列，之后构造新函数，进而得到结果.【详解】由得，即，所以数列是以4为公差的等差数列，函数，A项，，，在上是单调递增函数，即数列是单调递增数列，B项，，在上是单调递减函数，即数列是单调递减数列，C项，时，可知，，，D项，时，，由C知，，故选：C.16．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2an－Sn＝2，记数列的前n项和为Tn，若对于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，则实数k的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围.【详解】依题意，当时，，，两式相减并化简得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，.，所以，所以的取值范围是.故选：A17．（2022·山东淄博·高三期末）已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前项和为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知函数的图象关于点对称，利用等差中项的性质结合正弦型函数的对称性质可求得结果.【详解】，由，可得，当时，，故函数的图象关于点对称，由等差中项的性质可得，所以，数列的前项和为.故选：D.18．（2022·山东青岛·高三期末）已知是等差数列的前项和，的公差，是与的等比中项，设，则的前2022项和为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差数列性质得，进而根据题意得，再结合得，故，，再根据裂项求和得的前项和，最后求解的前2022项和即可得答案.【详解】解：由等差数列的前项和公式得，因为是与的等比中项，所以，即，因为，所以，所以，即，因为，所以所以所以，所以的前项和，所以的前2022项和为故选：C19．（2022·山东淄博·高三期末）己知等比数列的前n项和为，若，，则公比（）A．－2 B．2 C． D．【答案】B【分析】利用等比数列的前项和公式列出方程组，能求出首项．【详解】由题得，等比数列的前项和为，，，，解得，．故选：B20．（2022·河北深州市中学高三期末）已知正项等比数列的前项和为，，且数列的前项和为，若对于一切正整数都有，则数列的公比的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题首先可设，通过排除这种情况，再然后设，通过等比数列的求和公式即可得出、，最后根据、、即可得出结果.【详解】因为等比数列是正项等比数列，所以，，若，则，，，不满足题意；若，则，，，，因为，，所以若，则，，，故数列的公比的取值范围为，故选：B.二、多选题21．（2022·江苏常州·高三期末）已知数列中，，，使的可以是（）A．2019 B．2021 C．2022 D．2023【答案】AD【分析】求出数列的前几项，从而可判断出数列为周期数列，进而可求出答案.【详解】因为，，所以，，，，，，，……所以数列为周期数列，且，所以，，，.故选：AD.22．（2022·广东东莞·高三期末）已知函数，则下列结论正确的是（）A． B．C．关于的方程的所有根之和为 D．关于的方程的所有根之积小于【答案】ACD【分析】利用函数的表达式依次判断.【详解】，，A正确；当时，，关于，当时，，（，表示不超过的整数）所以B错，的根为，，的根为，，的根为，，所有根的和为：，C正确；由，累加可得所以所有根之积小于，D正确.故选:ACD.23．（2022·广东罗湖·高三期末）已知d为等差数列的公差，为其前n项和，若为递减数列，则下列结论正确的为（）A．数列为递减数列 B．数列是等差数列C．，，依次成等差数列 D．若，，则【答案】BD【分析】根据题意可知等差数列公差，因此可例说明A,C的正误，利用等差数列前n和公式写出的表达式，判断B正确，再根据等差数列的性质，由，可推出，，从而说明D正确.【详解】由题意可知数列是等差数列，且递减，则，不妨举例如：则，这三项不构成递减数列，故A错；而,这三项不构成等差数列，说明C错；对于B，，是关于n的一次函数，因此是等差数列，故B正确；对于D，，则，，则，故，故D正确，故选：BD.24．（2022·广东佛山·高三期末）数列aA．0C．【答案】ABD【分析】由2an+2−an+1=−a【详解】因为数列an中，a所以2a则an+1−a所以an+1由累加法得an所以an当n为奇数时，an=2当n为偶数时，an=2所以0≤an≤1，a又a8=2故选：ABD25．（2022·湖南娄底·高三期末）已知数列满足，，为数列的前n项和，则（）．A．B．是关于n的单调递增数列C．可以取到的任意一个值D．若对一切正整数n都成立，则【答案】BD【分析】令时，可得，利用与的关系，可求，根据裂项求和可得，从而可判断选项BCD.【详解】当时，，即，当时，，所以，当时，，也满足，所以，所以A不正确；，故，因为关于n为单调递增，所以B正确；所以，但n只能取正整数，所以不可以取到的任意一个值，所以C不正确；若对一切正整数n都成立，则，所以D正确．故选：BD26．（2022·山东青岛·高三期末）在数列中，若，(为常数)，则称为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A．是等方差数列B．若数列既是等方差数列，又是等差数列，该数列必为常数列C．正项等方差数列的首项，且是等比数列，则D．若等方差数列的首项为2，公方差为2，若将，…这种顺序排列的10个数作为某种密码，则可以表示512种不同密码【答案】ABD【分析】选项A.由题意可判断；选项B.由题意有，分和两种情况可判断；选项C.当时可判断；选项D.由题意，，从而可判断.【详解】选项A.若，则，则，所以是等方差数列，故正确.选项B.由数列是等差数列，则由数列既是等方差数列,则，则即当时，数列为常数列当时，，结合，可得，所以数列为常数列故数列为常数列，所以选项B正确.选项C.由题意，则，由等比数列，则，即，解得或当时，，满足题意，故选项C不正确.选项D.数列是首项为2，公方差为2的等方差数列，则由题意，所以中的每一项，可能取正或负，有2种取法.所以，…有种不同的排法结果；所以选项D正确故选：ABD27．（2022·山东日照·高三期末）数列的各项均是正数，，，函数在点处的切线过点，则下列正确的是（）A．B．数列是等比数列C．数列是等比数列D．【答案】ABD【分析】求出函数在点处的切线方程，可得出，利用等比数列的定义可判断AB选项；计算得出，可判断C选项；推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的通项公式可判断D选项.【详解】对函数求导得，故函数在点处的切线方程为，即，由已知可得，对任意的，，则，即，所以，，所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，B对；，A对；且，故数列不是等比数列，C错；由上可知，因为，且，则，即，所以，且，故数列是等比数列，且首项为，公比为，因此，，D对.