北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题2.10一元二次方程全章专项复习【3大考点12种题型】专题特训（学生版+教师版）

专题2.10一元二次方程全章专项复习【3大考点12种题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1一元二次方程】 2【题型1根据一元二次方程的定义求值】 2【题型2根据实际问题列一元二次方程】 2【题型3根据一元二次方程的根代入求值】 2【考点2解一元二次方程】 3【题型4一元二次方程的解法】 4【题型5一元二次方程根的判别式的应用】 5【题型6一元二次方程根与系数关系的应用】 6【题型7配方法的应用】 7【考点3实际问题与一元二次方程】 9【题型8列一元二次方程解决有关平均变化率的问题】 9【题型9列一元二次方程解决循环传播问题】 9【题型10列一元二次方程解决有关面积问题】 10【题型11列一元二次方程解决销售利润问题】 11【题型12一元二次方程与动点综合应用】 12【考点1一元二次方程】（1）一元二次方程的定义等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意以下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数就是2；③就是整式方程。（2）一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。（3）一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义就是解方程过程中验根的依据。【题型1根据一元二次方程的定义求值】【例1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知一元二次方程a+5x2+4ax+a2−25=0有一个根为0，则【变式1-1】（23-24九年级·云南曲靖·期中）关于x的方程ax2−3x+2=0是一元二次方程，则（

A．a>0 B．a≠0 C．a=1 D．a≥0【变式1-2】（23-24九年级·广西崇左·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（

）A．2x+1=0 B．x2+1=0 C．y2【变式1-3】（23-24九年级·浙江嘉兴·期中）若方程m+2xm2−2+m−1【题型2根据实际问题列一元二次方程】【例2】（23-24九年级·贵州贵阳·期中）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步?”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步?利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为，化为一般形式．【变式2-1】（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为．【变式2-2】（2024·江苏南通·模拟预测）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为．【变式2-3】（23-24九年级·河南南阳·期中）某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为3000千克，出油率为55%．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2023千克．已知新品种花生的每公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是每公顷产量增长率的一半，求出油率的增长率．若设：出油率的增长率为x，则根据题意，可列方程为：．【题型3根据一元二次方程的根代入求值】【例3】（2024九年级·江苏·专题练习）已知a是方程x2−2x−2024=0的根，则代数式2a2【变式3-1】（2024·北京东城·模拟预测）若x=3是关于x的方程ax2−bx=6的解，则6a−2b+2023【变式3-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知m是一元二次方程x2+x−1012=0的一个根，则2024−2m【变式3-3】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，【考点2解一元二次方程】（1）直接开平方法解一元二次方程如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边就是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解的x1=a,x2=-a、直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根就是零；负数没有平方根。直接开平方法解一元二次方程的步骤就是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。（2）配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。①把常数项移到等号的右边；②方程两边都除以二次项系数；③方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；④若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。（3）公式法解一元二次方程一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=−b±一元二次方程求根公式的推导过程，就就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。公式法解一元二次方程的具体步骤：①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值；②确定公式中a,b,c的值，注意符号；③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c与b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。（4）一元二次方程根的判别式式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac、一元二次方程根的判别式：△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根（5）因式分解法解一元二次方程把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。因式分解法的详细步骤：①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式；③令每一个因式分别为零，的到一元一次方程；④解一元一次方程即可的到原方程的解。（6）一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q;若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2则有x1+x2=-pa,x1x2=ca.【题型4一元二次方程的解法】【例4】（23-24九年级·北京·期中）方程x2−8x+15=0的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是【变式4-1】（23-24九年级·广西崇左·期中）用适当的方法解下列方程(1)x(2)x(3)y+1(4)2【变式4-2】（23-24九年级·甘肃酒泉·期中）在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为a#b=a2−b2【变式4-3】（2024·北京东城·模拟预测）如果x=5是关于x的一元二次方程x−mx−4+m=n的一个根，那么关于x的一元二次方程x+m−1x+3−mA．