2024-2025学年湖南省“名校大联考”高二上学期10月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省“名校大联考”高二上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=4+ii在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知椭圆x2a2+y23=1a>3的离心率为12A.1 B.3 C.2 D.3.设a∈R，直线l1:a+1x+y−1=0,l2:2x+ay−a+2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若函数fx=x2+axA.−1 B.0 C.1 D.35.已知点x0,y0为直线x+2y+6=0上任意一点，则A.3 B.2 C.5 6.如图，在异面直线m,n上分别取点A,B和C,D，使AB=2,CD=4,BD=6，且AC⊥m,AC⊥n，若<AB,CD>=π3，则线段ACA.2 B.22 C.27.已知点P为椭圆x216+y29=1上任意一点，则点A.25 B.4 C.28.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PA=3,∠ABC=∠BAP=π3，且cos∠PAD=1A.−277 B.27二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.党的二十大作出“发展海洋经济，保护海洋生态环境，加快建设海洋强国”的战略部署.如图是2018−2023年中国海洋生产总值的条形统计图，根据图中数据可知下列结论正确的是(

)

A.从2018年开始，中国海洋生产总值逐年增大

B.从2019年开始，中国海洋生产总值的年增长率最大的是2021年

C.这6年中国海洋生产总值的极差为15122

D.这6年中国海洋生产总值的80%分位数是9462810.已知圆M:(x−1)2+y2=1与圆N:x2+(y−2)2=4A.直线AB的方程是x−2y=0

B.A,M,B,N四点不共圆

C.圆M的过点A的切线方程为3x+4y−8=0

D.cos11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点PA.若A,B,D,A1,P在同一球面上，则λ=3

B.若AB//平面A1DP，则λ=2

C.若点P到A,B,D,A1四点的距离相等，则λ=2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l:y=kx+2在x轴上的截距为1，则k=

．13.已知tanα=2，则sinαcosα−sin14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λλ≠1的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点A−7,0，B为直线l:4x+3y+11=0上的动点，P为圆C:(x−2)2+y2四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知直线l1的方程为a+4x−ay+2=0，直线l2经过点A(1)若l1⊥l(2)若当a变化时，l1总过定点C，求AC．16.(本小题12分)已知▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且3(1)求A；(2)若C=π4,△ABC的面积为217.(本小题12分)已知圆E:x2−2mx+y2−1(1)求l的方程；(2)若l与圆E相交于M,N两点，圆心E到l的距离为2，圆C的圆心在线段MN上，且圆C与圆E相切，切点在劣弧MN上，求圆C的半径的最大值．18.(本小题12分)如图，在三棱锥P−ABC中，PA=AB=BC=2,PB=AC=22,PA⊥BC,M,N分别是棱PB，CA上的动点(不含端点)，且(1)证明：平面ABC⊥平面PAB．(2)设BM=t，则当t为何值时，MN的长度最小？(3)当MN的长度最小时，求平面AMN与平面PAB的夹角的余弦值．19.(本小题12分)已知椭圆E:x2a2+(1)求E的方程．(2)过点P0,3且不与y轴重合的动直线l与E相交于A,B两点，AB的中点为Q(i)证明：直线l与OQ的斜率之积为定值；(ii)当▵OAB的面积最大时，求直线l的方程．

参考答案1.D

2.B

3.A

4.B

5.C

6.C

7.D

8.D

9.BD

10.AC

11.BCD

12.−2

13.35或0.614.9

15.解：(1)直线l2经过点A12,0和所以直线l2的斜率为k=1a−00−12所以a+4a×−2a(2)直线l1的方程为a+4x−ay+2=0可以改写为由x−y=04x+2=0，解得x=y=−所以l1总过定点C根据两点间的距离公式，AC

16.解：(1)由3asin又C∈(0,π)，sinC≠0，得到3sin所以2sin(A−π6)=1，得到sin所以A−π6=(2)因为C=π4，由(1)知A=π由正弦定理asinA=又sin5π12=又▵ABC的面积为23+6整理得到c2=16，解得

17.解：(1)因为点A1,0关于直线l:y=ax+b的对称点为B−2,3，所以3−3又易知AB中点为(−12,32所以直线l的方程为y=x+2．(2)因为圆E:x2−2mx+由题有m+22=2，解得m=0或m=−4所以m=−4，圆E:x2+8x+设M(x1,y1),N(x所以x1设圆C的圆心为C(a,a+2)，半径为r，又圆C与圆E相切，切点在劣弧MN上，则CE=14又易知−3−6<a<−3+6，所以当a=−3

18.解：(1)由于PA=AB=2,PB=2又PA⊥BC,BC∩AB=B,BC,AB⊂平面ABC，所以PA⊥平面ABC，又因为PA⊂平面PAB，所以平面ABC⊥平面PAB．(2)作MD//PA交AB于D，连接DN，由于PA⊥平面ABC，故MD⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，故MD⊥MN，BM=t，故BD=DM=CN=t，故AN=22−t,由余弦定理可得D=2−故NM=故当t=2时，此时MN的最小值为(3)由于AB=BC=2,AC=22，故以B为坐标原点，以BC,BA所在的直线分别为x和y轴，以过点B垂直与平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，当t=2时，M,N分别为则A0,2,0，B所以AM=设平面AMN的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅取y=1，可得平面AMN的一个法向量n=平面PAB的一个法向量为m=设平面AMN与平面PAB的所成角为θ，则cosθ=|故平面AMN与平面PAB的所成角的余弦值为3

19.解：(1)由已知，得9a2故E的方程为x2(2)①

由