人教版2024-2025学年七年级数学上册4.2数字规律问题(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)

专题4.2数字规律问题典例分析典例分析【典例1】阅读并解答后面的问题：11×2=1−12，12×3（1）第10个算式是_______=_______；（2）第n个算式为_______=_______；（3）根据以上规律计算：11×2（4）计算：11×3【思路点拨】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的算式总结出规律．（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；（2）观察所给等式分子分母的规律，即可得出答案；（3）根据（2）中的规律进行求解即可；（4）结合前面的规律易得1×13=121−1【解题过程】（1）解：∵第1个算式为：11×2第2个算式为：12×3第3个算式为：13×4第4个算式为：14×5⋯∴第10个算式为：110×11故答案为：110×11，1（2）解：由（1）得，第n个算式为：1n×故答案为：1n×n+1，（3）解：1=1−=1−=99（4）解：11×3+====1010学霸必刷学霸必刷1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）有一列按规律排列的数：20234202202342022023420220234202……，从左边第1个数开始将各位数字相加，加到第______个数字时，所得的和等于2021．（

）A．1076 B．1077 C．1078 D．10792．（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）已知一列数a1，a2，a3，…，它们满足关系式a2=11−a1，aA．2 B．−1 C．−12 3．（23-24七年级上·广东梅州·期中）按一定规律排列的数：12，−35，510，−7A．−1n+2+2n+1n2 B．2n−1n4．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即：如图所示，如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（

）个5A．1 B．2 C．3 D．45．（23-24七年级上·四川攀枝花·期中）如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（

A．160 B．1168 C．12526．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）观察下列算式：观察下列算式：225你认为22017的末位数字是（

A．6 B．7 C．2 D．87．（2024七年级·全国·竞赛）六个互不相等的正整数a1、a2、a3A．7 B．8 C．9 D．108．（23-24七年级上·广西桂林·期中）观察下面三行数：−3，9，−27，81……①1，−3，9，−27……②−2，10，−26，82……③设x，y，z分别为第①②③行的202个数，则x+6y+z的值为（

）A．1 B．−1 C．6×3202+19．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知整数a1、a2、a3、a4、…满足下列条件：a1=0，a2=−aA．−1008 B．−1009 C．−1010 D．−101110．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）根据图中数字的规律，若第n个图中p=144时，则q的值为（

）．A．168 B．169 C．195 D．19611．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）按一定规律排成的一列数：13，12，35，23，57，312．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）一组按规律排列的数：−14,13．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）观察一列数：−1，2，−3，4，−5，6，−7，…，将这列数排成如图所示形式．记(记a1，1对应的数为第i行(最上为第1行)第j列(最左为第1列)的数，如a2，−1

2

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16………14．（23-24七年级上·山西太原·期末）九宫格起源于中国古代的神秘图案河图和洛书．如图，将3，2，1，0，−1，−2，−3，−4，−5填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则a的值为．15．（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）阅读理解：在求1+21+22+23+⋅⋅⋅+仿照例题求（1）1+3（2）直接写出1+a1+16．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下列算式：①2②3③4④5⑤6……（1）根据以上规律写出第⑧条算式：________；（2）计算：1002（3）计算：18217．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．1abc8−5…（1）填空：a=__________，b=__________，c=__________，第2022个格子中的数是____________．（2）前n个格子中所填整数之和是否可能为2021？若能，求出n的值；若不能，请说明理由．（3）如果在前n个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有这样的差值累加起来称为前n项的累差值，例如，前3项的累差值列式为|1−a|+|1−b|+|a−b|，那么前10项的累差值为多少？18．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）[观察下列等式]1×12=1−12将以上三个等式两边分别相加得：1[尝试计算]：（1）11×2+（2）13+[运用说明]：（3）设S=12219．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）观测下列各式：13131313……回答下面的问题：（1）猜想13（2）利用你得到的（1）中的结论，计算13（3）计算113（4）直接写出−2320．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）把正整数1，2，3，4…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A、B、C、D．设A=x．（1）在图1中，2022排在第______行第______列；（2）排在第m行第n列的数为______．（其中m≥1，1≤n≤8，且m、n都是正整数）（3）A−B+C−D的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由；（4）将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时A+B−C−D的值能否为3918？如果能，请求出A所表示的数；如果不能，请说明理由．专题4.2数字规律问题典例分析典例分析【典例1】阅读并解答后面的问题：11×2=1−12，12×3（1）第10个算式是_______=_______；（2）第n个算式为_______=_______；（3）根据以上规律计算：11×2（4）计算：11×3【思路点拨】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的算式总结出规律．（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；（2）观察所给等式分子分母的规律，即可得出答案；（3）根据（2）中的规律进行求解即可；（4）结合前面的规律易得1×13=121−1【解题过程】（1）解：∵第1个算式为：11×2第2个算式为：12×3第3个算式为：13×4第4个算式为：14×5⋯∴第10个算式为：110×11故答案为：110×11，1（2）解：由（1）得，第n个算式为：1n×故答案为：1n×n+1，（3）解：1=1−=1−=99（4）解：11×3+====1010学霸必刷学霸必刷1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）有一列按规律排列的数：20234202202342022023420220234202……，从左边第1个数开始将各位数字相加，加到第______个数字时，所得的和等于2021．（