x1=−4,x2=2 B．x1【题型5一元二次方程根的判别式的应用】【例5-1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）关于x的一元二次方程m−12x2A．m>34 B．m>34且m≠1 C．m≥3【例5-2】（23-24九年级·山东淄博·期中）已知：关于x的一元二次方程mx2−3(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根．【变式5-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）对于实数m，n定义一种新运算：m★n=mm−n，若关于x的方程x★2=k（k为整数）有两个相等的实数根，则k【变式5-2】（2024·北京东城·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2(1)利用判别式判断方程实数根的情况；(2)若该方程只有一个根小于2，求m的取值范围．【变式5-3】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根kA．若﹣1＜a＜0，则ka>kb B．若C．若0＜a＜1，则ka<kb D．若【题型6一元二次方程根与系数关系的应用】【例6-1】（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程x2−2mx+m2=4有两个根x1、x【例6-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b分别为方程x2−2x−c=0的两个不相等的实数根，则1a+A．14 B．12 C．2【例6-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于x的一元二次方程x2−10x+m=0的两个实数根分别是一个菱形的两条对角线长，且该菱形的面积为11，则菱形的边长为【变式6-1】（23-24九年级·浙江宁波·期中）十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2(1)x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2k+1(2)已知：α,βα>β是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，设s1=α+β，s2=α2+β①直接写出s1，s②经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n≥3时，请猜想【变式6-2】（23-24九年级·四川凉山·期中）若a，b是两个不相等的实数，且满足a2−a=3，b2−b=3，则代数式【变式6-3】（2024·浙江·模拟预测）已知方程x2+bx+c=0（x为实数），请你解答下列问题：(1)若b=2,c=−1，解此方程；(2)若b−c=1，求证：此方程至少有一个实数根；(3)设此方程有两个不相等的实数根分别为x1,x2．若【变式6-4】（2024·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程a1x2+b1x+c1=0的两根之和x1比如：一元二次方程x2−2x−3=0的两根分别为x1=3,x(1)已知一元二次方程x2(2)已知“再生韦达方程”x2【题型7配方法的应用】【例7-1】（23-24九年级·山东泰安·期中）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：x2+2x+2=x2+2x+1−1+2=x+12+1≥1，所以x+2x+2的最小值为(1)尝试：①2x2−4x+5=2x2−2x+1−1+5=2②−x2−2x=−x2−2x−1+1=−x+1(2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是18m【例7-2】（23-24九年级·四川南充·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成a2+b2(a，b【解决问题】：（1）下列各数中，“完美数”有_____(只填序号)；①10

②24

③34

④60【探究问题】：（2）若y=x2−4x+13可配方成y=(x−m)2+n（3）已知S=a2+4ab+5b2−2b+k(a，b是整数，【拓展应用】：（4）已知实数x，y均满足x−y2=3【变式7-1】（2024·安徽马鞍山·二模）已知a,b,c为实数，且b+c=5−4a+3a2,c−b=1−2a+a2A．a<b≤c B．b<a≤c C．b≤c<a D．c<a≤b【变式7-2】（23-24九年级·湖北鄂州·期中）已知实数m，n满足m2−2am+1=0，n2−2an+1=0，且m≠n，若a≥2，则代数式【变式7-3】（2024·四川成都·二模）在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为0.8，1.2，1.3，1.5时，设最佳值为a，那么(a−0.8)2+(a−1.2)2+(a−1.3)2+(a−1.5)2应为最小，此时a=；设某次实验测量了m次，由这【变式7-4】（23-24九年级·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2解：x2∵无论x取何实数，都有x+12∴x+12+2≥2，即【尝试应用】（1）请直接写出2x2+8x+9【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式x2【创新应用】（3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=20，求四边形ABCD的面积最大值．【考点3实际问题与一元二次方程】【题型8列一元二次方程解决有关平均变化率的问题】【变式8-1】（23-24九年级·重庆·期中）某县开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，2021、2022年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为．【变式8-2】（23-24九年级·广东佛山·期中）甲商品的售价为每件40元．(1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？【变式8-3】（23-24九年级·重庆·期末）某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积均为32平方米，现计划为100套公寓地面铺地砖，根据用途的不同选用了A、B两种地砖，其中50套公寓全用A种地砖铺满，另外50套公寓全用B种地砖铺满，A种地砖是每块面积为0.64平方米的正方形，B种地砖是每块而积为0.16平方米的正方形，且A种地砖每块的进价比B种地砖每块的进价高40元，购进A、B两种地砖共花费350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余）（1）求A、B两种地砖每块的进价分别是多少元？（2）实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满A种地砖的公寓套数增加了a%，铺满B种地砖的公寓套数增加了3a%，由于地砖的购进量增加．B种地砖每块进价在（1）问的基础上降低了a%，但A种地砖每块进价保持不变，最后购进A、B两种地砖的总花费比原计划增加了57a%，求【题型9列一元二次方程解决循环传播问题】【例9】（23-24九年级·河南新乡·阶段练习）2020年赛季中国男子篮球职业联赛，采用循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程（）A．12x(x−2)=380 C．12x(x+1)=380 【变式9-1】（23-24九年级·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？