2024-2025学年陕西省西安市高新一中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安市高新一中高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U={1,3,5,6,8}，A={1,6}，B={5,6,8}，则(∁UA)∩B=A.{6} B.{5,8} C.{6,8} D.{3,5,6,8}2.已知集合M={x|x2−4<0},N={x|x−2A.M=N B.M⫋N C.N⫋M D.M∩N=⌀3.命题“∃x0∈R，x3A.∀x∈R，x3−x2+1≤0 B.∃x0∈R，x3−x4.“x≥1”是“x+1x≥2”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.在R上定义运算⊙：x⊙y=x(1−y).若不等式(x−a)⊙(x+a)<1对任意实数x成立，则(

)A.−1<a<1 B.0<a<2 C.−12<a<6.实数a，b满足a>0，b>0且a+b=3，则1a+1+4b+2A.1 B.53 C.43 7.若对任意a∈[−1,1]，不等式x2+(a−3)x−3a>0恒成立，则x的取值范围是(

)A.1<x<3 B.−1<x<3 C.x<1或x>3 D.x<−1或x>38.已知a>b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使aA.1 B.2 C.2 D.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若p：x2+x−6=0是q：ax+1=0的必要不充分条件，则实数a的值为(

)A.2 B.−12 C.1310.已知两个变量x，y的关系式f(x,y)=x(1−y)，则以下说法正确的是(

)A.f(1,3)=f(3,1)=0

B.对任意实数a，都有f(a,a)≤14成立

C.若对任意实数x，不等式f(x−a,x)≤−a+4恒成立，则实数a的取值范围是[−5,3]

D.若对任意正实数a，不等式f(x−a,x)≤−a+4恒成立，则实数x11.设a>0，b>0，a+b=1，则(

)A.a2+b2的最小值为12

B.4a+1b的范围为[9,+∞)

C.(a+1)(b+1)三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。12.对于集合M，N，定义M−N={x|x∈M，且x∉N}，M⊕N=(M−N)∪(N−M)，设A={t|t=x2−3x,x∈R}，B={x|x<0}，则A⊕B=13.设命题p：|4x−3|≤1；命题q：x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0.若￢p是￢q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是______．14.设a>b>c且1a−b+1b−c≥四、解答题：本题共5小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2−1=0}．

(1)若A∪B=B，求a的值；16.(本小题12分)

(1)已知a>0，设命题p：a>1；命题q：不等式ax2−ax+1>0对∀x∈R恒成立，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围．

(2)设m∈Z，命题p：关于x的一元二次方程mx2−4x+4=0的根都是整数；命题q：关于x17.(本小题12分)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入−前n年的总支出−投资额)．(Ⅰ)该厂从第几年开始盈利？

(Ⅱ)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方法：

①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；

②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂

问哪种方案更合算？18.(本小题12分)

(1)已知a、b、c∈R，求证：a2+b2+c2+4≥ab+3b+2c．

(2)设a、19.(本小题13分)

排序不等式：设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么a1bn+a2bn−1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn即“反序和≤乱序和≤顺序和”．

当且仅当a1=参考答案1.B

2.C

3.A

4.A

5.C

6.D

7.D

8.D

9.BC

10.BC

11.ABD

12.{x|x<−913.[0,114.(−∞,4]

15.解：(1)A={−4,0}

若A∪B=B，则B⊇A={−4,0}，解得：a=1

(2)若A∩B=B，则

①若B为空集，则△=4(a+1)2−4(a2−1)=8a+8<0

则a<−1；

②若B为单元集，则△=4(a+1)2−4(a2−1)=8a+8=0

解得：a=−1，将a=−1代入方程x2+2(a+1)x+a2−1=0得：x216.解：(1)∵a>0且不等式ax2−ax+1>0对∀x∈R恒成立，

∴Δ=a2−4a<0且a>0，解得0<a<4，

∴q：0<a<4，

又命题p：a>1，

命题p∧q为假，p∨q为真，那么p，q中有且只有一个为真，一个为假，

若p真，q假，则a>1a≤0或a≥4，解得a≥4；

若p假，q真，则a≤10<a<4，解得0<a≤1，

∴a的取值范围为(0,l]∪[4,+∞)．

(2)∵mx2−4x+4=0是一元二次方程，∴m≠0．

又另一方程为x2−4mx+4m2−4m−5=0，且两方程都要有实根，

∴Δ1=16−16m≥0且Δ2=16m2−4(4m2−4m−5)≥0，

解得m∈[−54,1]，

∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，

∴4m17.解：(Ⅰ)由题意，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，可知每年的支出构成一个等差数列，用g(n)表示前n年的总支出，

∴g(n)=12n+n(n−1)2×4=2n2+10n(n∈N∗)，

∵f(n)=前n年的总收入−前n年的总支出−投资额，

∴f(n)=50n−(2n2+10n)−72=−2n2+40n−72，

由f(n)>0，即−2n2+40n−72>0，解得2<n<18，

由n∈N∗知，从第三年开始盈利；

(Ⅱ)方案①：年平均纯利润为f(n)n=40−2(n+36n)≤16，

当且仅当n=6时等号成立，

故方案①共获利6×16+48=144(万元)，此时n=6；

方案②：f(n)=−2(n−10)2+128，

18.(1)证明：由a2+b2+c2+4−(ab+3b+2c)=14[(2a−b)2+3(b−2)2+4(c−1)2]≥0，当且仅当a=1，b=2，c=1时，等号成立，

所以a2+b2+c2+4≥ab+3b+2c；

(2)证明：119.解：(1)由题意b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，

设两组数a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn，

则a1b1+a2b2+⋯+anbn可看作a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn两组实数的“乱序和”；

设c1，c2，…，cn也是a1，a2，…，an的一个排列，且c1≤c2≤…≤cn，

其中满足集合{a1,a2,…,an}={b1,b2,…,bn}={c1,c2,⃯⋯,cn}.

则c12+c22+⋯+cn2为a1，a2，…，an与，b2，…，bn两组实数的“顺序和”，

且