）A．1076 B．1077 C．1078 D．1079【思路点拨】本题考查了数字型规律，找到该组数的规律，可得每8个数的和为15，求出2021与15的商和余数，得到所加的最后一个数，继而得解．【解题过程】解：由题意可得：该列数是以20234202，8个为一循环，2+0+2+3+4+2+0+2=15，而2021=134×15+11，11=2+0+2+3+4，∴以8个数为一组，加到第135组的第5个数时，和为2021，即加到第134×8+5=1077个数时，所得的和等于2021，故选B．2．（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）已知一列数a1，a2，a3，…，它们满足关系式a2=11−a1，aA．2 B．−1 C．−12 【思路点拨】本题主要考查数字的变化规律，掌握数字的循环规律是解题的关键．分别计算出第2、3、4个数，据此得出循环规律，进一步求解即可．【解题过程】解：∵a1∴a2∴a3∴a4…，∴数列是3个一循环的数列，∵2024=674×3+2，∴a2024故选：B．3．（23-24七年级上·广东梅州·期中）按一定规律排列的数：12，−35，510，−7A．−1n+2+2n+1n2 B．2n−1n【思路点拨】本题考查了数字的变化规律，根据规律分别找到分子、分母及符号的规律即可解答，分别找到分子、分母及符号的规律是解题的关键．【解题过程】解：分子1，3，5，7，⋯的规律为2n−1，分母2，5，10，17，⋯的规律为n2符号的规律为−1n+1故第n个数为−1n+1故选：D．4．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即：如图所示，如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（

）个5A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可．【解题过程】解：根据分析，可得116则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3，共4个，故选：D．5．（23-24七年级上·四川攀枝花·期中）如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（

A．160 B．1168 C．1252【思路点拨】本题考查了数字的变化类规律，认真观察、找出规律是解题的关键．先通过找规律找出第6、7、8行的从左到右第一个数，然后计算出第7、8行从左到右的第二个数，再计算第8行从左到右的第三个数即可．【解题过程】解：通过已知可得到第6、7、8行的从左到右第一个数分别为1∴第7、8行的从左到右第二个数分别为：16−∴第8行从左到右的第三个数为：1故选：B．6．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）观察下列算式：观察下列算式：225你认为22017的末位数字是（

