2024-2025学年北京市西城区育才学校高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城区育才学校高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(2,−1,3)，b=(−4,2,x)，且a⊥b，则A.103 B.−6 C.6 D.2.直线x+y−1=0的倾斜角为(

)A.45° B.135° C.90° D.120°3.已知空间向量a=(0,2,0)，b=(1,0,−1)，则(aA.−2 B.−1 C.1 D.24.在空间直角坐标系中，点P(1,2,−3)关于坐标平面xOy的对称点为(

)A.(−1,−2,3) B.(−1,−2,−3) C.(−1,2,−3) D.(1,2,3)5.若a=(x,−1,3)，b=(2,y,6)，且a//bA.x=1，y=2 B.x=1，y=−2

C.x=12，y=−2 D.x=−1，6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为CDA.25B.35

C.137.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AA.13 B.33 C.58.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M是OA的中点，点N在BC上，且CN=2NB，设MN=xaA.12 , 13, 23B.9.已知在棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D为B1C1的中点，若在棱AB上存在一点P，使得A.2 B.5 C.6 10.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是侧面BB1C1A.圆

B.半圆

C.直线

D.线段二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。11.已知向量a=(1,2,2),b=(3,2,0)，则|a12.已知点A(−2,0,−2)，B(−1,6,−8)，AB的中点坐标为______．13.如图，以长方体ABCD−A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB14.正四棱锥所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的正切值为______．15.棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，若点P为线段A1B上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是______．

①平面A1D1P⊥平面AA1P

②三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AD=AA1=2，点E在AB上，且AE=1．

(1)求直线B17.(本小题10分)

如图，已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，若∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，M为AB的中点．

(1)求异面直线AC18.(本小题10分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD为正三角形，AD//BC，AD=CD=2BC=2，E，F分别为棱PD，PB的中点．

(1)如图，O为棱AD的中点，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，是否合理？请说明理由；

(2)求证：AE⊥平面PCD；

(3)求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值．19.(本小题10分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，且AB=2，∠DAB=60°，点M为棱DP的中点．

(1)在棱BC上是否存在一点N，使得CM//平面PAN？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请并说明理由；

(2)若二面角B−CM−D的余弦值为66时，求棱DP的长度，并求点A到平面BCM的距离．

参考答案1.A

2.B

3.D

4.D

5.B

6.C

7.C

8.C

9.B

10.B

11.212.(−313.(−4,3,2)

14.215.①②③

16.解：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则A1(2,0,2)，E(2,1,0)，B(2,3,0)，C1(0,3,2)，C(0,3,0)，B1(2,3,2)，

可得A1E=(0,1,−2)，BC1=(−2,0,2)，EC=(−2,2,0)，

设平面A1EC的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅A1E=y−2z=0n⋅EC=−2x+2y=0，

令z=1，则x=y=2，可得n=(2,2,1)，

可得|17.解：(1)由题意，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，

则可以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

由AC=BC=1，AA1=2，M为AB的中点，

可得A(1,0,0)，C(0,0,0)，M(12,12,0)，B1(0,1,2)，C1(0,0,2)，

则AC1=(−1,0,2)，CB1=(0,1,2)，

故cos<AC1,CB1>=AC1⋅CB1|AC1||CB1|=45×5=45，

18.解：(1)因为△PAD为正三角形，O为AD中点，则PO⊥AD，

又AD//BC，AD=2BC，O为棱AD的中点，

所以BO/​/CD，又CD⊥平面PAD，

所以BO⊥平面PAD，由OD，OP⊂平面PAD，

故OB，OD，OP两两垂直，

所以以O为坐标原点建立的空间直角坐标系合理；

(2)证明：因为CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，AE⊂平面PAD，

所以CD⊥AD，CD⊥AE，

又因为△PAD为等边三角形，E为PD的中点，

所以PD⊥AE，又PD∩CD=D，

所以AE⊥平面PCD；

(3)由题意，A(0,0,0)，E(−12,0,32)，F(0,1,32)，

B(0,2,0)，P(0,0,3)，D(−1,0,0)，

则AE=(−32,0,32)，EF=(12,1,0)，

设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z)，

则有n⋅AE=019.解：(1)在棱BC上存在点N，使得CM/​/平面PAN，点N为棱BC的中点．证明如下：

取PA的中点Q，连结NQ、MQ，

由题意，MQ//AD且MQ=12AD，CN/​/AD且CN=12AD，

故CN//MQ且CN=MQ．

∴四边形CNQM为平行四边形．

∴CM//NQ，又CM⊄平面PAN，NQ⊂平面PAN，∴CM/​/平面PAN．

(2)因为PD⊥平面ABCD，又∠DAB=60°，底面ABCD为菱形，

所以△ABD为正三角形，

取AB中点E，连接DE，

则DE⊥AB，也即DE⊥DC，

所以DE，DC，DP两两互相垂直，

以D为坐标原点，分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设MD=a，