【变式9-2】（23-24九年级·全国·课后作业）某足球赛实行主客场循环赛制，经计算共要进行132场比赛，参加比赛的足球队有多少支？【变式9-3】（23-24九年级·广东东莞·期末）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？【题型10列一元二次方程解决有关面积问题】【例10】（2024·天津河西·一模）把一根长为80cm①当AF的长是12cm时，BC的长为8②这两个正方形的面积之和可以是198cm③这两个正方形的面积之和可以是288cm其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式10-1】（23-24九年级·江苏扬州·期中）将正方形板材①、②、③如图放置，已知正方形①、②的边长分别是16cm、24cm，若线段PQ恰好分这三个正方形成面积相等的两部分，则正方形③的边长为【变式10-2】（2024·福建莆田·一模）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．连接AE,BE，若△ADE与△BEH的面积相等，AF=2，则EH的长为．【变式10-3】（23-24九年级·河南洛阳·阶段练习）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27m,AB位置的墙最大可用长度为15m），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在EH,FG,BC上各留1(1)若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为7m，则AD=(2)若饲养场（矩形ABCD）的面积为192m2，求边(3)饲养场的面积能达到198m2吗？若能达到，求出边【题型11列一元二次方程解决销售利润问题】【例11】（23-24九年级·山西临汾·期末）品山西风味，享三晋美食，就在司徒小镇，十一假期某特色杂粮面店为扩大销售，增加盈利，计划降价销售，该杂粮面店的成本价为每碗4元，若每碗卖18元，平均每天将销售200碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售20碗，为维护城市形象，店家现规定每碗售价不得超过15元，若每天盈利2800元，则每碗售价应为（

）A．15元 B．14元 C．13元 D．12元【变式11-1】（23-24九年级·全国·课后作业）一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（）A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元【变式11-2】（23-24九年级·云南曲靖·期中）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为16元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件，若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘培店生产的是第几档次的产品？【变式11-3】（2024·福建龙岩·模拟预测）龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？【变式11-4】（23-24九年级·重庆沙坪坝·期中）四川省会理县是全国有名的石榴之乡，由于石榴味道酸甜可口，具有保护血管、调节血压等功效，所以深受人们喜爱．今年8月，小张为了在网上开辟营销市场，在网上售卖了两种类型的石榴：一种是豪华装大型果实（简称“大果”），一种是豪华装超大型果实（简称“帝王果”）．(1)网友小红花了208元买了2箱大果和1箱帝王果，小华花了224元买了1箱大果和2箱帝王果，每箱大果和帝王果的售价分别是多少？(2)在（1）的条件下，正常情况平均每天可销售90箱大果，30箱帝王果，为了减少库存，小张决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降价2元，大果的销售每天可增加3箱，帝王果的售价和销量不变，如果小张每天销售总额为8142元，每箱大果的售价应该降低多少？【题型12一元二次方程与动点综合应用】【例12】（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A(0，2)、C(6，0)作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动设移动时间为t秒，当t为时，△PQB为直角三角形．【变式12-1】（23-24九年级·河南郑州·期中）如图，矩形ABCD中，AB=2cm，BC=3cm，点E从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿CD以1cm/s的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当△AEF是以AFA．6+31 B．6−31 C．6 D．6+31【变式12-2】（23-24九年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cms的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点(1)几秒后△PBQ的面积等于5cm(2)几秒后PQ⊥DQ．【变式12-3】（23-24九年级·山东烟台·期中）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，(1)如图1，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（到达点C即停止运动）．如果点P，Q分别从A，①经过多少秒钟，△PBQ的面积等于8 ②线段PQ能否将△ABC分成面积为1:3的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；(2)如图2，若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，直接写出几秒后，△PBQ的面积为

专题2.10一元二次方程全章专项复习【3大考点12种题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1一元二次方程】 1【题型1根据一元二次方程的定义求值】 1【题型2根据实际问题列一元二次方程】 3【题型3根据方程的根整体代入求代数式的值】 4【考点2解一元二次方程】 6【题型4一元二次方程的解法】 8【题型5一元二次方程根的判别式的应用】 10【题型6一元二次方程根与系数关系的应用】 13【题型7配方法的应用】 19【考点3实际问题与一元二次方程】 26【题型8列一元二次方程解决有关平均变化率的问题】 26【题型9列一元二次方程解决循环传播问题】 29【题型10列一元二次方程解决有关面积问题】 32【题型11列一元二次方程解决销售利润问题】 36【题型12一元二次方程与动点综合应用】 40【考点1一元二次方程】（1）一元二次方程的定义等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意以下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数就是2；③就是整式方程。（2）一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。（3）一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义就是解方程过程中验根的依据。【题型1根据一元二次方程的定义求值】【例1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知一元二次方程a+5x2+4ax+a2−25=0【答案】5【分析】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．根据一元二次方程的根就是一元二次方程的解，把x=0代入方程代入进行求解即可．【详解】解：∵一元二次方程a+5x∴把x=0代入方程得：a2解得：a=5或a=−5，∵a+5≠0，即a≠−5，∴a=5，故答案为：5．【变式1-1】（23-24九年级·云南曲靖·期中）关于x的方程ax2−3x+2=0A．a>0 B．a≠0 C．a=1 D．a≥0【答案】B【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax【详解】解：若关于x的方程ax2−3x+2=0故选：B．【变式1-2】（23-24九年级·广西崇左·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（

