2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第02讲同角三角函数的基本关系及诱导公式(知识+真题+4类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

第02讲同角三角函数的基本关系及诱导公式目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 2第三部分：高频考点一遍过 2高频考点一：①②③三剑客 2高频考点二：商数关系（与分式或多项式求值） 4高频考点三：诱导公式的计算与应用 5高频考点四：同角关系式和诱导公式的综合应用 7第四部分：典型易错题型 9备注：与分式或多项式求值时注意分子与分母要同时除以同一个不为“0”的数 9第五部分：新定义题 9第一部分：基础知识1、同角三角函数的基本关系(1)平方关系：．(2)商数关系：2、三角函数的诱导公式诱导公式一诱导公式二诱导公式三诱导公式四诱导公式五诱导公式六诱导公式七诱导公式八3、常用结论（1）同角三角函数关系式的常用变形（2）诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.第二部分：高考真题回顾1．（2021·全国·甲卷理）若，则（

）A． B． C． D．2．（2021·全国·新高考Ⅰ卷）若，则（

）A． B． C． D．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：①②③三剑客典型例题例题1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，则（

）A． B． C． D．例题2．（23-24高一下·山东临沂·开学考试）若则（

）A． B． C． D．例题3．（多选）（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知，，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．例题4．（23-24高一下·辽宁盘锦·阶段练习）已知(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．练透核心考点1．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则（

）A． B． C． D．或2．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的值域为．3．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知，且，则．4．（23-24高一下·上海·阶段练习）（1）已知，且，求的值；（2）已知，求的值.高频考点二：商数关系（与分式或多项式求值）典型例题例题1．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，则（

）A． B．2 C．1 D．例题2．（2024·福建泉州·模拟预测）若，，则（

）A．4 B．2 C． D．例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的值．例题4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知．(1)求及的值；(2)若，，，求．练透核心考点1．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）已知角的终边经过，(1)求的值；(2)求的值；3．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知角的终边经过点.(1)求的值；(2)求的值.4．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.(1)求的值.(2)求的值.高频考点三：诱导公式的计算与应用典型例题例题1．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）化简：.例题2．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数(1)求的值；(2)若，求的值．3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）如图所示，以轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆相交于点，已知点坐标为．(1)求，的值；(2)求的值．高频考点四：同角关系式和诱导公式的综合应用典型例题例题1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，．(1)求的值；(2)求的值．例题2．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在平面坐标系中，第二象限角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为.

(1)求的值；(2)求的值.练透核心考点1．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）（1）已知是第三象限角，且①求的值；②求的值．（2）化简：．2．（23-24高一下·北京延庆·阶段练习）已知，(1)当，求的值；(2)求的值．第四部分：典型易错题型备注：与分式或多项式求值时注意分子与分母要同时除以同一个不为“0”的数1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，则．2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值(1)；(2).第五部分：新定义题1．（22-23高一下·山东青岛·期中）对于函数，若存在非零常数M，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“M函数”；对于函数，若存在非零常数M，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“严格M函数”.(1)求证：，是“M函数”；(2)若函数，是“函数”，求k的取值范围；(3)对于定义域为R的函数对任意的正实数M，均是“严格M函数”，若，求实数a的最小值.第02讲同角三角函数的基本关系及诱导公式目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 2第三部分：高频考点一遍过 3高频考点一：①②③三剑客 3高频考点二：商数关系（与分式或多项式求值） 7高频考点三：诱导公式的计算与应用 11高频考点四：同角关系式和诱导公式的综合应用 16第四部分：典型易错题型 19备注：与分式或多项式求值时注意分子与分母要同时除以同一个不为“0”的数 19第五部分：新定义题 20第一部分：基础知识1、同角三角函数的基本关系(1)平方关系：．(2)商数关系：2、三角函数的诱导公式诱导公式一诱导公式二诱导公式三诱导公式四诱导公式五诱导公式六诱导公式七诱导公式八3、常用结论（1）同角三角函数关系式的常用变形（2）诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.第二部分：高考真题回顾1．（2021·全国·甲卷理）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.2．（2021·全国·新高考Ⅰ卷）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：①②③三剑客典型例题例题1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得.【详解】由两边平方得：，而，，则，因此，所以.故选：D例题2．（23-24高一下·山东临沂·开学考试）若则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由得到，再利用平方关系求解.【详解】因为所以，又所以，故选：D例题3．（多选）（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知，，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】结合同角三角关系将平方即可求解即可判断A，再利用平方关系求解判断B，化切为弦通分即可求解判断C，解方程即可求解判断D.【详解】由，得，所以，故选项A正确；因为，，所以，，又因为，所以，故选项B正确；因为，故选项C错误；由，，所以，故选项D错误；故选：AB例题4．（23-24高一下·辽宁盘锦·阶段练习）已知(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)16(2)(3)【分析】（1）两边平方，结合平方关系得由此即可进一步求解.（2）首先得，进一步由即可求解.（3）首先分别求得，然后由商数关系即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以所以；（2）因为，所以，所以，又因为，所以；（3）由，可得．所以．练透核心考点1．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】借助可得，结合所处象限可得，即可得，即可得解.【详解】由，，即，，为钝角，，，，，则，，，则.故选：B.2．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的值域为．【答案】[－1，1]【详解】设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，即sinxcosx＝，且－1≤t≤，所以y＝－＋t＋＝－（t－1）2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1，所以函数的值域为[－1，1].3．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知，且，则．【答案】/【分析】利用同角三角函数的平方关系计算即可.【详解】由可知，又，即，则，所以，故.故答案为：.4．（23-24高一下·上海·阶段练习）（1）已知，且，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）7；（2）【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系可求得，再由两角差的正切公式可得结果；（2）根据与的关系式判断出，即可得结果.【详解】（1），且，可得所以（2）由两边平方可得：即，所以，则，因此.高频考点二：商数关系（与分式或多项式求值）典型例题例题1．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，则（

