人教版2024-2025学年七年级数学上册2.1有理数的混合运算(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)

专题2.1有理数的混合运算典例分析典例分析【典例1】问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：11×2=1−12，12×3（1）利用规律计算：11×2（2）问题拓展：求11×3（3）问题解决：求11+2【思路点拨】本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和技巧．（1）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即可；（2）把各个算式写成12乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数1（3）把各个加数的分母计算后都乘以12【解题过程】（1）解：依题意，∵11×2=1−12，12×3∴1=1−=1−=2021（2）解：1====1011（3）解：∵11+2=111+2+3=111+2+3+4=1……112023×1011所以原式=2×=2×=2×=2×=2021学霸必刷学霸必刷1．（23-24七年级上·四川德阳·阶段练习）计算下列各题（1）−1（2）−2（3）−5（4）100÷(−2)（5）−2（6）(−3)22．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）计算（1）−1（2）−（3）1（4）−3．（23-24七年级下·重庆南岸·开学考试）计算：（1）−2（2）−370×（3）999+(−999)×(−999)+999−999999；（4）124．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）计算：2755．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）能简算的要简算：（1）1516（2）1.24+57（3）51×68×78÷（4）11126．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各题，能简算的要简算．（1）62.5（2）3.8÷（3）202.3×2.5+20.23×36+2.023×390（4）15.8−（5）2005×2006−1（6）97．（24-25七年级上·全国·假期作业）用灵活而合理的方法计算．（1）2000÷2000（2）1（3）498×381+382（4）1008．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算题．（1）522÷522（2）1（3）5（4）29．（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）简便计算（1）1（2）4.44÷4（3）7（4）2015×10．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）简便计算：（1）12（2）1911．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）下列各题要写出主要计算过程（1）56×（2）42（3）3（4）1+2×1（5）1+212．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算题：（1）1（2）1−（3）5（4）113．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）脱式简算：（1）18×3（2）411（3）1114．（23-24六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算：（1）1（2）115．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）观察下列算式：3+4=7，32+42=2535+45=1267，（1）①________，②________；（2）求3+316．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）观察下列等式．11×2=1−12，将以上三个等式两边分别相加得：11×2（1）猜想并写出：1n（2）直接写出下列各式的计算结果：①11×2②11×2（3）探究并计算：①11×3②11×317．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）观察下列式子：1将以上三个等式两边分别相加得：11×2（1）直接写出结果：11×2（2）请用上述方法计算（写出具体过程）：11×3（3）直接写出计算结果：11+2（4）直接写出计算结果：11×2×318．（23-24七年级上·山东济南·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数(均不等0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，−3÷−3÷−3÷−3等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，−3一般地，把a÷a÷a÷．．．÷an个(a≠0)记作aⓝ，读作“【初步探究】（1）直接写出计算结果：−3④=【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算．（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．5⑤=；(−1（3）将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式：aⓝ=（4）利用（3）的结论计算：619．（23-24六年级上·山东威海·期末）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推．