人教版2024-2025学年九年级数学上册21.4一元二次方程的应用(压轴题专项讲练)(学生版+解析)

专题21.4一元二次方程的应用典例分析典例分析【典例1】正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．（1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？（2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？【思路点拨】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可；（2）设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．【解题过程】解：（1）设总共生产了a袋手工汤圆，依题意得，0.3a解得a=9000，经检验a=9000是原方程的解，答：总共生产了9000袋手工汤圆（2）设促销时每袋应降价x元，当刚好10天全部卖完时，依题意得，225×2×整理得：xΔ=∴方程无解∴10天不能全部卖完∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为15−13∴依题意得，225×2×解得x∵要促销∴x=3即促销时每袋应降价3元．学霸必刷学霸必刷1．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是．2．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知，数轴上从左到右有三点A，B，C，它们在数轴上对应的数分别为a，b，c(a，b，c均不为整数），且6<c−a<7，k<b<k+1（k为正整数）．在点A与点B之间的所有整数依次记为p1,p2,p3……，pm；在点B3．（23-24九年级上·江苏·期中）已知3个连续整数的和是m，它们的平方和是n，且n=74．（23-24九年级上·山东德州·期中）今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”，若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病．（1）每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？（2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？5．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）暑假期间，河北涿州的洪涝灾害，牵动着全国人民的心．某单位开展了“驰援涿州，我们在路上”赈灾捐款活动，第一天收到捐款8000元，第三天收到捐款11520元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？6．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元?7．（22-23九年级上·重庆綦江·期中）温润有度，为爱加温．近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、B两种型号的暖风机共900台，每台A型号暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元．（1）若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？（2）由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A、B两种型号的暖风机全部售完．该商场在12上旬又购进了A、B两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台A型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠12a%，A型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最高购进量增加14a%，每台B型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠15a%，B型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最低购进量增加a8．（22-23八年级下·广东江门·期末）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．（1）若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：①每千克茶叶应降价多少元？②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？（2）在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．9．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．（1）求甲工程队每小时修的路面长度；（2）通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了3m米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．10．（22-23九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．（1）原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？（2）实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降10m元（m≤10)），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？11．（2023·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．（1）若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的65（2）实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖16a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖29a米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多12．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）1月21日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家50千米的A停车场后，再步行1千米到达目的地，共花了1.5小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的25倍．（1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？（2）乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快m千米/小时(m>0)，乙开车时间比甲开车时间少124m小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快14m千米/小时，乙步行了13．