）A． B．2 C．1 D．【答案】D【分析】根据正弦二倍角公式及同角三角函数基本关系式可得结果.【详解】由题意知，所以，故选：D．例题2．（2024·福建泉州·模拟预测）若，，则（

）A．4 B．2 C． D．【答案】B【分析】由二倍角的正弦和余弦公式化简已知式可得，再由同角三角函数的基本关系即可得出答案.【详解】由可得，则，因为，所以，所以，因为，所以，所以.故选：B.例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的值．【答案】1【分析】将所求式中的“1”替换成，得到正弦、余弦的齐次式，构造分母，分数上下同除以，即可化成关于的表达式,代入计算即得.【详解】∵，，∴原式．即．例题4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知．(1)求及的值；(2)若，，，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）将弦化切，即可求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得；（2）首先求出、、，再由两角差的正弦公式计算可得.【详解】（1）因为，所以，解得，所以，.（2）因为，，所以，又，解得或（舍去），又，，所以，所以.练透核心考点1．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由商数关系求，再将所求式由商数关系化成关于的齐次式即可求解.【详解】由可得，.故选：D.2．（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）已知角的终边经过，(1)求的值；(2)求的值；【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角函数的定义求解；（2）分子分母同时除以求解.【详解】（1）解：因为角的终边经过，所以；（2）因为，所以.3．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知角的终边经过点.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角函数定义得，进一步结合诱导公式化简求值即可；（2）由商数关系化成关于的齐次式即可求解.【详解】（1）由条件知，；（2）.4．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.(1)求的值.(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由条件计算出的值，利用齐次式化简代入计算可得；（2）诱导公式化简，利用齐次式化简代入计算即可【详解】（1）由已知有；；（2）.高频考点三：诱导公式的计算与应用典型例题例题1．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）化简：.【答案】【分析】利用诱导公式进行求解即可.【详解】.故答案为：例题2．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由诱导公式进行化简，再由商数关系求值即可.（2）求出，再化为齐次式，化弦为切，代入求值.【详解】（1），所以.（2）因为，原式=.例题3．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知.(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用诱导公式化简得到答案.（2）计算，从而可得，从而可求解.【详解】（1）..（2）由诱导公式可知，即，又因为是第三象限角，所以，所以.练透核心考点1．（23-24高一下·四川凉山·阶段练习）已知．(1)若，求的值；(2)若，且，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函数的诱导公式进行化简，然后利用弦化切进行求值即可．（2）由两角和差的三角公式进行转化求解即可．【详解】（1），由已知，，得，所以．（2），，得，由，得，则，，，．．．．而，．．．2．（23-24高二下·辽宁·开学考试）已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据结合诱导公式求解即可；（2）先根据商数关系及二倍角公式化简，再根据诱导公式及二倍角公式将所求角化为已知角，进而可得出答案.【详解】（1）；（2）.3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）如图所示，以轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆相交于点，已知点坐标为．(1)求，的值；(2)求的值．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用点在圆上以及三角函数的定义计算即可；（2）利用诱导公式化简，然后转化为用表示，代入的值计算即可.【详解】（1）在单位圆上，且点在第二象限，解得．由三角函数定义可知，（2）高频考点四：同角关系式和诱导公式的综合应用典型例题例题1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角三角函数关系求出的值，再利用诱导公式，结合正余弦的齐次式法即可得解；（2）利用诱导公式与两角和的余弦公式，结合二倍角公式与正余弦的齐次式法即可得解.【详解】（1）因为，，所以，则，所以；（2）.例题2．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在平面坐标系中，第二象限角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为.

(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据角的终边与单位圆相交的三角函数定义可得，再利用同角的三角函数基本关系式即可求得；（2）利用诱导公式化简所求式，得弦的齐次式，化弦为切即得.【详解】（1）依题意得：，因是第二象限角，故，于是（2）由，由（1）得：，故所求式为，即的值为.练透核心考点【答案】(1)(2)【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解；（2）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求解即可.【详解】（1）