A．6 B．7 C．2 D．8【思路点拨】本题考查了式子的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．由题意可得，每4个算式末位数字循环一次，由2017=4×404+1，可知22017−2的末位数字为0，进而可得【解题过程】解：∵225∴每4个算式末位数字循环一次，∵2017=4×404+1，∴22017∴22017故选：C．7．（2024七年级·全国·竞赛）六个互不相等的正整数a1、a2、a3A．7 B．8 C．9 D．10【思路点拨】此题考查了数字型规律，由题意得a1=a2+则a1=a4+2a5【解题过程】解：由题意得：a1=a2+∴a1∵a1∴a5是最小值，不妨设①a5=1，a②a5=1，a4∴a2=3，∴a1的最小值为8故选：B．8．（23-24七年级上·广西桂林·期中）观察下面三行数：−3，9，−27，81……①1，−3，9，−27……②−2，10，−26，82……③设x，y，z分别为第①②③行的202个数，则x+6y+z的值为（

）A．1 B．−1 C．6×3202+1【思路点拨】本题考查数字类规律探究、代数式求值，找到每行数字的变化规律是解答的关键．先根据每行前几个数字的变化得到变化规律，进而求得a、b、c，然后代值求解即可．【解题过程】解：①由−3，9，−27，81……，得第n个数为−3n，则x=②由1，−3，9，−27……，得第n个数为−3n−1，则y=③由−2，10，−26，82……，得第n个数为−3n+1，则∴x+6y+z==2×=2×=1，故选：C．9．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知整数a1、a2、a3、a4、…满足下列条件：a1=0，a2=−aA．−1008 B．−1009 C．−1010 D．−1011【思路点拨】本题考查了数字类规律探索，找出一般规律是解题关键．根据已知规则分别求出a1、a2、a3、a4、a5【解题过程】解：a1a2a3a4a5a6a7…以此类推，经过前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数，即a2n则a2020故选：C．10．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）根据图中数字的规律，若第n个图中p=144时，则q的值为（

）．A．168 B．169 C．195 D．196【思路点拨】在“n”区域的规律是第n个图：n，在“P”区域的规律是第n个图：P=n2，在“q”区域的规律是：第n个图：q=n+12−1；由p=144【解题过程】解：由图得在“n”区域的规律是：第1个图：1，第2个图：2，第3个图：3，⋯第n个图：n；在“P”区域的规律是：第1个图：1，第2个图：22第3个图：32⋯第n个图：P=n在“q”区域的规律是：第1个图：1+12第2个图：2+12第3个图：3+12⋯第n个图：q=n+1当p=144时，n2∴n=12，∴q==165；故选：C．11．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）按一定规律排成的一列数：13，12，35，23，57，3【思路点拨】本题考查了数字类变化规律，此列数可变为：13，24，35，46，57【解题过程】解：∵12=24，∴此列数可变为：13，24，35，46，57∴第2016个数为20162018，即1008故答案是：1008100912．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）一组按规律排列的数：−14,【思路点拨】本题考查了数字类规律探索，直接根据题意找出规律作答即可．解题的关键是得到第n个数是−1n【解题过程】解：−113−5……，第n个数是−1n第20个数是−120故答案为：−1313．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）观察一列数：−1，2，−3，4，−5，6，−7，…，将这列数排成如图所示形式．记(记a1，1对应的数为第i行(最上为第1行)第j列(最左为第1列)的数，如a2，−1