（1）阴影部分的面积是______；（2）以下是甲，乙两位同学求S=1甲同学的方法：利用已给正方形图形求，S=1−S乙同学的方法：S=12S=1+1②－①即可．根据两位同学的方法，你认为S=______；（3）12（4）计算：12（5）请借助甲，乙同学的方法，分别求出1420．（23-24七年级上·四川内江·期中）请阅读以下材料完成以下题目．【阅读材料一】观察下面三个特殊的等式：第①式：1×2=1第②式：2×3=1第③式：3×4=1将这三个等式的两边相加，可以得到：1×2+2×3+3×4=1读完这段材料，请你思考后回答：（1）1×2+2×3+3×4+⋯+20×21=（2）1×2+2×3+3×4+⋯+nn+1=（用含【阅读材料二】观察下列几个等式第①式：12第②式：12第③式：12第④式：12请你思考后解答下列问题（1）12（2）12+22（3）计算：212【拓展应用】直接写出下式的结果：233专题2.1有理数的混合运算典例分析典例分析【典例1】问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：11×2=1−12，12×3（1）利用规律计算：11×2（2）问题拓展：求11×3（3）问题解决：求11+2【思路点拨】本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和技巧．（1）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即可；（2）把各个算式写成12乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数1（3）把各个加数的分母计算后都乘以12【解题过程】（1）解：依题意，∵11×2=1−12，12×3∴1=1−=1−=2021（2）解：1====1011（3）解：∵11+2=111+2+3=111+2+3+4=1……112023×1011所以原式=2×=2×=2×=2×=2021学霸必刷学霸必刷1．（23-24七年级上·四川德阳·阶段练习）计算下列各题（1）−1（2）−2（3）−5（4）100÷(−2)（5）−2（6）(−3)2【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．是解答此题的关键．（1）先运算乘方和括号内的减法，然根据有理数的除法可以解答本题；（2）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解答本题；（3）运用乘法分配律计算即可；（4）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解答本题；（5）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解答本题；（6）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解答本题；【解题过程】（1）解：−=−1÷=6；（2）解：−=−4×=2+2=4；（3）−=5+8−9=4；（4）100÷=100÷4−(−2)×=25−3+(−8)=14；（5）−=−=2−=−93（6）(−3)=9×==712．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）计算（1）−1（2）−（3）1（4）−【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算；（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算；（3）除法变乘法，再根据乘法分配律计算；（4）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．【解题过程】（1）解：−1=−1−=−1+=3（2）解：−=−4+3−24×=−1−=−11（3）解：1===−9+20+12−21=2；（4）解：−=−1−2×9−4+=−1−18−4+1=−22．3．（23-24七年级下·重庆南岸·开学考试）计算：（1）−2（2）−370×（3）999+(−999)×(−999)+999−999999；（4）12【思路点拨】（1）先算乘方，再算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答；（2）利用乘法分配律的逆运算进行计算，即可解答；（3）利用乘法分配律的逆运算进行计算，即可解答；（4）利用乘法分配律的逆运算进行计算，即可解答；本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，准确熟练地进行计算是解题的关键．【解题过程】（1）解：原式=−4×5×5−100−7=−100−100−7=−207；（2）解：原式=370×1==100；（3）解：原式=999×(1+999+1−1001)=999×0=0；（4）解：原式====2475．4．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）计算：275【思路点拨】利用拆项法将分数拆成整数和分数的和差形式，把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果．【解题过程】解：275=====7005．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）能简算的要简算：（1）1516（2）1.24+57（3）51×68×78÷（4）1112【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算：（1）去括号，将除法化成乘法，再进行加法运算；（2）利用加法交换律进行简便运算即可；（3）将前面三个因数进行分解，再进行约分即可；（4）通过观察可知分子分母的差为1，先写成1加减分数单位，整数分组计算，分数简算时，根据裂项公式1a×【解题过程】（1）解：原式====21（2）解：原式==5+29=34；（3）解：原式==3×2×6=36；（4）解：原式===6−=6−=6−=576．