2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第01讲函数的概念及其表示(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、多选题9．（2024下·重庆·高三彭水苗族土家族自治县中学校校联考开学考试）已知函数=，下列结论不正确的是（）A．定义域为 B．定义域为C．定义域为 D．定义域为10．（2024上·安徽淮北·高一淮北市实验高级中学校考阶段练习）数学上，高斯记号是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域定义在数学特别是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号.设，用表示不超过的最大整数.比如：，，.，已知函数，，（）则下列选项中正确的是（

）A． B．的值域为C．方程无实根 D．方程仅有一个实根三、填空题11．（2024上·广东肇庆·高一统考期末）已知函数，则.12．（2024上·广东广州·高一统考期末）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域是．四、解答题13．（2024上·山东枣庄·高一期末）已知函数．(1)点在的图象上吗?(2)当时，求的值；当时，求的值．14．（2024上·江苏扬州·高一统考期末）已知函数的定义域为集合，函数的值域为.(1)当时，求；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.B能力提升1．（2024上·河南商丘·高一校考期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024上·福建泉州·高一统考期末）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2024上·天津滨海新·高一统考期末）若函数有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2024上·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）函数的定义域为全体实数，则（

）A． B． C． D．5．（2024下·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）已知函数的最小值为-1，则.6．（2024上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第十一中学校考期末）已知函数.(1)判断函数的奇偶性，并证明．(2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围．C综合素养7．（2024上·北京西城·高一统考期末）对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合.(1)分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由，①；②；(2)若（）是集合中的元素，求的最小值；(3)若，求证：是的充分不必要条件.第01讲函数的概念及其表示(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）A夯实基础一、单选题1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解.【详解】由，得，解得，所以函数的定义域是.故选：B.2．（2023上·陕西榆林·高一校考阶段练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合函数有意义的条件计算即可得.【详解】由题意可知，，解得且；故该函数定义域为.故选：B.3．（2023上·全国·高一期末）函数的定义域为，若，，则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】利用赋值法求值即可.【详解】因为，，所以令，得，得，所以令，得，得.故选：C4．（2023上·江苏常州·高一统考期中）已知函数，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为，所以.故选：B5．（2023·全国·高一假期作业）下面各组函数中为相同函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【详解】函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A，与对应关系不同，故排除选项A；选项B、C中两函数的定义域不同，排除选项B、C．故选D．6．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）已知函数，若，则（

）A．8 B．7 C．2 D．0.5【答案】A【分析】分类讨论结合指对互换求解的值即可.【详解】当时，，所以若，则只能，所以，所以满足题意.故选：A.7．（2023上·甘肃酒泉·高一统考期末）已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据的解析式求出其值域，分类讨论求出的值域，结合两值域的关系可得答案.【详解】因为所以时，，时，，综上.当时，，，由题意，，即，解得；当时，，符合题意；当时，，，由题意，，即，解得；综上可得.故选：D.8．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）若函数的值域为，则实数的可能值共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】先得到当时，，再分，和三种情况，结合函数值域得到方程，求出相应的实数的值，得到答案.【详解】当时，，当时，，若，当时，，当时，，此时的值域为，不合题意；若，则时，，，由于，由题意需使；若，则时，，由于，故需使，即实数的可能值共有2个.故选：B．二、多选题9．（2024下·重庆·高三彭水苗族土家族自治县中学校校联考开学考试）已知函数=，下列结论不正确的是（）A．定义域为 B．定义域为C．定义域为 D．定义域为【答案】ABD【分析】根据函数的定义，求得的取值范围.【详解】若函数有意义，需满足，即，则，即的定义域为；故选：ABD10．（2024上·安徽淮北·高一淮北市实验高级中学校考阶段练习）数学上，高斯记号是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域定义在数学特别是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号.设，用表示不超过的最大整数.比如：，，.，已知函数，，（）则下列选项中正确的是（

）A． B．的值域为C．方程无实根 D．方程仅有一个实根【答案】ACD【分析】先进行分段化简函数，并画函数，图象，再结合图象逐项判断即可.【详解】由高斯函数的定义可得：当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，绘制函数图象如图所示，