）A．2x+1=0 B．x2+1=0 C．y2【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A、2x+1=0是一元一次方程，故此选项不符合题意；B、x2C、y2D、x2故选：B．【变式1-3】（23-24九年级·浙江嘉兴·期中）若方程m+2xm2−2+m−1【答案】2【分析】此题主要是注意一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到m2−2=2且m+2≠0，求得【详解】解：根据一元二次方程的定义，得m2−2=2且解得m=2.故答案为：2【题型2根据实际问题列一元二次方程】【例2】（23-24九年级·贵州贵阳·期中）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步?”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步?利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为，化为一般形式．【答案】xx+12=864【分析】本题主要考查了列方程解应用题．一元二次方程的一般形式为：ax【详解】设宽为x步，则长为(x+12)步，根据题意得xx+12化为一般式为：x2故空1答案为：xx+12空2答案为：x2【变式2-1】（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为．【答案】6500【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可得6月份租车量为65001+x2次，进而可求解；掌握增长率的典型模型a1+x【详解】解：由题意得65001+x故答案：65001+x【变式2-2】（2024·江苏南通·模拟预测）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为．【答案】50−x−25【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键．设每件商品售价降低x元，根据题意列出方程即可．【详解】解：设每件商品售价降低x元则每天的利润为：50−x−25×故答案为：50−x−25×【变式2-3】（23-24九年级·河南南阳·期中）某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为3000千克，出油率为55%．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2023千克．已知新品种花生的每公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是每公顷产量增长率的一半，求出油率的增长率．若设：出油率的增长率为x，则根据题意，可列方程为：．【答案】3000×【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．根据“出油率增加是每公顷产量增长率的一半”可得公顷产量增长率为2x，根据“原有花生品种每公顷产量为3000千克，出油率为55%．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2023千克”即可列出关于x【详解】解：出油率增长率为x，则公顷产量增长率为2x，依题意有：3000×1+2x故答案为：3000×1+2x【题型3根据一元二次方程的根代入求值】【例3】（2024九年级·江苏·专题练习）已知a是方程x2−2x−2024=0的根，则代数式2a【答案】4046【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到a2【详解】解：a是方程x2∴a2∴a2∴2a故答案为：4046．【变式3-1】（2024·北京东城·模拟预测）若x=3是关于x的方程ax2−bx=6的解，则6a−2b+2023【答案】2027【分析】此题考查了一元二次方程的解及代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把x=3代入方程求出3a−b=2的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：把x=3代入方程得：9a−3b=6，即3a−b=2，则原式=2(3a−b)+2023=2×2+2023=2027，故答案为：2027．【变式3-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知m是一元二次方程x2+x−1012=0的一个根，则2024−2m【答案】0【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．利用一元二次方程的解的定义得到m2+m=1012，再根据【详解】解：∵m是一元二次方程x2∴m2+m−1012=02024−2m将m2+m=1012代入得：原式故答案为：0．【变式3-3】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，【答案】3【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，设公共实数根为t，则at2+bt+c=0，bt2+ct+a=0，ct【详解】解：设公共实数根为t，则at2+bt+c=0，b∴三式相加得出a+b+ct2+∵t2∴a+b+c=0，∴a======3，故答案为：3．【考点2解一元二次方程】（1）直接开平方法解一元二次方程如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边就是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解的x1=a,x2=-a、直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根就是零；负数没有平方根。直接开平方法解一元二次方程的步骤就是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。（2）配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。①把常数项移到等号的右边；②方程两边都除以二次项系数；③方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；④若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。（3）公式法解一元二次方程一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=−b±一元二次方程求根公式的推导过程，就就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。公式法解一元二次方程的具体步骤：①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值；②确定公式中a,b,c的值，注意符号；③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c与b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。