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程lcm与时间ts满足关系：l=12t（1）甲运动4s后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？14．（22-23九年级下·重庆丰都·阶段练习）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．（1）求小明、小红的跑步速度；（2）若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．15．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）某旅行社为吸引市民组团去遵义某景区旅游，推出了如图收费标准：（1）若甲单位组织25名员工参加本次旅游，应支付该旅行社费用为元；（2）若乙单位组织员工参加本次旅游，共支付旅行社费用15000元，求出乙单位参加本次旅游的员工人数．16．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）致富新村要修建一个长方形的养猪场，猪场的一面靠墙（墙长25米），另外三边用长40米的木栏围成．（1）设AB长为x米，则BC的长为______米；（2）AB长为多少时，养猪场的面积为150平方米？（3）养猪场的面积能否为240平方米？若能，请求出AB的长度；若不能，请说明理由．17．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）为了促进劳动课程的开展，某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图，墙AF=8m，AE=4m，篱笆长为28m，设CD的长为xm，生态园的一边由墙AF和一节篱笆BF构成，另一边由墙AE和一节篱笆CE（1）BD=m；（用含x的代数式表示）（2）若生态园的面积为75m2，求（3）为了进出生态园方便，现决定在CD边上留出2m宽的门，此时生态园的面积能否达到110m2？如果能，请求出生态园的长18．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q

（1）填空：BQ=______cm，PB=______cm；（用含t的代数式表示）；（2）当t为几秒时，PQ的长度等于42（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的23？如果存在，求出t19．（22-23九年级上·广东清远·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm，BC=8cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿BC向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为（1）当t=1时，直接写出P，Q两点间的距离．（2）是否存在t，使得△BPQ是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）是否存在t，使得△BPQ的面积等于10cm2，若存在，请求出20．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB=6cm,AD=2cm，动点PQ分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D（1）当t=1s时，四边形BCQP（2）当t为何值时，点P和点Q的距离是3cm？（3）当t=__________s时，以点PQD为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案）专题21.4一元二次方程的应用典例分析典例分析【典例1】正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．（1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？（2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？【思路点拨】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可；（2）设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．【解题过程】解：（1）设总共生产了a袋手工汤圆，依题意得，0.3a解得a=9000，经检验a=9000是原方程的解，答：总共生产了9000袋手工汤圆（2）设促销时每袋应降价x元，当刚好10天全部卖完时，依题意得，225×2×整理得：xΔ=∴方程无解∴10天不能全部卖完∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为15−13∴依题意得，225×2×解得x∵要促销∴x=3即促销时每袋应降价3元．学霸必刷学霸必刷1．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是．【思路点拨】设五个连续整数为x，x+1,x+2,x+3,x+4，根据题意列方程求解即可．【解题过程】解：将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么其余四个数依次为x+1,x+2,x+3,x+4，根据题意，得x2也就是x2根据方程x2所以x=−2或x=10．因此这五个连续整数依次为−2，−1，0，1，2或10，11，12，13，14．故答案为：−2，−1，0，1，2或10，11，12，13，14．2．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知，数轴上从左到右有三点A，B，C，它们在数轴上对应的数分别为a，b，c(a，b，c均不为整数），且6<c−a<7，k<b<k+1（k为正整数）．在点A与点B之间的所有整数依次记为p1,p2,p3……，pm；在点B【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，数轴上两点距离；根据题意得出AC之间共有6个或7个整数，进而可得m≥3，设AC之间的数分别为x−2,x−1,x，x+1,x+2,x+3,x+4，根据题意列出一元二次方程，解方程，得出整数解，进而即可求解．【解题过程】解：∵6<c−a<7，∴AC之间共有6个或7个整数，∵6个连续的整数满足p∴m≥3，当m=3时，AC间有7个整数，则A,B之间的3个整数设为x−2,x−1,x，B,C之间的4个整数为x+1,x+2,x+3,x+4，∴x−22解得：x=−25或x=−1当AC上有6个整数，x−22当m=4时，AC间有7个整数，则A,B之间的4个整数设为x−2,x−1,x,x+1，B,C之间的3个整数为x+2,x+3,x+4，∴x−22解得：x=23或x=−1，当m=4，AC间有6个整数，则A,B之间的4个整数设为x−2,x−1,x,x+1，B,C之间的2个整数为x+2,x+3，∴x−22当m=5时，则A,B之间的5个整数设为x−2,x−1,x,x+1,x+2，B,C之间的2个整数为x+3,x+4，∴x−22或x−22当m=6时，则A,B之间的5个整数设为x−2,x−1,x,x+1,x+2,x+3，B,C之间的2个整数为x+4，∴x−22综上所述，x=−25或x=23或x=−1，则−25<b<−24或24<b<25或0<b<1，∴k=−25，k=24或k=0∵k是正整数，∴k=24故答案为：24．