故，故A正确；由图可知，的值域为，故B错误；由高斯函数的定义可得：当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，绘制函数图象如图所示，

对于C，由选项A知，在上的值域为，所以方程无实根，故C正确；对于D，当时，即，解得，当时，即，解得，结合函数图象知，方程仅有一个实根，故D正确.故选：ACD.三、填空题11．（2024上·广东肇庆·高一统考期末）已知函数，则.【答案】1【分析】根据分段函数的性质及诱导公式计算即可.【详解】由题意可知：，，所以.故答案为：112．（2024上·广东广州·高一统考期末）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域是．【答案】【分析】根据题意，当时，得到，结合不等式的性质，即可求解函数的值域，得到答案.【详解】由函数的函数值表示不超过x的最大整数，当时，可得，则，可得，因为，可得，所以函数的值域是.故答案为：.四、解答题13．（2024上·山东枣庄·高一期末）已知函数．(1)点在的图象上吗?(2)当时，求的值；当时，求的值．【答案】(1)不在(2)当时，；当时，.【分析】（1）计算出的值，即可得出结论；（2）代值计算可得出的值，解方程，可得出的值.【详解】（1）解：因为，所以，点不在的图象上.（2）解：当时，；若，则，即，解得.14．（2024上·江苏扬州·高一统考期末）已知函数的定义域为集合，函数的值域为.(1)当时，求；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）分别求出集合、，再求两个集合的并集；（2）根据题意，确定两个集合的包含关系，然后求得取值范围.【详解】（1）由题意得所以，所以；当时，在上单调增，则，∴；（2）若是的必要不充分条件，则是的真子集.当时，在上单调增，则，所以，解得；当时，，不符合题意；当时，在上单调减，则，不符合题意；综上，.B能力提升1．（2024上·河南商丘·高一校考期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将问题转化为对任意，同时恒大于0且恒不为1，分情况讨论求实数的取值范围即可.【详解】的定义域为，则对任意，同时恒大于0且恒不为1，对于，若，则时，不满足题意；若，则恒成立，因为，要满足恒大于0且恒不为1，则，所以的取值范围是．故选:A．2．（2024上·福建泉州·高一统考期末）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】判断时，，无最大值，由判断在时的单调性，可得单调性，确定最大值，结合题意列出不等式，即可求得答案.【详解】当时，在上单调递增，此时，无最大值；又因为在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，结合题意可得，解得，即实数的取值范围为，故选：B3．（2024上·天津滨海新·高一统考期末）若函数有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由分段函数解析式，结合指数、二次函数的性质，讨论、研究有最小值情况下参数范围.【详解】由在上递增，且值域为，则，解得.故答案为：2.6．（2024上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第十一中学校考期末）已知函数.(1)判断函数的奇偶性，并证明．(2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定的函数解析式，利用奇函数、偶函数定义判断即得.（2）探讨函数的单调性，并求出最小值，再借助一次型函数图象与性质列出不等式，求解即得.【详解】（1）函数是奇函数，当时，，则，当时，，当时，，则，因此，恒有成立，所以函数是奇函数.（2）当时，单调递减，当时，单调递减，又，因此函数在上单调递减，，由对所有恒成立，得，即，令，依题意，任意，，于是，解得，所以实数的取值范围是.C综合素养7．（2024上·北京西城·高一统考期末）对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合.(1)分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由，①；②；(2)若（）是集合中的元素，求的最小值；(3)若，求证：是的充分不必要条件.【答案】(1)答案见解析(2)1(3)证明见解析【分析】（1）判断①时，取结合定义进行分析；判断②时，根据的结果进行分析；（2）分别考虑：，然后根据定义结合对数运算以及对数函数单调性分析出时，时，由此可确定出的最小值；（3）根据定义直接分析充分性，证明必要性成立时取，然后分析在上的单调性，由此推出矛盾完成证明.【详解】（1）①不是.当时，，，所以不是集合中的元素；②是.，，所以是集合中的元素.（2）当时，，，，因为，在上单调递减，故成立，即；若，令，，，因为，在