（4）一元二次方程根的判别式式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac、一元二次方程根的判别式：△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根（5）因式分解法解一元二次方程把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。因式分解法的详细步骤：①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式；③令每一个因式分别为零，的到一元一次方程；④解一元一次方程即可的到原方程的解。（6）一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q;若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2则有x1+x2=-pa,x1x2=c【题型4一元二次方程的解法】【例4】（23-24九年级·北京·期中）方程x2−8x+15=0的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是【答案】34或4【分析】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．先求出方程的解，再分为两种情况，根据勾股定理求出第三边即可．【详解】解：解方程x2−8x+15=0得：x1即直角三角形的两边为3或5，当长为5的边是直角边时，第三边为：32当长为5的边是斜边时，第三边为：52故答案为：34或4．【变式4-1】（23-24九年级·广西崇左·期中）用适当的方法解下列方程(1)x(2)x(3)y+1(4)2【答案】(1)x1=0(2)x(3)y1=−4(4)x1=【分析】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用因式分解法求解即可；（4）利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：x2x(x+5)=0，∴x=0或x+5=0，∴x1=0（2）解：解：x2(x−1)2∴x−1=0，∴x（3）解：(y+1)2(y+1)2(y+1+3)(y+1−1)=0，y(y+4)=0，∴y=0或y+4=0，∴y1=0（4）解：2x(2x−3)(x−1)=0，∴2x−3=0或x−1=0，∴x1=【变式4-2】（23-24九年级·甘肃酒泉·期中）在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为a#b=a2−b2【答案】x【分析】本题主要考查实数的运算，理解新定义是解题的关键．根据题意得到x−3#5=【详解】解：由题意得：x−3#5=∴x−3解得x1故答案为：x1【变式4-3】（2024·北京东城·模拟预测）如果x=5是关于x的一元二次方程x−mx−4+m=n的一个根，那么关于x的一元二次方程x+m−1x+3−mA．x1=−4,x2=2 B．x1【答案】A【分析】此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点．将x=5代入(x−m)(x−4+m)=n得到(5−m)(1+m)=n，然后结合(x+m−1)(x+3−m)=n得到x+3=5或x−1=1，然后求解即可．【详解】解：∵x=5是关于x的方程(x−m)(x−4+m)=n的根，∴(5−m)(5−4+m)=n，得(5−m)(1+m)=(−5+m)(−1−m)=n，∵(x+m−1)(x+3−m)=n，∴x+3=5或x−1=−5或x+3=−1或x−1=1，解得x=2或x=−4．故选：A．【题型5一元二次方程根的判别式的应用】【例5-1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）关于x的一元二次方程m−12x2A．m>34 B．m>34且m≠1 C．m≥3【答案】D【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到Δ≥0且m−1≠0【详解】解：∵一元二次方程m−12∴Δ=2m−12解得m≥34且故选：D．【例5-2】（23-24九年级·山东淄博·期中）已知：关于x的一元二次方程mx2−3(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根．【答案】(1)m≠3且m≠0(2)见解析【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键．（1）由方程有两个不相等的根，可得Δ=m−32>0，由一元二次方程的定义可得（2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证．【详解】（1）解：Δ=∵方程有两个不相等的实数根，∴m−32>0且∴m≠3且m≠0，∴m的取值范围是m≠3且m≠0；（2）解：由求根公式得x=−b±∴x1x2∴无论m为何值，方程总有一个固定的根是1．【变式5-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）对于实数m，n定义一种新运算：m★n=mm−n，若关于x的方程x★2=k（k为整数）有两个相等的实数根，则k【答案】−1【分析】本题考查了实数的新定义运算，一元二次方程根的判别式，先由新定义运算得xx−2=k，即得x2【详解】解：∵m★n=mm−n∴x★2=xx−2整理得，x2∵关于x的方程x2∴Δ=解得k=−1，故答案为：−1．【变式5-2】（2024·北京东城·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2(1)利用判别式判断方程实数根的情况；(2)若该方程只有一个根小于2，求m的取值范围．【答案】(1)方程有两个实数根(2)m≥0【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式．（1）根据根的判别式可得出Δ，利用偶次方的非负性即可判断；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x1=−3,x2=m+2【详解】（1）解：b2∴原方程有两个实数根；（2）解：x2故(x+3)(x−m−2)=0，∴x+3=0,x−m−2=0，解得，x=m+2或x=−3，∵方程只有一个根小于2，∴m+2≥2，解得：m≥0．【变式5-3】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根kA．若﹣1＜a＜0，则ka>kb B．若C．若0＜a＜1，则ka<kb D．若【答案】B【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，再代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab∴Δ=4a又∵ab≠0，∴a-b-1=0，即a=b+1，∴ax2-2ax+a=0，解得：x1=x2=1，∴k=1，k当ka>k即−1∴a（a-1）<0，即a<0a−1>0或解得0<a<1当ka<k即−1∴a（a-1）>0，即a>0a−1>0或解得：a>1或a<0．故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．【题型6一元二次方程根与系数关系的应用】【例6-1】（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程x2−2mx+m2=4有两个根x1、【答案】−9【分析】本题考查一元二次方程根于系数的关系，根据x1+x2=−【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2mx+m∴x1+x∵x1∴(2x2+3)∴x2∴(2×2m−3解得：m1=3，当m1=3时，x2=2×3−3当m2=−9时，x2故答案为：−9．