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各题，能简算的要简算．（1）62.5（2）3.8÷（3）202.3×2.5+20.23×36+2.023×390（4）15.8−（5）2005×2006−1（6）9【思路点拨】本题考查了有理数的乘法公式运算，有理数加减混合运算，有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）62.5%化为分数是5（2）根据除法的性质，把算式改写成连除形式可进行简算；（3）根据积不变的规律统一将其中一个因数转换为20.23，再根据乘法分配律进行简算．（4）15.8−718+15−1118，先根据带符号搬家，将算式变为（5）仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中2005×2006可变形为2004+1×2006=2004×2006+2006−1，同时发现2006−1=2005（6）在本题中，被除数提取公因数65，除数提取公因数5，再把17和1【解题过程】（1）62.5=====1（2）3.8÷=3.8÷0.25÷0.38=3.8÷0.38÷0.25=10÷0.25=40；（3）202.3×2.5+20.23×36+2.023×390=20.23×25+20.23×36+20.23×39=20.23×=20.23×100=2023；（4）15.8−＝＝=(15.8+0.2)−=16−1=15；（5）2005×2006−1===1（6）9===65÷5=137．（24-25七年级上·全国·假期作业）用灵活而合理的方法计算．（1）2000÷2000（2）1（3）498×381+382（4）100【思路点拨】本题考查了乘法公式的有理数混合运算，含乘方有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）先根据带分数化为假分数的方法，将算式变为2000÷2000×2001+20002001+2003×20012002，再将算式变为2000÷2000×2001+2000×12001+2003×20012002，根据乘法分配律，将算式变为（2）先把带分数化为假分数，除法化为乘法，然后根据积不变性质，将算式变为54×17.6+36×54+26.4×1.25（3）先把382拆分为381+1，然后根据乘法分配律，将算式变为498×381+382381×498＋1×498−116，1×498=498（4）两个相邻的数的平方差等于这两个数的和，也就是n+1−n=n+12−n2（【解题过程】（1）解：2000÷2000=2000÷=2000÷=2000×=======1=1=20021000（2）1=====100；（3）498×381+382======1；（4）100=100+99+98+97+⋯+2+1===101×50=5050．8．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算题．（1）522÷522（2）1（3）5（4）2【思路点拨】本题考查了运算与技巧：（1）观察式子，先转化成假分数，但是不要将数的答案算出得数．这样就可以能约分的要约分；（2）观察分子和分母，发现分子和分母经过分析和转化，可以先约分；（3）根据式子a+ba×b（4）有小数、带分数、分数的计算，将小数转化为分数，带分数转化为假分数计算；根据式子的特点进行运算是解题的关键．【解题过程】（1）解：522÷522＝522÷＝522×＝522×＝522×＝523＝523＝523＝523＝523262（2）解：1＝5＝5＝13（3）解：5＝2+3＝2＝1＝1＝511（4）解：2＝128＝25＝1＝1÷＝18．9．（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）简便计算（1）1（2）4.44÷4（3）7（4）2015×【思路点拨】（1）根据1n（2）先将除法转化为乘法，再逆用乘法分配律进行计算即可；（3）先计算括号里面的，再计算最后计算乘法即可；（4）把原式转化为2014+1×【解题过程】（1）解：1=1−=1−=（2）4.44÷4=4.44×=4.44×=4.44×1=4.44（3）7=(=(=(==1（4）2015×==2014×=201310．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）简便计算：（1）12（2）19【思路点拨】（1）利用有理数的混合运算的法则和运算律解答即可；（2）根据先将19【解题过程】（1）解：1===2+==40442022（2）解：1=19=19====111．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）下列各题要写出主要计算过程（1）56×（2）42（3）3（4）1+2×1（5）1+2【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．（1）利用交换律以及乘法分配律进行计算即可；（2）利用乘法分配律进行计算即可；（3）利用有理数加法的运算法则进行计算即可；（4）根据有理数四则混合运算的法则进行计算即可；（5）将原式变换为2×31×4【解题过程】（1）解：56×=56×32×=56×32×=192+560=752；（2）解：42==1=1==100；（3）解：3==7+=7127（4）解：1+2×1=====1001；（5）解：1+2==50×=7512．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算题：（1）1（2）1−（3）5（4）1【思路点拨】本题考查了有理数四则混合运算，含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）观察算式可得2+11×2+（2）利用a+ba×b（3）利用公式“1a×b（4）先分别计算出整数部分和分数部分的和，再相加即可，整数部分的和是1023，观察分数部分发现：12=1−12、14=1【解题过程】（1）12==2×2012+=4024+=4024+=40242012（2）1−=1−=1−===31（3）5=5×=5×=5×=49（4）1==1023+=1023+=1023102313．