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16………【思路点拨】本题主要考查了数字类的规律探索，观察每一行最后一个数可得规律第n行最后一个数为−1n【解题过程】解：由题意得，第一行最后一个数为−11第二行最后一个数为−12第三行最后一个数为−13第四行最后一个数为−14……，以此类推，可知第n行最后一个数为−1n∴第8行最后一个数为−18∴a9，9故答案为：−73．14．（23-24七年级上·山西太原·期末）九宫格起源于中国古代的神秘图案河图和洛书．如图，将3，2，1，0，−1，−2，−3，−4，−5填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则a的值为．【思路点拨】本题考查了有理数的加减运算和数字类规律，找到规律是解决问题的关键：根据这九个数的平均数为−1，即每行、每列、每条对角线上三个数的和都是−3，且正中间的数为−1，可求得第一列第二个数为−3，即可求得a的值为−2．【解题过程】解：根据题意这九个数的平均数为：3+2+1+0−1+2+3+4+5∴正中间的数为−1，∴每行、每列、每条对角线上三个数的和都是−1×3=−3，∴第二行左边的数为：−3−−1∴a=−3−2−−3故答案为：−2．15．（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）阅读理解：在求1+21+22+23+⋅⋅⋅+仿照例题求（1）1+3（2）直接写出1+a1+【思路点拨】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的运算过程，灵活应用该方法求和是解题的关键．（1）设S=1+31+32（2）设T=1+a1+a2【解题过程】（1）解：设S=1+3则3S=3②－①得，2S=解得S=即1+31+（2）设T=1+a则aT=a②－①得，a−1T=∴T=故答案为：a16．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下列算式：①2②3③4④5⑤6……（1）根据以上规律写出第⑧条算式：________；（2）计算：1002（3）计算：182【思路点拨】本题主要考查了数字类的规律探索；（1）根据已知等式得出第n条算式为n+12−n（2）利用所得规律展开得原式=100+99+98+97+…+2+1，再利用高斯求和公式计算可得；（3）原式提取符号得出原式=−2017【解题过程】（1）解：①2②3③4④5⑤6……，以此类推可知，第n条算式为n+12则第⑧条算式为92故答案为：92（2）解：原式=100+99+98+97+…+2+1==5050；（3）解：原式=−=−=−=−2035000．17．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．1abc8−5…（1）填空：a=__________，b=__________，c=__________，第2022个格子中的数是____________．（2）前n个格子中所填整数之和是否可能为2021？若能，求出n的值；若不能，请说明理由．（3）如果在前n个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有这样的差值累加起来称为前n项的累差值，例如，前3项的累差值列式为|1−a|+|1−b|+|a−b|，那么前10项的累差值为多少？【思路点拨】本题考查数字的变化类、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．（1）根据题意和表格中的数据，可以得到a、b、c的值，然后即可得到第2012个格子中的数；（2）先判断是否存在，然后根据判断进行解答即可；（3）根据题意和（1）中的规律，可以计算出前10项的累差值．【解题过程】（1）解：根据题意可得：1+a+b=a+b+c=b+c+8，∴c=1，a=8，∵表格中有数字−5，∴b=−5，由题意可知表格中的数字依次以1、8、−5循环出现，∵2022÷3=674，∴第2022个格子中的数是−5，故答案为：8，−5，1，−5；（2）解：前n个格子中所填整数之和可能为2021，理由：∵1+8+−5∴n=3×505+1=1516，∵最后5个数的和为1+−5∴当n=1511时，和也为2021，∴n的值为1516或1511；（3）解：由（1）可知，表格中的数字依次以1、8、−5循环出现，当n=10时，10÷3=3⋯1，∴前10个数中，1出现4次，8出现3次，−5也出现3次，∴前10项的累差值为：1−8=7×4×3+6×4×3+13×3×3=84+72+117=273．18．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）[观察下列等式]1×12=1−12将以上三个等式两边分别相加得：1[尝试计算]：（1）11×2+（2）13+[运用说明]：（3）设S=122【思路点拨】本题考查数字的变化规律．（1）通过观察可得原式=1−1（2）通过观察可得原式=1（3）由122<11×2，132<1【解题过程】解：（1）1=1−=1−=2021故答案为：20212022（2）1==12=7（3）S<1，理由如下，∵122<11×2，132又∵11×2=1−12，12×3=1∴122<1−12，132∴S=122即S=1∴S<1．19．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）观测下列各式：13131313……回答下面的问题：（1）猜想13（2）利用你得到的（1）中的结论，计算13（3）计算113（4）直接写出−23【思路点拨】（1）由前面的具体运算归纳可得：从1开始的连续自然数的立方和等于自然数的个数的平方乘比个数大1的数的平方，再除以4，从而可得答案；（2）根据（1）所得规律求解即可；（3）将所求式子变形为13（4）将所求式子变形为−23【解题过程】（1）解：∵13131313……，∴13故答案为：14（2）解：1==25502500；（3）解：11==25502500−=25499475；（4）解：−2=====−13005000．故答案为：−13005000．20．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）把正整数1，2，3，4…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有