【例6-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b分别为方程x2−2x−c=0的两个不相等的实数根，则1aA．14 B．12 C．2【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，完全平方公式，先由根与系数的关系得到a+b=2，再根据分式的混合计算法则求出所求式子的化简结果，最后利用整体代入法求解即可．【详解】解：∵a，b分别为方程x2∴a+b=2，∴1a===1故选：B．【例6-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于x的一元二次方程x2−10x+m=0的两个实数根分别是一个菱形的两条对角线长，且该菱形的面积为11，则菱形的边长为【答案】14【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，由题意，得a+b=10ab=22∴菱形的边长======14【点睛】本题考查了菱形的性质，根与系数关系定理，方程组，勾股定理，熟练掌握根与系数关系定理，方程组，勾股定理是解题的关键．【变式6-1】（23-24九年级·浙江宁波·期中）十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2(1)x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2k+1(2)已知：α,βα>β是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，设s1=α+β，s2=α2+β①直接写出s1，s②经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n≥3时，请猜想【答案】(1)k的值为1(2)①s1=1，s2=3；②猜想：当【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根的定义；（1）根据根与系数的关系即可求出答案．（2）①根据根与系数的关系，可得由根的定义可知，α2=α+1,β2=β+1②根据题意sn=αn+【详解】（1）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程∴Δ解得：k≥1由根与系数的关系可知∶x1∴x1+1整理得：k2解得：k1=−3(舍去)，∴k的值为1．（2）①由根的定义可知，α2又∵α,βα>β是一元二次方程x∴S②猜想：当n≥3时，s证明：因为α为方程的根，所以有α2−α−1=0，等式两边都乘以α同理可得：β两式相加可得：α根据题意sn=αn+∴sn−sn−1−所以当n≥3时，有sn【变式6-2】（23-24九年级·四川凉山·期中）若a，b是两个不相等的实数，且满足a2−a=3，b2−b=3，则代数式【答案】4【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0先根据一元二次方程的解得的定义得到a，b是方程x2−x−3=0的两个根，a2=a+3，将代数式化为【详解】解：∵a，b是两个不相等的实数，且满足a2−a=3，∴a，b是方程x2∴a+b=1，∵a2∴a2∴a3=(3+a)a+ab+4b=3a+=3a+3+a+ab+4b=3+ab+4(a+b)=4，故答案为：4．【变式6-3】（2024·浙江·模拟预测）已知方程x2+bx+c=0（(1)若b=2,c=−1，解此方程；(2)若b−c=1，求证：此方程至少有一个实数根；(3)设此方程有两个不相等的实数根分别为x1,x2．若【答案】(1)x(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程．（1）将b=2,c=−1代入x2（2）利用一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac=b2−4c（3）根据题意原方程为x2+bx+2=0，由一元二次方程根与系数的关系的到x1+x2=−b,【详解】（1）解：∵b=2,c=−1，∴原方程为x2∴解得：x1（2）证明：x2∴Δ=∵b−c=1，∴Δ=∵b−22∴Δ≥0∴此方程至少有一个实数根；（3）证明：根据题意原方程为x2+bx+2=0，且方程有两个不相等的实数根分别为∴x1+∵x1∴x1∴b2−8+4>0+4即∴x1【变式6-4】（2024·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程a1x2+b1x+c1=0的两根之和x1比如：一元二次方程x2−2x−3=0的两根分别为x1=3,x(1)已知一元二次方程x2(2)已知“再生韦达方程”x2【答案】(1)x(2)y2+6y+5=0【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出x1（2）令它的“原生方程”两根分别为y1,y2，根据题意得出【详解】（1）解：解x得x1则x1+所以一元二次方程x2−5x+6=0的“再生韦达方程”为即x2（2）解x2+x−30=0得令它的“原生方程”两根分别为y1则y1+y当y1+y2当y1+y综上所述，它的“原生方程”为y2+6y+5=0或【题型7配方法的应用】【例7-1】（23-24九年级·山东泰安·期中）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：x2+2x+2=x2+2x+1−1+2=x+12(1)尝试：①2x2−4x+5=2x2−2x+1−1+5=2②−x2−2x=−x2−2x−1+1=−x+1(2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是18m【答案】(1)①1，3(2)当AB为92米，BC为9米时，面积最大为81【分析】（1）①根据配方后的结果即可求解；②根据配方后的结果即可求解；（2）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为18−2x本题考查了利用配方法求代数式的最值，掌握配方法是解题的关键．【详解】（1）解：①∵2x∴当x=1时，代数式2x2−4x+5故答案为：1，3；②∵−x∴当x=−1时，代数式−x故答案为：−1，大；（2）解：设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为18−2x根据题意得，S=x18−2x当x=92时，S有最大值，最大值为∴围成的矩形花圃垂直于墙的栅栏长92m时，能使花圃面积最大，最大面积是【例7-2】（23-24九年级·四川南充·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成a2+b2(a，【解决问题】：（1）下列各数中，“完美数”有_____(只填序号)；①10

②24

③34