故选：ABD.28．（2022·山东德州·高三期末）定义在区间上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.下列函数是“保等比数列函数”的为（）A． B． C． D．【答案】AC【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可.【详解】设等比数列的公比为.对于A，则，故A是“保等比数列函数”；对于B，则常数，故B不是“保等比数列函数”；对于C，则，故C是“保等比数列函数”；对于D，则常数，故D不是“保等比数列函数”.故选：AC.29．（2022·河北保定·高三期末）对于正整数是小于或等于的正整数中与互质的数的数目.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如，则（）A．B．数列为等比数列C．数列单调递增D．数列的前项和恒小于4【答案】ABD【分析】根据欧拉函数的定义结合对数的运算判断A，由欧拉函数定义结合等比数的通项公式判断B，根据欧拉函数求出判断C，由欧拉函数求出，再由数列的错位相减法求和可判断D.【详解】因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，…，，共有个，所以，故A正确；因为与互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共有个，所以，则数列为等比数列，故B正确；因为，，，所以数列不是单调递增数列，故C错误；因为，所以.设，则，所以，所以，从而数列的前项和为，故D正确.故选：ABD三、双空题30．（2022·广东东莞·高三期末）龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图3）是以为斜边画出等腰直角三角形的直角边，所得的折线图，图4、图5依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.，，为第一代龙曲线的顶点，设第代龙曲线的顶点数为，由图可知，，，则_____；数列的前项和________.【答案】【分析】根据题意并观察图形即可得到的值；对已知的数据进行分析，可得，进而可得，再采用裂项相消，即可求出结结果.【详解】由题意可，观察可知，；由……易知，所以，所以.故答案为：，.31．（2022·湖北襄阳·高三期末）如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记第块纸板的面积为，则（1）______，（2）如果，使得成立，那么的取值范围是______．【答案】【分析】（1）根据题意可知，每次剪去的半圆的面积构成了一个等比数列，由此先求得，从而可求得答案；（2）根据题意只要使得，即可保证，使得成立，因此解不等式即可得答案.【详解】由题意可知，依次剪去一个更小的半圆，其半径为前一个半圆半径的一半，故每次剪去的半圆的面积组成了首项为，公比为的等比数列，第块纸板是剪了n-1次后得到的，故，故（1）；（2），使得成立，故只需，解得，而，所以，故答案为：；32．（2022·山东济南·高三期末）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2；第二行得到数列；第三行得到数列，则第5行从左数起第6个数的值为________.用表示第行所有项的乘积，若数列满足，则数列的通项公式为________.【答案】8【分析】（1）直接写出第5行的数列，即可解决；（2）首先归纳出，进而可以求得数列的通项公式.【详解】（1）根据题意，第5行的数列依次为：1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2从左数起第6个数的值为8；（2）,,,,故有则故答案为：①8；②33．（2022·山东临沂·高三期末）设数列满足且，则______，数列的通项______．【答案】【分析】设，根据题意得到数列是等差数列，求得，得到，利用，结合“叠加法”，即可求得.【详解】由题意，数列满足，设，则，且，所以数列是等差数列，所以，即，所以，当时，可得，其中也满足，所以数列的通项公式为.故答案为：；.34．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为的圆形纸，对折次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把次对折后得到的不同规格的图形面积和用表示，由题意知，，则________；如果对折次，则________.【答案】【分析】首先根据题意得到，再计算即可；根据题意得到，再利用分组求和法求和即可.【详解】因为，，所以，所以..故答案为：；四、填空题35．（2022·江苏海门·高三期末）数列：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(LeonardoFibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为，．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为__________．【答案】4【分析】先根据将式子化简，进而根据该数列项的个位数是以60为周期变化求得答案.【详解】因为，所以.又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以的个位数字相同，的个位数字相同，易知，则，所以的个位数字为4.故答案为：4.36．（2022·江苏扬州·高三期末）数学中有许多猜想，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5不是质数．现设（n∈N*），bn＝，则数列{bn}的前21项和为__________．【答案】【分析】先对进行化简，再以裂项相消法求数列{bn}的前21项和.【详解】＝＝＝n＋1，所以bn＝＝＝－，则＝－＋－＋＋－＝－＝．故答案为：37．（2022·江苏无锡·高三期末）设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为__________.【答案】【分析】根据，可得，同理可得，，根据等差数列求和公式，结合等差数列的性质，计算分析，即可得答案.【详解】由题意得，；，，，，，，，，.故答案为：2038．（2022·江苏苏州·高三期末）记数列的前项积为，写出一个同时满足①②的数列的通项公式：__________．①是递增的等比数列；②．【答案】(答案不唯一)【分析】利用题干条件得到，不妨令，进而求出首项和通项公式.【详解】，，．不妨设，则，．故答案为：(答案不唯一)39．（2022·广东揭阳·高三期末）在等差数列中，分别是方程的两个根，则__________.【答案】8【分析】利用等差数列的性质以及韦达定理得，利用等差数列的性质可得答案.【详解】