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第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城区育才学校高二(上)月考数学试卷(10月份)一、单选题:本题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(2,−1,3),b=(−4,2,x),且a⊥b,则A.103 B.−6 C.6 D.2.直线x+y−1=0的倾斜角为(
)A.45° B.135° C.90° D.120°3.已知空间向量a=(0,2,0),b=(1,0,−1),则(aA.−2 B.−1 C.1 D.24.在空间直角坐标系中,点P(1,2,−3)关于坐标平面xOy的对称点为(
)A.(−1,−2,3) B.(−1,−2,−3) C.(−1,2,−3) D.(1,2,3)5.若a=(x,−1,3),b=(2,y,6),且a//bA.x=1,y=2 B.x=1,y=−2
C.x=12,y=−2 D.x=−1,6.如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,E为CDA.25B.35
C.137.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中,E为AA.13 B.33 C.58.如图,空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M是OA的中点,点N在BC上,且CN=2NB,设MN=xaA.12 , 13, 23B.9.已知在棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中,点D为B1C1的中点,若在棱AB上存在一点P,使得A.2 B.5 C.6 10.如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E是侧面BB1C1A.圆
B.半圆
C.直线
D.线段二、填空题:本题共5小题,每小题4分,共20分。11.已知向量a=(1,2,2),b=(3,2,0),则|a12.已知点A(−2,0,−2),B(−1,6,−8),AB的中点坐标为______.13.如图,以长方体ABCD−A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若DB14.正四棱锥所有棱长均为2,则侧面与底面所成二面角的正切值为______.15.棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中,若点P为线段A1B上的动点(不含端点),则下列结论正确的是______.
①平面A1D1P⊥平面AA1P
②三、解答题:本题共4小题,共40分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)
在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AB=3,AD=AA1=2,点E在AB上,且AE=1.
(1)求直线B17.(本小题10分)
如图,已知直三棱柱ABC−A1B1C1中,若∠ACB=90°,AC=BC=1,AA1=2,M为AB的中点.
(1)求异面直线AC18.(本小题10分)
如图,在四棱锥P−ABCD中,CD⊥平面PAD,△PAD为正三角形,AD//BC,AD=CD=2BC=2,E,F分别为棱PD,PB的中点.
(1)如图,O为棱AD的中点,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,是否合理?请说明理由;
(2)求证:AE⊥平面PCD;
(3)求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值.19.(本小题10分)
如图,在四棱锥P−ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为菱形,且AB=2,∠DAB=60°,点M为棱DP的中点.
(1)在棱BC上是否存在一点N,使得CM//平面PAN?如果存在,确定点N的位置,如果不存在,请并说明理由;
(2)若二面角B−CM−D的余弦值为66时,求棱DP的长度,并求点A到平面BCM的距离.
参考答案1.A
2.B
3.D
4.D
5.B
6.C
7.C
8.C
9.B
10.B
11.212.(−313.(−4,3,2)
14.215.①②③
16.解:(1)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,
则A1(2,0,2),E(2,1,0),B(2,3,0),C1(0,3,2),C(0,3,0),B1(2,3,2),
可得A1E=(0,1,−2),BC1=(−2,0,2),EC=(−2,2,0),
设平面A1EC的法向量为n=(x,y,z),
则n⋅A1E=y−2z=0n⋅EC=−2x+2y=0,
令z=1,则x=y=2,可得n=(2,2,1),
可得|17.解:(1)由题意,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,∠ACB=90°,
则可以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
由AC=BC=1,AA1=2,M为AB的中点,
可得A(1,0,0),C(0,0,0),M(12,12,0),B1(0,1,2),C1(0,0,2),
则AC1=(−1,0,2),CB1=(0,1,2),
故cos<AC1,CB1>=AC1⋅CB1|AC1||CB1|=45×5=45,
18.解:(1)因为△PAD为正三角形,O为AD中点,则PO⊥AD,
又AD//BC,AD=2BC,O为棱AD的中点,
所以BO//CD,又CD⊥平面PAD,
所以BO⊥平面PAD,由OD,OP⊂平面PAD,
故OB,OD,OP两两垂直,
所以以O为坐标原点建立的空间直角坐标系合理;
(2)证明:因为CD⊥平面PAD,AD⊂平面PAD,AE⊂平面PAD,
所以CD⊥AD,CD⊥AE,
又因为△PAD为等边三角形,E为PD的中点,
所以PD⊥AE,又PD∩CD=D,
所以AE⊥平面PCD;
(3)由题意,A(0,0,0),E(−12,0,32),F(0,1,32),
B(0,2,0),P(0,0,3),D(−1,0,0),
则AE=(−32,0,32),EF=(12,1,0),
设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z),
则有n⋅AE=019.解:(1)在棱BC上存在点N,使得CM//平面PAN,点N为棱BC的中点.证明如下:
取PA的中点Q,连结NQ、MQ,
由题意,MQ//AD且MQ=12AD,CN//AD且CN=12AD,
故CN//MQ且CN=MQ.
∴四边形CNQM为平行四边形.
∴CM//NQ,又CM⊄平面PAN,NQ⊂平面PAN,∴CM//平面PAN.
(2)因为PD⊥平面ABCD,又∠DAB=60°,底面ABCD为菱形,
所以△ABD为正三角形,
取AB中点E,连接DE,
则DE⊥AB,也即DE⊥DC,
所以DE,DC,DP两两互相垂直,
以D为坐标原点,分别以DE,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
设MD=a,
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