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）脱式简算：（1）18×3（2）411（3）11【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，正确使用运算律进行计算是解题的关键．（1）运用乘法分配律进行计算即可．（2）将带分数化为假分数后，可进行简便计算．（3）根据所给算式的特点，将其分母转化为两个连续整数积的形式即可简便计算．【解题过程】（1）解∶原式=18×==1471（2）解∶原式==31+41+51=123；（3）解∶原式==2×=2×=20014．（23-24六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算：（1）1（2）1【思路点拨】本题考查了分数的运算，解题的关键是：（1）把同分母的组合在一起，然后分别计算即可；（2）隔项分母有相同两项，因此应该先分组，将分母为奇数的一组，分母为偶数的一组，再组内进行裂项消项即可．【解题过程】（1）解∶1==1+2+3+⋯+2023==2047276；（2）解：1==14====206115．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）观察下列算式：3+4=7，32+42=2535+45=1267，（1）①________，②________；（2）求3+3【思路点拨】（1）根据乘方的定义计算即可求解；（2）由题意找到个位数字的规律，求出所求算式的个位数字之和，即可求解；本题考查了有理数的运算，根据算式的结果找到个位数字的规律是解题的关键．【解题过程】（1）解：①33故答案为：91；②34故答案为：337；（2）解：∵3+4=7，32+42=25，33+43=91，∴个位数字按照7，又∵99÷4=24⋯3，∴3+37+5+1+7×24+7+5+1=493∴3+32+16．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）观察下列等式．11×2=1−12，将以上三个等式两边分别相加得：11×2（1）猜想并写出：1n（2）直接写出下列各式的计算结果：①11×2②11×2（3）探究并计算：①11×3②11×3【思路点拨】此题考查了数字类规律探索以及有理数的混合运算，利用规律计算即可解决问题；解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．【解题过程】（1）解：1n(n+1)故答案为1n（2）①11×2②1故答案为20222023，n（3）①1=②1=(====17．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）观察下列式子：1将以上三个等式两边分别相加得：11×2（1）直接写出结果：11×2（2）请用上述方法计算（写出具体过程）：11×3（3）直接写出计算结果：11+2（4）直接写出计算结果：11×2×3【思路点拨】（1）根据有理数的规律直接求解即可得到答案；（2）根据有理数的规律直接求解即可得到答案；（3）根据题意得到1+2+3+...（4）根据有理数的规律直接求解即可得到答案；【解题过程】（1）解：由题意可得，原式=1−=1−=5故答案为：56（2）解：由题意可得，11×3=12(1−由此可得，1(2n−1)×(2n+1)∴原式===1011（3）解：由题意得到，1+2+3+...∴原式===2×(=2×(=2×9=9（4）解：由题意可得，原式=====494918．（23-24七年级上·山东济南·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数(均不等0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，−3÷−3÷−3÷−3等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，−3一般地，把a÷a÷a÷．．．÷an个(a≠0)记作aⓝ，读作“【初步探究】（1）直接写出计算结果：−3④=【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算．（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．5⑤=；(−（3）将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式：aⓝ=（4）利用（3）的结论计算：6【思路点拨】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给的新定义运算；（1）根据题中所给新定义运算直接进行求解即可；（2）根据题中所给运算可进行求解；（3）由（1）（2）可求解；（4）根据（3）中结论及有理数的运算可进行求解．【解题过程】解：（1）−3=−3×=1故答案为19（2）5⑤−==−2故答案为153，（3）an故答案为1a（4）6=36÷=36×=16+9=25．19．（23-24六年级上·山东威海·期末）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推．（1）阴影部分的面积是______；（2）以下是甲，乙两位同学求S=1甲同学的方法：利用已给正方形图形求，S=1−S乙同学的方法：S=12S=1+1②－①即可．根据两位同学的方法，你认为S=______；（3）12（4）计算：12（5）请借助甲，乙同学的方法，分别求出14【思路点拨】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键．（1）根据S阴影（2）甲同学：S=1−S阴影=1−164（3）设T=12+12（4）同理（3）计算求解即可；（5）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，