七年级数学(上)思维特训(4)：绝对值与分类讨论(含答案)

思维特训(四)绝对值与分类讨论方法点津·1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论．用符号表示这一过程为：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a>0），,0（a＝0），,－a（a<0）.))2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论．用符号表示这个过程为：若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))＝a(a>0)，则x＝±a.3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳．典题精练·类型一以数轴为载体的绝对值的分类讨论1．已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，且|a＋4|＋(b－1)2＝0.现将点A，B之间的距离记作|AB|，定义|AB|＝|a－b|.(1)|AB|＝________；(2)设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|－|PB|＝2时，求x的值．2．我们知道：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a－b|，所以式子|x－3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，回答下列问题：(1)|5－(－2)|的值为________；(2)若|x－3|＝1，则x的值为________；(3)若|x－3|＝|x＋1|，求x的值；(4)若|x－3|＋|x＋1|＝7，求x的值．类型二与绝对值化简有关的分类讨论问题3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题：【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|c|,c)的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|c|,c)＝eq\f(a,a)＋eq\f(b,b)＋eq\f(c,c)＝1＋1＋1＝3；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|c|,c)＝eq\f(a,a)＋eq\f(－b,b)＋eq\f(－c,c)＝1－1－1＝－1.所以eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|c|,c)的值为3或－1.【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：(1)三个有理数a，b，c满足abc＜0，求eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|c|,c)的值；(2)已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a＋b的值．4．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6＋7|＝6＋7；|6－7|＝7－6；|7－6|＝7－6；|－6－7|＝6＋7.(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7－21|＝________；②|－eq\f(1,2)＋0.8|＝________；③eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7,17)－\f(7,18)))＝________．(2)用合理的方法计算：|eq\f(1,5)－eq\f(1,2018)|＋|eq\f(1,2018)－eq\f(1,2)|－|－eq\f(1,2)|＋eq\f(1,1009).5．探索研究：(1)比较下列各式的大小(填“＜”“＞”或“＝”)：①|－2|＋|3|________|－2＋3|；②|－eq\f(1,2)|＋|－eq\f(1,3)|________|－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)|；③|6|＋|－3|________|6－3|；④|0|＋|－8|________|0－8|.(2)通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有理数时，|a|＋|b|与|a＋b|的大小关系．(直接写出结论即可)(3)根据(2)中得出的结论，解决以下问题：当|x|＋|－2018|＝|x－2018|时，求x的取值范围．

详解详析1．解：(1)因为|a＋4|＋(b－1)2＝0，所以a＝－4，b＝1，所以|AB|＝|a－b|＝5.(2)当点P在点A左侧时，|PA|－|PB|＝－(|PB|－|PA|)＝－|AB|＝－5≠2，不符合题意；当点P在点B右侧时，|PA|－|PB|＝|AB|＝5≠2，不符合题意．当点P在点A，B之间时，|PA|＝|x－(－4)|＝x＋4，|PB|＝|x－1|＝1－x.因为|PA|－|PB|＝2，所以x＋4－(1－x)＝2，解得x＝－eq\f(1,2).2．解：(1)7(2)因为|x－3|＝1，所以x－3＝±1，解得x＝2或4.故x的值为2或4.(3)根据绝对值的几何意义可知，x必在－1与3之间，故x－3＜0，x＋1＞0，所以原式可化为3－x＝x＋1，所以x＝1.(4)在数轴上表示3和－1的两点之间的距离为4，则满足方程的x的对应点在－1的对应点的左边或3的对应点的右边．若x的对应点在－1的对应点的左边，则原式可化为3－x－x－1＝7，解得x＝－2.5；若x的对应点在3的对应点的右边，则原式可化为x－3＋x＋1＝7，解得x＝4.5.综上可得，x的值为－2.5或4.5.3．解：(1)因为abc＜0，所以a，b，c都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．①当a，b，c都为负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，则eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|c|,c)＝eq\f(－a,a)＋eq\f(－b,b)＋eq\f(－c,c)＝－1－1－1＝－3；②当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，则eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|c|,c)＝eq\f(－a,a)＋eq\f(b,b)＋eq\f(c,c)＝－1＋1＋1＝1.综上所述，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|c|,c)的值为－3或1.(2)因为|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，所以a＝－3，b＝1或－1，则a＋b＝－2或－4.4．解：(1)①21－7②0.8－eq\f(1,2)③eq\f(7,17)－eq\f(7,18)(2)原式＝eq\f(1,5)－eq\f(1,2018)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2018)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,1009)＝eq\f(1,5).5．解：(1)①因为|－2|＋|3|＝5，|－2＋3|＝1，所以|－2|＋|3|＞|－2＋3|.②因为|－eq\f(1,2)|＋|－eq\f(1,3)|＝eq\f(5,6)，|－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)|＝eq\f(5,6)，所以|－eq\f(1,2)|＋|－eq\f(1,3)|＝|－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)|.③因为|6|＋|－3|＝6＋3＝9，|6－3|＝3，所以|6|＋|－3|＞|6－3|.④因为|0|＋|－8|＝8，|0－8|＝8，所