3．（23-24九年级上·江苏·期中）已知3个连续整数的和是m，它们的平方和是n，且n=7【思路点拨】本题考查有理数的加法和二元一次方程的应用，根据题意列出方程再进行计算即可．【解题过程】解：设这3个连续整数为x，x+1，x+2，由题意可得，x+x+1+x+2=3x+3=m，x2又知n=7即3x解得x=4或−4故x=4，x+1=5，x+2=6．故这3个连续整数为4，5，6．4．（23-24九年级上·山东德州·期中）今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”，若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病．（1）每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？（2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程和算式求解是解题的关键．（1）设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了x只健康的蛋鸡，则第一轮中有x只健康的蛋鸡被传染，第二轮中有x1+x（2）根据（1）所求求出三轮传染后，患病的蛋鸡的数量即可得到答案．【解题过程】（1）解：设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了x只健康的蛋鸡，则第一轮中有x只健康的蛋鸡被传染，第二轮中有x1+x根据题意得：1+x+x1+x整理得：1+x2解得：x1答：每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了7只健康的蛋鸡；（2）解：64+64×7=64+448=512（只），∵512>500，∴如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会超过500只．5．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）暑假期间，河北涿州的洪涝灾害，牵动着全国人民的心．某单位开展了“驰援涿州，我们在路上”赈灾捐款活动，第一天收到捐款8000元，第三天收到捐款11520元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握题意是解题的关键．（1）设捐款增长率为x，根据题意列出方程进行求解即可；（2）根据增长率进行计算即可．【解题过程】（1）解：设捐款增长率为x．由题意得：80001+x1+x21+x=±6x=±6x1=115=20%（2）解：11520×1+即第四天该单位能收到13824元捐款．6．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元?【思路点拨】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）每件商品的盈利×（原来的销售量＋增加的销售量）－150=1450，为了减少库存，计算得到的降价多的数量即可．【解题过程】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x，依题意，得：200(1−x)解得：x1=0.1=10%答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得：(200−156−x)(20+5x)−150=1450，解方程得x1∵在降价幅度不超过10元的情况下，∴x=36不合题意舍去，答：每件商品应降价4元．7．（22-23九年级上·重庆綦江·期中）温润有度，为爱加温．近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、B两种型号的暖风机共900台，每台A型号暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元．（1）若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？（2）由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A、B两种型号的暖风机全部售完．该商场在12上旬又购进了A、B两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台A型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠12a%，A型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最高购进量增加14a%，每台B型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠15a%，B型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最低购进量增加a【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．（1）设购进x台A型号暖风机，则购进(900−x)台B型号暖风机，根据总价=单价×数量结合销售额不低于69万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；（2）根据总价=单价×数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解题过程】（1）解：设购进x台A型号暖风机，则购进(900−x)台B型号暖风机，依题意，得：600x+900(900−x)≥690000，解得：x≤400．答：至多购进400台A型号暖风机．（2）依题意，得：600(1−1整理，得：150a−12a解得：a1=12.5，答：a的值为12.5．8．（22-23八年级下·广东江门·期末）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．（1）若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：①每千克茶叶应降价多少元？②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？（2）在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．【思路点拨】（1）①设每千克茶叶应降价x元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可；②为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．（2）设每千克茶叶应降价y元，列方程整理后为y2−110y+4500=0，代入根的判别式得【解题过程】（1）解：①设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得：(400−x−240)(200+x10×40)=41600解得：x1答：每千克茶叶应降价30元或80元．②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400−80=320元，320400答：该店应按原售价的八折出售．（2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下：设每千克茶叶应降价y元．