2024-2025学年山东省日照市五莲一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省日照市五莲一中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=2+i，则|z1−i|=A.52 B.52 C.2.已知v为直线l的方向向量，n1、n2分别为平面α、β的法向量(α、β不重合)，那么下列说法中：

①n1//n2⇔α//β；

②n1⊥nA.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.现有一段底面周长为12π厘米和高为12厘米的圆柱形水管，AB是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从A点沿上底部圆弧顺时针方向爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P点，另一只从B沿下底部圆弧逆时针方向爬行π厘米后再向上爬行3厘米爬行到达Q点，则此时线段PQ长(单位：厘米)为(

)

A.62 B.63 C.4.若(2−2i)z=i，则z−=(

)A.14+14i B.−15.正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M是CC1上靠近点C1的三等分点，平面A.510 B.1510 C.6.在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是AA.63a B.36a7.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点E，F，G分别为BC，A.直线D1D与直线AF垂直

B.直线A1G与平面AEF平行

C.三棱锥F−ABE的体积为18

D.直线8.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M在线段BC1(不含端点)上运动，则下列结论正确的是(

)

①ABCD−A1B1C1D1的外接球表面积为48π；

②异面直线A1M与A.①② B.①③ C.②③ D.③④二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于复数z，下列说法正确的是(

)A.i2023=−1

B.若|z|=1，则|z−2|的最小值为1

C.z2=|z|2

D.若−4+3i10.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=2，BB1=2，DA.A1B//平面ADC1

B.AD⊥C1D

C.异面直线AC与DE所成角的余弦值为1011.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，CC1，C1DA.正方体被平面MNP截得的截面面积为334

B.若|DQ|=|AB|，则点Q的轨迹长度为2π

C.若BH=2HB1，则|B1Q|+|HQ|的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若1+i是实系数一元二次方程x2+px+q=0的一个根，则p+q=______．13.已知向量a=(−2,t,−1)，b=(2,1,1).若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______．14.已知梯形CEPD如图1所示，其中PD=8，CE=6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体.已知当点F满足AF=λAB(0<λ<1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为______．

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知空间中三点A(2,0,−2)，B(1,−1,−2)，C(3,0,−4)，设a=AB,b=AC．

(1)已知(a+kb)⊥b，求k16.(本小题12分)

在空间直角坐标系O−xyz中，已知向量u=(a,b,c)，点P0(x0,y0,z0).若直线l以u为方向向量且经过点P0，则直线l的标准式方程可表示为x−x0a=y−y0b=z−z0c(abc≠0)；若平面α以u为法向量且经过点P0，则平面α的点法式方程表示为a(x−x017.(本小题12分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC=2，AB=4，AA1=6，点E，F18.(本小题12分)

如图，PC是圆台O1O2的一条母线，△ABC是圆O2的内接三角形，AB为圆O2的直径，AB=4,AC=22．

(1)证明：AB⊥PC；

(2)若圆台O1O2的高为19.(本小题12分)如图①所示，矩形ABCD中，AD=1，AB=2，点M是边CD的中点，将△ADM沿AM翻折到△PAM，连接PB，PC，得到图②的四棱锥P−ABCM，N为PB中点，

(1)若平面PAM⊥平面ABCD，求直线BC与平面PMB所成角的大小；(2)设P−AM−D的大小为θ，若θ∈0,π2，求平面PAM和平面PBC参考答案1.D

2.B

3.A

4.B

5.D

6.D

7.B

8.C

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.0

13.(−∞,−1)∪(−1,5)

14.3515.解：1)因为A(2,0,−2)，B(1,−1,−2)，C(3,0,−4)，a=AB,b=AC，

所以a=(−1,−1,0),b=(1,0,−2)，a+kb=(k−1,−1,−2k)，

又(a+kb)⊥b，所以(a+kb)⋅b=k−1+4k=0，得到k=16.解：(1)依题意，直线l的一个方向向量坐标为m=(1,−3,2)，平面α1的一个法向量为n=(3,1,−1)，

设直线l与平面α1所成角为β，

则sinβ=|cos〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|=28×5=1010，

因为cos2β=1−17.

解：(1)证明：如图：

在三棱柱ABC−A1B1C1中，因为AA1⊥底面A1B1C1，

所以三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，因此四边形AA1C1C是矩形．

又因为点E是CA1的中点，所以连接AC1，则E是AC1的中点．

连接BC1，因为F是AB的中点，所以EF/​/BC1．

因为BC1⊂平面BCC1B1，EF⊄平面BCC1B1，所以EF/​/平面BCC1B1．

(2)解：由(1)知：三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，

所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，

因此∠CAB是二面角C−AA1−B的平面角．

又因为AC⊥AB，所以∠CAB=π2，

因此平面CAA1⊥平面AA1B．

由(1)知：四边形AA1C1C是矩形，

如下图：取AA1的中点H，连接EH．

因为点E是CA1的中点，所以EH⊥AA1．

因为平面CAA1⊥平面AA1B交于AA1，EH⊂平面CAA1，

所以EH⊥平面18.解：(1)证明：因为PC是圆台O1O2的一条母线，所以PC与O1O2的延长线必相交，

所以P，C，O1，O2四点共面，

连接O1O2，O2C，O1P，则O1O2⊥平面ABC，

因为AB⊂平面ABC，所以O1O2⊥AB，

因为△ABC是圆O2的内接三角形，AB为圆O2的直径，所以AC⊥BC，

因为AB为圆O2的直径，AB=4,AC=22，

所以BC=AB2−AC2=22=AC，所以AB⊥O2C，

因为O1O2∩O2C=O2，O1O2,O2C⊂平面O1O2CP，所以AB⊥平面O1O2CP，

因为PC⊂平面O1O2CP，所以AB⊥PC；

(2)因为圆台O1O2的高为3，体积为7π，设圆O1的半径为r，

则V=13×3π×(4+2r+r2)=7π，解得r=1，

因为圆面O1//圆面O2，圆面O1∩平面O1O2CP=O19.解：(1)取AM中点G，连接PG，由PM=PA=1，得PG⊥AM，而平面PAM⊥平面ABCD，平面PAM∩平面ABCD=AM,PG⊂平面PAM，则PG⊥平面ABCD，过M作Mz//PG，则Mz⊥平面ABCD，又MA,MB⊂平面ABCD，于是Mz⊥MA,Mz⊥MB，在矩形ABCD中，MA=MB=2，MA以点M为原点，直线MA,MB,Mz分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则M(0,0,0),B(0,MB=(0,设平面PMB的法向量为m=(a,b,c)，

则m⋅MB=设直线BC与平面PMB所成的角为φ，

则sinφ=|所以直线BC与平面PMB所成角的大小为π6(2)连接DG，由DA=DM，得DG⊥AM，而PG⊥AM，

则∠PGD为P−AM−D的平面角，即∠PGD=θ，过点D作Dz⊥平面ABCD，以D为坐标原点，直线DA,DC,Dz分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A1,0,0，M0,1,0，显然AM⊥平面PGD，AM⊂平面ABCD，则平面PGD⊥平面ABCD，在平面PGD内过P作PH⊥DG于点H