④60【探究问题】：（2）若y=x2−4x+13可配方成y=(x−m)2+n（3）已知S=a2+4ab+5b2−2b+k(a，b是整数，【拓展应用】：（4）已知实数x，y均满足x−y2=3【答案】（1）①③；（2）±6；（3）k=1，理由见解析；（4）2029【分析】本题考查配方法的应用．熟练掌握配方法，理解并掌握完美数的定义是解题的关键．（1）根据“完美数”的定义，判断各数是否能写成a2（2）通过配方将y=x2−4x+13变形，求出m（3）通过配方将S=a2+4ab+5（4）通过配方将x2+2y2−4x+2032变形为(x−1)【详解】解：（1）10=12+32∴10和34是“完美数”，24和60不是“完美数”，故答案为：①③；（2）y=x∴m=2，n=±3，∴mn=±6，故答案为：±6；（3）当k=1时，S是“完美数”，理由如下：S===a+2b当k=1时，S=a+2b∵a，b是整数，∴a+2b和b−1也是整数，∴当k=1时，S是“完美数”；（4）解：∵x−y∴y2=x−3∴原式====(x−1)2+2025又∵y2∴x≥3，∵1>0，∴当x≥3时，原式的值随着x的增大而增大，∴当x=3时，原式取最小值，最小值为：(3−1)2【变式7-1】（2024·安徽马鞍山·二模）已知a,b,c为实数，且b+c=5−4a+3a2,c−b=1−2a+a2A．a<b≤c B．b<a≤c C．b≤c<a D．c<a≤b【答案】A【分析】先根据已知等式求出b=a2−a+2,c=2【详解】∵b+c=5−4a+3a∴b=a∴b−a=a=a=(a−1)∴a<b，又∵c−b=1−2a+a∴b≤c，∴a<b≤c，故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．【变式7-2】（23-24九年级·湖北鄂州·期中）已知实数m，n满足m2−2am+1=0，n2−2an+1=0，且m≠n，若a≥2，则代数式【答案】8【分析】根据一元二次方程根与系数关系得到m+n和mn的值，代入(m−1)2【详解】∵m、n满足m2−2am+1=0∴m、n是方程x∴m+n=−ba∴====4=4=∵m≠n，a≥2(m−1)2+(n−1)故答案为：8．【点睛】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，配方法的运用，熟练掌握根和系数关系是解题关键．【变式7-3】（2024·四川成都·二模）在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为0.8，1.2，1.3，1.5时，设最佳值为a，那么(a−0.8)2+(a−1.2)2+(a−1.3)2+(a−1.5)2应为最小，此时a=；设某次实验测量了【答案】1.2m【分析】利用完全平方公式展开后合并，再将(a−0.8)2+(a−1.2)2+(a−1.3)2+(a−1.5)【详解】解：(a−0.8)==4=4a−1.2∵4a−1.2∴当a=1.2时，(a−0.8)2∵m次数据的得到的最佳值为a1，n次数据得到的最佳值为a设最佳值为a，与m个数据的差的平方和为m(a−a1)2m=m=(m+n)当a=ma1∴m+n次数据得到的最佳值为ma故答案为：1.2，ma【点睛】本题考查了配方法：根据完全平方公式为a2【变式7-4】（23-24九年级·浙江杭州·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2解：x2∵无论x取何实数，都有x+12∴x+12+2≥2，即【尝试应用】（1）请直接写出2x2+8x+9【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式x2【创新应用】（3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=20，求四边形ABCD的面积最大值．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据配方法进行配方即可求得答案；（2）根据配方法进行配方，得到x2（3）根据AC⊥BD，得到S四边形ABCD=12【详解】解：（1）2=2=2=2x+2∵2x+2故答案为：1；（2）∵x2∴无论x取何实数，二次根式x2（3）设AC，BD交于点O，如下图所示，∵AC⊥BD，S四边形设AC=x，则BD=20−x,S四边形∴四边形ABCD的面积最大值为：50．【点睛】本题主要考查了配方法在求最值中的应用，解决问题的关键是熟练掌握配方法，注意当配上一次项系数一半的平方时，二次项系数要化成“1”后才能配方【考点3实际问题与一元二次方程】（1）列一元二次方程解应用题的一般步骤：审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间的等量关系。设：就是指设元，也就就是设出未知数。列：就就是列方程，这就是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就的到含有未知数的等式，即方程。解：就就是解方程，求出未知数的值。验：就是指检验方程的解就是否保证实际问题有意义，符合题意。答：写出答案。（2）列一元二次方程解应用题的几种常见类型①数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数就是100a+10b+c、②增长率问题设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1±x）2=b。③利润问题利润问题常用的相等关系式有：总利润=总销售价-总成本；总利润=单位利润×总销售量；利润=成本×利润率。④图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。【题型8列一元二次方程解决有关平均变化率的问题】【例8】（23-24九年级·山东济宁·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆200人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同：(1)求进馆人次的月平均增长率；(2)因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由【答案】(1)20(2)能，理由见详解【分析】（1）设进馆人次的月增长率为x，利用第三个月进馆人次数=第一个月进馆人次数×(1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用第四个月进馆人次数=第三个月进馆人次数×(1+月平均增长率），可求出第四个月进馆人次数，再将其与400比较后即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【详解】（1）解：设进馆人次的月增长率为x，依题意得：200(1+x)解得：x1=0.2=20%答：进馆人次的月平均增长率20%（2）解：学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下：∵进馆人次的月平均增长率20%∴第四个月的进馆人次为288×(1+20%)=345.6（人次）．∵345.6<400，∴学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．【变式8-1】（23-24九年级·重庆·期中）某县开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，2021、2022年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为．【答案】1000(1+x)+1000【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据2020年投入此项工程的专项资金及该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率，可得出2021、2022年投入此项工程的专项资金，结合2021、2022年投入资金一共为3440万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，且该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，∴2021年投入此项工程的专项资金为1000(1+x)万元，2022年投入此项工程的专项资金为1000(1+x)根据题意得：1000(1+x)+1000(1+x)故答案为：1000(1+x)+1000(1+x)【变式8-2】（23-24九年级·广东佛山·期中）甲商品的售价为每件40元．(1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？【答案】(1)10(2)该商品在原售价的基础上，再降低25元【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用：平均变化率问题和销售问题，正确分析题目中的数量关系是解题的关键．(1)设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，可列方程求解．(2)根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月销售额为26250元列出方程，求解即可．