根据题意，得：(400−x−240)(200+x10×40)=5000整理得：y2∵Δ=∴原方程没有实数根，即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．9．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．（1）求甲工程队每小时修的路面长度；（2）通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了3m米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．【思路点拨】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面2x+30米，根据题意列出方程求解即可；（2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可．【解题过程】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面2x+30米，根据题意得，32x+322x+30解得：x=40，则2x+30=110，∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米；（2）解：根据题意得，4032+m+25整理得，m2解得：m1∴m的值为18．10．（22-23九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．（1）原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？（2）实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降10m元（m≤10)），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？【思路点拨】（1）设原计划购买小叶榕x棵，则购买香樟50−x棵，根据题意列出方程680x+100050−x（2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为(680−10m)元每棵，(1000−10m)元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到(680−10m)×(35+2m)+(1000−10m)×(15+m)=42400方程式求出满足条件m的值，即可得出答案．【解题过程】（1）设原计划购买小叶榕x棵，则购买香樟50−x棵，根据题意，可得680x+100050−x解得，x=35．答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵．（2）根据题意，可得(680−10m)×(35+2m)+(1000−10m)×(15+m)=42400，整理得，30m解得：m1=2，∵m≤10，∴m=2，∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟，答：物业管理公司实际购买两种树共56棵．11．（2023·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．（1）若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的65（2）实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖16a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖29a米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多【思路点拨】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的65，即可得出关于x（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖16a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖29【解题过程】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，依题意，得：12（5000-x）≥65×10x解得：x≤2500，答：甲最多施工2500米．（2）依题意，得：10+a5+整理，得：a2解得：a1=12，当a1=12时，总成本为：∵182＞∴a1当a2=6时，总成本为：∵140＜∴a2答：a的值为6．12．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）1月21日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家50千米的A停车场后，再步行1千米到达目的地，共花了1.5小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的25倍．（1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？（2）乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快m千米/小时(m>0)，乙开车时间比甲开车时间少124m小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快14m千米/小时，乙步行了【思路点拨】（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是25x千米/小时，根据甲先将车开到距离自己家50千米的A停车场后，再步行1千米到达目的地，共花了1.5小时．列出分式方程，解方程即可；（2）根据乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可．本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程．【解题过程】（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是25x千米/小时，由题意得：5025x解得：x=2，经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，∴25x=25×2=50，答：甲开车的平均速度是50千米/小时，步行的平均速度是2千米/小时；（2）由（1）可知，甲开车的时间为50÷50=1小时)，则乙开车的时间为1−1由题意可知，乙开车的速度为50+m千米/小时，乙步行的速度为2+14m由题意得：50+m1−整理得：m2解得：m1=4，m2答：m的值为4．13．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程lcm与时间ts满足关系：l=12t（1）甲运动4s后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键．（1）将t=4代入，计算求解即可；（2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则12【解题过程】（1）解：当t=4时，l=1答：甲运动4s后的路程是14cm（2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，∴12t2∴t−10t+21解得，t=10或t=−21（舍去）．答：它们运动了10秒．14．