2024-2025学年云南大学附中星耀学校高一（上）入学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南大学附中星耀学校高一（上）入学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.规定用符号[m]表示一个不超过实数m的最大整数，例如[13]=0，[3.24]=3.按此规定[2A.5 B.6 C.7 D.82.已知集合A={x|(x−1)(x−2)≤0}，B={−1,0,1,2,3}，则A∩B=(

)A.{−1,0,3} B.{−1,0,1} C.{1,2} D.{2,3}3.命题“∃x0>0,xA.∀x≤0，x2−5x+6≤0 B.∀x>0，x2−5x+6≤0

C.4.不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是(

)A.19 B.13 C.125.设实数a，b满足0<b<a<1，则下列不等式一定成立的是(

)A.a<b B.ab<b2 C.ab6.已知集合A={x|x=2k+13,k∈Z},B={x|x=2k+1A.A⊆B B.A∩B=⌀ C.A=B D.A⊇B7.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是CD边的中点，E是BC边上的动点，M、N分别是AE、PE的中点，随着点E的运动，线段MN长(

)A.保持不变，长度为10

B.保持不变，长度为102

C.不断增大8.构建几何图形解决代数问题体现了“数形结合”的重要思想，在计算tan15°时，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=BA，连接AD，得∠D=22.5°，所以tan22.5°=ACCD=11+2A.3+2 B.2 C.2−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列条件中可以作为“0<a≤1”的一个必要不充分条件是(

)A.−1<a≤1 B.0<a<13 C.0≤a≤1 D.a<010.已知集合A={x|x2−x−6>0}，B={x|ax2+bx+c≤0}(a≠0)，若A∩B={x|3<x≤5}A.a>0

B.关于x的不等式cx2+bx+a>0解集为{x|x<−12或x>1511.设正实数a，b满足a+b=1，则下列说法中正确的有(

)A.ab有最大值 B.1a+1b有最大值4

C.a+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.不等式x+3x−5<0的解集为______．13.若命题“∀x∈{x|x>0}，使得a≤x+2x成立”是真命题，则实数a的取值范围是______．14.已知集合A满足{1,3}⊆A⊆{x∈N∗|12x+1四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

设集合P={x|−2<x<3}，Q={x|3a<x≤a+1}．

(1)若Q≠⌀且Q⊆P，求a的取值范围；

(2)若P∩Q=⌀，求a的取值范围．16.(本小题12分)

(1)求值：a2−b2a2b−ab2÷(1+a2+b22ab)17.(本小题12分)

解答下列各题．

(1)若x>3，求x+4x−3的最小值．

(2)若正数x，y满足9x+y=xy，求2x+3y18.(本小题12分)

一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小10%，而且这个比值越大，采光效果越好．

(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？

(2)19.(本小题12分)

已知函数y=x2−2ax+a

(1)设a>0，若关于x的不等式y<3a2+a的解集为A，B=[−1,2]，且x∈A的充分不必要条件是x∈B，求a的取值范围．

(2)方程y=0有两个实数根x1、x2，

①若x1、x2均大于0，试求a参考答案1.A

2.C

3.B

4.B

5.D

6.A

7.B

8.C

9.AC

10.AD

11.ACD

12.{x|−3<x<5}

13.(−∞,214.8

15.解：(1)由题意，集合P={x|−2<x<3}，

因为Q≠⌀且Q⊆P，

所以3a<a+13a≥−2a+1<3，

解得−23≤a<12，

综上所述，实数a的取值范围为[−23,12)；

(2)由题意，需分为Q=⌀和Q≠⌀两种情形进行讨论：

当Q=⌀时，3a≥a+1，

解得a≥12，满足题意；

当Q≠⌀时，

因为P∩Q=⌀，

所以16.解：(1)a2−b2a2b−ab2÷(1+a2+b22ab)=a2−b2a2b−ab2÷(a2+b2+2ab2ab)

=(a+b)(a−b)ab(a−b)÷(a+b)22ab=(a+b)ab×2ab(a+b)2=2a+b，

17.解：(1)因为x>3，

所以x+4x−3=x−3+4x−3+3≥2(x−3)×4x−3+3=7，

当且仅当x−3=4x−3时，即x=5时等号成立，x+4x−3的最小值为7；

(2)由9x+y=xy可得9y+1x=1，

18.解：(1)设这所公寓的客户面积为x平方米，则地板面积为(220−x)平方米，

由题意可得：x<220−xx220−x≥10%，解得：2209≤x<110．

所以这所公寓的窗户面积至少为2209平方米．

(2)设窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，窗户和地板同时增加m平方米，

则xy−x+my+m=x(y+m)−y(x+m)y(y+m)=(x−y)my(y+m)19.解：(1)由y<3a2+a得x2−2ax+a<3a2+a，即

x2−2ax−3a2<0得(x−3a)(x+a)<0，

又a>0，所以−a<x<3a，

即A=(−a,3a)，

∵x∈A的充分不必要条件是x∈B，

∴B⫋A，

则a>0−a<−13a>2得a