【详解】（1）解：设这种商品平均降价率是x，依题意得：40解得：x1=0.1=10％答：这个降价率为10％（2）设降价y元，则多销售500+y根据题意得40−y500+y解得：y1=25因为尽可能扩大销售量，所以y=5（舍去）答：该商品在原售价的基础上，再降低25元．【变式8-3】（23-24九年级·重庆·期末）某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积均为32平方米，现计划为100套公寓地面铺地砖，根据用途的不同选用了A、B两种地砖，其中50套公寓全用A种地砖铺满，另外50套公寓全用B种地砖铺满，A种地砖是每块面积为0.64平方米的正方形，B种地砖是每块而积为0.16平方米的正方形，且A种地砖每块的进价比B种地砖每块的进价高40元，购进A、B两种地砖共花费350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余）（1）求A、B两种地砖每块的进价分别是多少元？（2）实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满A种地砖的公寓套数增加了a%，铺满B种地砖的公寓套数增加了3a%，由于地砖的购进量增加．B种地砖每块进价在（1）问的基础上降低了a%，但A种地砖每块进价保持不变，最后购进A、B两种地砖的总花费比原计划增加了57a%，求【答案】（1）A、B两种地砖每块的进价分别是60，20元；（2）a=50【分析】（1）利用每套公寓需要地砖的数量=公寓的面积÷每块地砖的面积，可分别求出每套公寓需要A种地砖的数量及每套公寓需要B种地砖的数量，设B种地砖每块的进价为x元，则A种地砖每块的进价为(x+40)元，根据等量关系：购进A种地砖的钱数+购进B种地砖的钱数=350000，即可列出方程，解方程即可；（2）根据等量关系：购进A种地砖的钱数+购进B种地砖的钱数=总钱数，列出方程，即可得到关于a的方程，解方程即可求出a的值，当然取正值即可．【详解】（1）一套公寓用A种地砖需要：32÷0.64=50块一套公寓用B种地砖需要：32÷0.16=200块设B种地砖每块的进价为x元由题可得：50×50×解得：x=2020+40=60元故A、B两种地砖每块的进价分别是60，20元．（2）由题可得：50整理得：a解得然：a1∵a>0，∴a=50【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，关键是找出等量关系，正确列出方程，同时（2）问是的方程比较复杂，要善于化简．【题型9列一元二次方程解决循环传播问题】【例9】（23-24九年级·河南新乡·阶段练习）2020年赛季中国男子篮球职业联赛，采用循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程（）A．12x(x−2)=380 C．12x(x+1)=380 【答案】B【分析】设参赛队伍有x支，根据采用循环制共需比赛380场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设参赛队伍有x支，根据题意，可得12故选：B．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，正确列出一元二次方程是解题关键．【变式9-1】（23-24九年级·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人(2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用：（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可；（2）根据（1）所求列式求解即可．【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，由题意得，1+x+x整理得x2解得x=9或x=−10（舍去），答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；（2）解：1+9+9答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．【变式9-2】（23-24九年级·全国·课后作业）某足球赛实行主客场循环赛制，经计算共要进行132场比赛，参加比赛的足球队有多少支？【答案】12支.【分析】每个队与其它队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有x个足球队，比赛场次共有x(x−1)场，再根据共有132场比赛活动来列出方程，从而求解．【详解】解：设有x个足球队参加，依题意，x(x−1)=132，整理，得x2(x−12)(x+11)=0，解得：x1=12，答：共有12个足球队参加比赛．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．此题的关键是抓住“每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场”列等量关系．【变式9-3】（23-24九年级·广东东莞·期末）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了8个人(2)经过三轮传染后共有729人会患流感【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据经过三轮传染后患流感的人数=经过两轮传染后患流感的人数+经过两轮传染后患流感的人数×8，即可求出结论．【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：1+x+x1+x1+x21+x=±9，x1=8，∴每轮传染中平均一个人传染了8个人；（2）解：81+81×8=729（人），答：经过三轮传染后共有729人会患流感．【题型10列一元二次方程解决有关面积问题】【例10】（2024·天津河西·一模）把一根长为80cm①当AF的长是12cm时，BC的长为8②这两个正方形的面积之和可以是198cm③这两个正方形的面积之和可以是288cm其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】①利用BC的长=（绳子的长度−4×AF的长）÷4，即可求出BC的长；②假设这两个正方形的面积之和可以是198cm2，设AF的长为xcm，则BC的长为(80−4x)÷4=(20−x)cm，根据这两个正方形的面积之和是198cm2，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=−4<0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是198cm2；③假设这两个正方形的面积之和可以是288cm2，设AF的长为ycm，则本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及正方形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【详解】解：①当AF的长是12cm时，BC的长是(80−12×4)÷4=8②假设这两个正方形的面积之和可以是198cm设AF的长为xcm，则BC的长为(80−4x)÷4=(20−x)根据题意得：x2整理得：x2∵Δ=∴原方程没有实数根，∴假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是198cm③假设这两个正方形的面积之和可以是288cm设AF的长为ycm，则BC的长为(80−4y)÷4=(20−y)根据题意得：y2整理得：y2解得：y1=10−211∵0<10−211∴符合题意，∴假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是288cm∴正确的结论有2个．故选：C．【变式10-1】（23-24九年级·江苏扬州·期中）将正方形板材①、②、③如图放置