（22-23九年级下·重庆丰都·阶段练习）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．（1）求小明、小红的跑步速度；（2）若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．【思路点拨】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解．（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解．【解题过程】（1）解：设小红的速度为xm/min依据题意列方程得，12000x∴12000×1.2−12000=5×1.2x，∴x=400，经检验，x=400是原式方程的解．∴1.2×400=480m∴小红的速度为400m/min故答案为：480m/min（2）解：∵小明的速度为480m∴小明从A地道B地需要的时间为：12000÷480=25min∵小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，∴30−25=5min设B地到C地的距离为xm30×10+∴300+x∴x∴x∴x∴x=21600或x=−21600（舍去）．∴A地到C地所需要时间为：21600+12000480故答案为：70min15．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）某旅行社为吸引市民组团去遵义某景区旅游，推出了如图收费标准：（1）若甲单位组织25名员工参加本次旅游，应支付该旅行社费用为元；（2）若乙单位组织员工参加本次旅游，共支付旅行社费用15000元，求出乙单位参加本次旅游的员工人数．【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用：（1）利用总费用=人均旅游费×参加本次旅游的人数，即可求出结论；（2）设乙单位参加本次旅游的员工人数为x人，求出人数为20人时所需总费用及人均旅游费为420元时的人数，由12000元小于15000元及人均旅游费为420元时的人数不为整数，可得出x>20且人均费用不能为420元，利用总费用=人均旅游费×参加本次旅游的人数，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解题过程】（1）解：根据题意得：600−10×===550×25=13750（元），∴若甲单位组织25名员工参加本次旅游，应支付该旅行社费用为13750元．故答案为：13750；（2）解：设乙单位参加本次旅游的员工人数为x人，∵600×20=12000（元），12000<15000，15000÷420=35…300，∴x>20且人均费用不能为420元．根据题意得：x600−10×整理得：x2解得：x1当x=30时，600−10x−20当x=50时，600−10x−20答：乙单位参加本次旅游的员工人数为30人．16．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）致富新村要修建一个长方形的养猪场，猪场的一面靠墙（墙长25米），另外三边用长40米的木栏围成．（1）设AB长为x米，则BC的长为______米；（2）AB长为多少时，养猪场的面积为150平方米？（3）养猪场的面积能否为240平方米？若能，请求出AB的长度；若不能，请说明理由．【思路点拨】此题考查了一元二次方程的应用和一元二次方程根据的判别式，理解题意，正确列出方程是解题的关键．（1）根据BC=木栏长−AB+CD（2）结合（1）可求出养猪场的面积为x40−2x，从而得出方程x40−2x=150（3）按照（2）的方法列出方程，求出一元二次方程根的判别式，即可作出判断．【解题过程】（1）解：设AB长为x米，即AB=CD=x米，∴平行于墙的边BC长为40−2x米．故答案为：40−2x；（2）解：由（1）可得养猪场的面积为x40−2x又∵养猪场的面积为150平方米，∴x40−2x解得：x1=15，∵0<BC=40−2x≤25，∴152∴x=15．∴垂直于墙的边长为15米，平行于墙的边长为10米．即AB长为15米时，养猪场的面积为150平方米；（3）养猪场的面积不能为240平方米．理由如下：由（1）可得养猪场的面积为x40−2x又∵养猪场的面积为240平方米，∴x40−2x∴x2∵Δ=∴原方程没有实数根，即养猪场的面积不能为240平方米．17．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）为了促进劳动课程的开展，某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图，墙AF=8m，AE=4m，篱笆长为28m，设CD的长为xm，生态园的一边由墙AF和一节篱笆BF构成，另一边由墙AE和一节篱笆CE（1）BD=m；（用含x的代数式表示）（2）若生态园的面积为75m2，求（3）为了进出生态园方便，现决定在CD边上留出2m宽的门，此时生态园的面积能否达到110m2？如果能，请求出生态园的长【思路点拨】本题主要考查代数式，一元二次方程解应用题，准确将线段用代数式表示出来是解题的关键．（1）根据题意得到BF=x−8,EC=AC−4，再根据矩形的性质即可得到答案；（2）由面积公式计算即可；（3）根据题意将此时的BD表示出来进行计算即可．【解题过程】（1）解：由题意可得AB=CD=x,AC=BD，∴BF=x−8,EC=AC−4，由于篱笆长为28m∴x−8+x+BD+BD−4=28，∴BD=20−x；（2）解：由题意得：x(20−x)=75，即x−15x−5解得x1∵AF=8，∴x>8，∴x=15．（3）解：由题意可得BF=x−8,EC=AC−4由于篱笆长为28m∴x−8+x−2+BD+BD−4=21−x，∴BD=21−x∴x(21−x)=110解得x1当CD=10或11时，生态园的面积能达到110m18．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q

（1）填空：BQ=______cm，PB=______cm；（用含t的代数式表示）；（2）当t为几秒时，PQ的长度等于42（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的23？如果存在，求出t【思路点拨】（1）根据路程=速度×时间，BQ=2tcm，AP=t（2）根据勾股定理PQ（3）根据S四边形【解题过程】（1）∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点∴BQ=2tcm，AP=t∴PB=AB−AP=6−t故答案为：2t，6−t．（2）∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，BQ=2tPQ∴42整理，得5t解得t1当运动时间为2s或运动时间为25s时，PQ（3）∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，BQ=2tS四边形∴12∴12整理，得t2解得t1故当运动时间为2秒时，四边形APQC的面积等于△ABC面积的2319．（22-23九年级上·广东清远·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm，BC=8cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿BC向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为（1）当t=1时，直接写出P，Q两点间的距离．（2）是否存在t，使得△BPQ是等腰三角