2024-2025学年河南省洛阳市强基联盟高二（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省洛阳市强基联盟高二（上）联考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间四边形PABC中，PB−AB+A.AP B.PC C.AB D.AC2.在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,1,2)关于x轴对称点的坐标为(

)A.(1,1,−2) B.(−1,1,2) C.(1,−1,−2) D.(1,−1,2)3.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”.如图，在“阳马”A−OBCD中，E为△ACD的重心，若AB=a，AC=b，AD=A.−a+12b+12c4.设a=(1,1,0)，b=(t,0,1)分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为60°，则t等于(

)A.1 B.−1 C.−1或1 D.25.已知A(1,2,−1)为平面α内一点，若平面α的法向量为n=(1,−1,1)，则点P(−1,1,3)到平面α的距离为(

)A.2 B.3 C.2 6.已知空间中三点A(0,0,0)，B(1,−1,2)，C(−1,−2,1)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为(

)A.32 B.332 C.7.已知向量a=(2,−3,0)，b=(0,3,4)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为(

)A.(−1813,2713,0) B.(8.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AA1=3，BC=2BO，M为棱A.2 B.3 C.33二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若{a,b,A.a+b，a−b，c

B.a+b，b+c，c+a

C.3a10.如图，四边形ABCD，ABEF都是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，P，Q分别是线段AE，BD的中点，则(

)A.PQ//DF

B.异面直线AQ，PF所成角为π6

C.点P到直线DF的距离为62

D.11.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，∠DAB=∠AA.若点Q在平面A1B1C1D1内，则p=1

B.若CQ⊥DB，则m=n

C.当p=12时，三棱锥Q−ABD的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设向量a=(1,m,3)，b=(4,−1,0)，若a⊥b，则m=13.在空间直角坐标系O−xyz中，点A，B，C，M的坐标分别是(2,0,2)，(2,1,0)，(0,4,−1)，(0,m,−5)，若A，B，C，M四点共面，则m=______．14.如图，在三棱锥O−ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若OD=kOA，OE=mOB，OF=n四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知空间向量a=(1,2,12),b=(12,−12,1),c=(−2,3,−12),d16.(本小题15分)

已知正四面体OABC的棱长为2，点G是△OBC的重心，点M是线段AG的中点．

(1)用OA，OB，OC表示OM，并求出|OM|；

(2)求OM⋅17.(本小题15分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，A2，B2，C2，D2分别为棱BB1，B1C1，C1D1，DD1的中点．18.(本小题17分)

如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AD=2AB，M为BC中点，平面AA1D1D⊥平面ABCD,AA19.(本小题17分)

在三棱台ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB=BC=AC=2A1B1=2，D，E分别为CA，CB的中点．

(1)证明：A1B/​/平面C1DE；

(2)已知BC1⊥A

参考答案1.B

2.C

3.B

4.C

5.B

6.D

7.D

8.D

9.AB

10.AC

11.ABD

12.4

13.6

14.9215.解：(1)由题知，a+c=(−1,5,0)，

所以(a+c)⋅b=(−1,5,0)⋅(12,−12,1)=−3；

(2)因为a=(1,2,12),b16.解：(1)∵点M是线段AG的中点，

∴OM=12OA+12OG=12OA+12×23(17.(1)证明：连接B2C2，B1D1，A2D2，

因为A2，B2，C2，D2分别为棱BB1，B1C1，C1D1，DD1的中点，

所以B1A2//D1D2，且B1A2=D1D2，

所以四边形A2B1D1D2为平行四边形，

所以B1D1//A2D2，又B1D1//B2C2，

所以B2C2//A2D2，所以A2，B2，C2，D2四点共面；

(2)解：以C为坐标原点，以CD，CB，CC118.解(1)证明：∵底面ABCD是矩形，

∴AB⊥AD，

又平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，

∴AB⊥平面AA1D1D，

又A1D⊂平面AA1D1D，

∴AB⊥A1D，

∵AA1=A1D=22AD，

∴AA12+A1D2=AD2，

∴AA1⊥A1D，

又AA1∩AB=A，AA1，AB⊂平面ABB1A1，

∴A1D⊥平面ABB1A1；

(2)取AD的中点O，连接A1O，

∵A1A=A1D，

∴A1O⊥AD，

又平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD=AD，A1O⊂平面AA1D1D19.解：(1)证明：设A1C交C1D于点G，连接EG，

在三棱台ABC−A1B1C1中，A1C1/​/AC，A1C1=12AC，又D为AC的中点，

所以A1C1//DC，又A1C1=DC，

所以四边形A1C1CD是平行四边形，G为A1C的中点，

又E为BC的中点，

所以EG/​/A1B，又EG⊂平面C1DE，A1B⊄平面C1DE，

所以A1B/​/平面C1DE．

(2)①连接BD，因为CC1⊥平面ABC，且CC1⊂平面A