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第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安市高新一中高一(上)第一次月考数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题4分,共32分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设全集U={1,3,5,6,8},A={1,6},B={5,6,8},则(∁UA)∩B=A.{6} B.{5,8} C.{6,8} D.{3,5,6,8}2.已知集合M={x|x2−4<0},N={x|x−2A.M=N B.M⫋N C.N⫋M D.M∩N=⌀3.命题“∃x0∈R,x3A.∀x∈R,x3−x2+1≤0 B.∃x0∈R,x3−x4.“x≥1”是“x+1x≥2”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.在R上定义运算⊙:x⊙y=x(1−y).若不等式(x−a)⊙(x+a)<1对任意实数x成立,则(
)A.−1<a<1 B.0<a<2 C.−12<a<6.实数a,b满足a>0,b>0且a+b=3,则1a+1+4b+2A.1 B.53 C.43 7.若对任意a∈[−1,1],不等式x2+(a−3)x−3a>0恒成立,则x的取值范围是(
)A.1<x<3 B.−1<x<3 C.x<1或x>3 D.x<−1或x>38.已知a>b,二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立,又∃x0∈R,使aA.1 B.2 C.2 D.二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.若p:x2+x−6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件,则实数a的值为(
)A.2 B.−12 C.1310.已知两个变量x,y的关系式f(x,y)=x(1−y),则以下说法正确的是(
)A.f(1,3)=f(3,1)=0
B.对任意实数a,都有f(a,a)≤14成立
C.若对任意实数x,不等式f(x−a,x)≤−a+4恒成立,则实数a的取值范围是[−5,3]
D.若对任意正实数a,不等式f(x−a,x)≤−a+4恒成立,则实数x11.设a>0,b>0,a+b=1,则(
)A.a2+b2的最小值为12
B.4a+1b的范围为[9,+∞)
C.(a+1)(b+1)三、填空题:本题共3小题,每小题4分,共12分。12.对于集合M,N,定义M−N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M−N)∪(N−M),设A={t|t=x2−3x,x∈R},B={x|x<0},则A⊕B=13.设命题p:|4x−3|≤1;命题q:x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p是¬q的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是______.14.设a>b>c且1a−b+1b−c≥四、解答题:本题共5小题,共61分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)
已知:A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2−1=0}.
(1)若A∪B=B,求a的值;16.(本小题12分)
(1)已知a>0,设命题p:a>1;命题q:不等式ax2−ax+1>0对∀x∈R恒成立,若“p∧q”为假,“p∨q”为真,求a的取值范围.
(2)设m∈Z,命题p:关于x的一元二次方程mx2−4x+4=0的根都是整数;命题q:关于x17.(本小题12分)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入−前n年的总支出−投资额).(Ⅰ)该厂从第几年开始盈利?
(Ⅱ)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方法:
①年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂;
②纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂
问哪种方案更合算?18.(本小题12分)
(1)已知a、b、c∈R,求证:a2+b2+c2+4≥ab+3b+2c.
(2)设a、19.(本小题13分)
排序不等式:设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,那么a1bn+a2bn−1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn即“反序和≤乱序和≤顺序和”.
当且仅当a1=参考答案1.B
2.C
3.A
4.A
5.C
6.D
7.D
8.D
9.BC
10.BC
11.ABD
12.{x|x<−913.[0,114.(−∞,4]
15.解:(1)A={−4,0}
若A∪B=B,则B⊇A={−4,0},解得:a=1
(2)若A∩B=B,则
①若B为空集,则△=4(a+1)2−4(a2−1)=8a+8<0
则a<−1;
②若B为单元集,则△=4(a+1)2−4(a2−1)=8a+8=0
解得:a=−1,将a=−1代入方程x2+2(a+1)x+a2−1=0得:x216.解:(1)∵a>0且不等式ax2−ax+1>0对∀x∈R恒成立,
∴Δ=a2−4a<0且a>0,解得0<a<4,
∴q:0<a<4,
又命题p:a>1,
命题p∧q为假,p∨q为真,那么p,q中有且只有一个为真,一个为假,
若p真,q假,则a>1a≤0或a≥4,解得a≥4;
若p假,q真,则a≤10<a<4,解得0<a≤1,
∴a的取值范围为(0,l]∪[4,+∞).
(2)∵mx2−4x+4=0是一元二次方程,∴m≠0.
又另一方程为x2−4mx+4m2−4m−5=0,且两方程都要有实根,
∴Δ1=16−16m≥0且Δ2=16m2−4(4m2−4m−5)≥0,
解得m∈[−54,1],
∵两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数,
∴4m17.解:(Ⅰ)由题意,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,可知每年的支出构成一个等差数列,用g(n)表示前n年的总支出,
∴g(n)=12n+n(n−1)2×4=2n2+10n(n∈N∗),
∵f(n)=前n年的总收入−前n年的总支出−投资额,
∴f(n)=50n−(2n2+10n)−72=−2n2+40n−72,
由f(n)>0,即−2n2+40n−72>0,解得2<n<18,
由n∈N∗知,从第三年开始盈利;
(Ⅱ)方案①:年平均纯利润为f(n)n=40−2(n+36n)≤16,
当且仅当n=6时等号成立,
故方案①共获利6×16+48=144(万元),此时n=6;
方案②:f(n)=−2(n−10)2+128,
18.(1)证明:由a2+b2+c2+4−(ab+3b+2c)=14[(2a−b)2+3(b−2)2+4(c−1)2]≥0,当且仅当a=1,b=2,c=1时,等号成立,
所以a2+b2+c2+4≥ab+3b+2c;
(2)证明:119.解:(1)由题意b1,b2,…,bn是a1,a2,…,an的任一排列,
设两组数a1,a2,…,an与b1,b2,…,bn,
则a1b1+a2b2+⋯+anbn可看作a1,a2,…,an与b1,b2,…,bn两组实数的“乱序和”;
设c1,c2,…,cn也是a1,a2,…,an的一个排列,且c1≤c2≤…≤cn,
其中满足集合{a1,a2,…,an}={b1,b2,…,bn}={c1,c2,⃯⋯,cn}.
则c12+c22+⋯+cn2为a1,a2,…,an与,b2,…,bn两组实数的“顺序和”,
且
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