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文档简介
思维特训(四)绝对值与分类讨论方法点津·1.由于去掉绝对值符号时,要分三种情况:即正数的绝对值是它本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数,所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论.用符号表示这一过程为:eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a(a>0),,0(a=0),,-a(a<0).))2.由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个,一个点表示的数是正数,另一个点表示的数是负数,因此知道某个数的绝对值求该数时,往往需要分两种情况讨论.用符号表示这个过程为:若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))=a(a>0),则x=±a.3.分类讨论的原则是不重不漏,一般步骤为:①分类;②讨论;③归纳.典题精练·类型一以数轴为载体的绝对值的分类讨论1.已知点A在数轴上对应的数是a,点B在数轴上对应的数是b,且|a+4|+(b-1)2=0.现将点A,B之间的距离记作|AB|,定义|AB|=|a-b|.(1)|AB|=________;(2)设点P在数轴上对应的数是x,当|PA|-|PB|=2时,求x的值.2.我们知道:点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,A,B两点之间的距离表示为AB,在数轴上A,B两点之间的距离AB=|a-b|,所以式子|x-3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离.根据上述材料,回答下列问题:(1)|5-(-2)|的值为________;(2)若|x-3|=1,则x的值为________;(3)若|x-3|=|x+1|,求x的值;(4)若|x-3|+|x+1|=7,求x的值.类型二与绝对值化简有关的分类讨论问题3.在解决数学问题的过程中,我们常用到“分类讨论”的数学思想,下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程,请仔细阅读,并解答下列问题:【提出问题】三个有理数a,b,c满足abc>0,求eq\f(|a|,a)+eq\f(|b|,b)+eq\f(|c|,c)的值.【解决问题】解:由题意,得a,b,c三个有理数都为正数或其中一个为正数,另两个为负数.①当a,b,c都是正数,即a>0,b>0,c>0时,则eq\f(|a|,a)+eq\f(|b|,b)+eq\f(|c|,c)=eq\f(a,a)+eq\f(b,b)+eq\f(c,c)=1+1+1=3;②当a,b,c中有一个为正数,另两个为负数时,设a>0,b<0,c<0,则eq\f(|a|,a)+eq\f(|b|,b)+eq\f(|c|,c)=eq\f(a,a)+eq\f(-b,b)+eq\f(-c,c)=1-1-1=-1.所以eq\f(|a|,a)+eq\f(|b|,b)+eq\f(|c|,c)的值为3或-1.【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题:(1)三个有理数a,b,c满足abc<0,求eq\f(|a|,a)+eq\f(|b|,b)+eq\f(|c|,c)的值;(2)已知|a|=3,|b|=1,且a<b,求a+b的值.4.在有些情况下,不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉.例如:|6+7|=6+7;|6-7|=7-6;|7-6|=7-6;|-6-7|=6+7.(1)根据上面的规律,把下列各式写成去掉绝对值符号的形式:①|7-21|=________;②|-eq\f(1,2)+0.8|=________;③eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7,17)-\f(7,18)))=________.(2)用合理的方法计算:|eq\f(1,5)-eq\f(1,2018)|+|eq\f(1,2018)-eq\f(1,2)|-|-eq\f(1,2)|+eq\f(1,1009).5.探索研究:(1)比较下列各式的大小(填“<”“>”或“=”):①|-2|+|3|________|-2+3|;②|-eq\f(1,2)|+|-eq\f(1,3)|________|-eq\f(1,2)-eq\f(1,3)|;③|6|+|-3|________|6-3|;④|0|+|-8|________|0-8|.(2)通过以上比较,请你分析、归纳出当a,b为有理数时,|a|+|b|与|a+b|的大小关系.(直接写出结论即可)(3)根据(2)中得出的结论,解决以下问题:当|x|+|-2018|=|x-2018|时,求x的取值范围.
详解详析1.解:(1)因为|a+4|+(b-1)2=0,所以a=-4,b=1,所以|AB|=|a-b|=5.(2)当点P在点A左侧时,|PA|-|PB|=-(|PB|-|PA|)=-|AB|=-5≠2,不符合题意;当点P在点B右侧时,|PA|-|PB|=|AB|=5≠2,不符合题意.当点P在点A,B之间时,|PA|=|x-(-4)|=x+4,|PB|=|x-1|=1-x.因为|PA|-|PB|=2,所以x+4-(1-x)=2,解得x=-eq\f(1,2).2.解:(1)7(2)因为|x-3|=1,所以x-3=±1,解得x=2或4.故x的值为2或4.(3)根据绝对值的几何意义可知,x必在-1与3之间,故x-3<0,x+1>0,所以原式可化为3-x=x+1,所以x=1.(4)在数轴上表示3和-1的两点之间的距离为4,则满足方程的x的对应点在-1的对应点的左边或3的对应点的右边.若x的对应点在-1的对应点的左边,则原式可化为3-x-x-1=7,解得x=-2.5;若x的对应点在3的对应点的右边,则原式可化为x-3+x+1=7,解得x=4.5.综上可得,x的值为-2.5或4.5.3.解:(1)因为abc<0,所以a,b,c都为负数或其中一个为负数,另两个为正数.①当a,b,c都为负数,即a<0,b<0,c<0时,则eq\f(|a|,a)+eq\f(|b|,b)+eq\f(|c|,c)=eq\f(-a,a)+eq\f(-b,b)+eq\f(-c,c)=-1-1-1=-3;②当a,b,c中有一个为负数,另两个为正数时,设a<0,b>0,c>0,则eq\f(|a|,a)+eq\f(|b|,b)+eq\f(|c|,c)=eq\f(-a,a)+eq\f(b,b)+eq\f(c,c)=-1+1+1=1.综上所述,eq\f(|a|,a)+eq\f(|b|,b)+eq\f(|c|,c)的值为-3或1.(2)因为|a|=3,|b|=1,且a<b,所以a=-3,b=1或-1,则a+b=-2或-4.4.解:(1)①21-7②0.8-eq\f(1,2)③eq\f(7,17)-eq\f(7,18)(2)原式=eq\f(1,5)-eq\f(1,2018)+eq\f(1,2)-eq\f(1,2018)-eq\f(1,2)+eq\f(1,1009)=eq\f(1,5).5.解:(1)①因为|-2|+|3|=5,|-2+3|=1,所以|-2|+|3|>|-2+3|.②因为|-eq\f(1,2)|+|-eq\f(1,3)|=eq\f(5,6),|-eq\f(1,2)-eq\f(1,3)|=eq\f(5,6),所以|-eq\f(1,2)|+|-eq\f(1,3)|=|-eq\f(1,2)-eq\f(1,3)|.③因为|6|+|-3|=6+3=9,|6-3|=3,所以|6|+|-3|>|6-3|.④因为|0|+|-8|=8,|0-8|=8,所
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