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第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高三(上)月考数学试卷(9月份)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=2−i1+i(i为虚数单位),则在复平面内复数z所对应的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.圆C1:x2+y2−2x=0与圆CA.外切 B.内切 C.相交 D.外离3.函数y=ax+3−2(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线xm+yn=−1上,且mA.13 B.16 C.11+62 4.若tanθ=−2,则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosA.−65 B.−25 C.5.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,Sn是数列{aA.−8 B.−6 C.10 D.06.学校有8个优秀学生名额,要求分配到高一、高二、高三,每个年级至少1个名额,则不同的分配方案种数为(
)A.45 B.84 C.21 D.427.已知正三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上,棱锥的底面是边长为23的正三角形,侧棱长为25,则球OA.10π B.25π C.100π D.125π8.已知函数f(x)=ax+1+lnx.若对任意x1,x2∈(0,2],且x1≠A.(−∞,274] B.(−∞,2] C.(−∞,二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.设a,b,c为实数,且a>b>0,则下列不等式中正确的是(
)A.1a<1b B.ac210.对于(2x−1x2)A.展开式共有6项 B.展开式中的常数项是−240
C.展开式中各项系数之和为1 D.展开式中的二项式系数之和为6411.已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x−1,则下列说法正确的是A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的增区间为[kπ−π8,kπ+3π8](k∈Z)
C.点(π4,0)是函数f(x)图象的一个对称中心三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知a=(x,1),b=(1,2),c=(−1,5),若(a+2b)//c13.已知函数f(x)=x2−4x,则f(x)14.定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式exf(x)>ex+3(其中e四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a=bcosC+csinB.
(1)求角B的度数;
(2)若b=2,a+c=4,求△ABC的面积.16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=Sn−1+1(n≥2,n∈N),且a1=1.
(1)求数列{an}的前n项和Sn;
(2)求数列{17.(本小题15分)
如图,三棱锥P−ABC中,底面△ABC为直角三角形,AB=BC=2,D为AC的中点,PD=DB,PD⊥DB,PB⊥CD.
(1)求证:PD⊥平面BCD;
(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值.18.(本小题17分)
已经函数f(x)=ax−2−lnx,a∈R.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx−3恒成立,求实数b的取值范围.19.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,−1),期左、右焦点分别为F1、F2,过F2的一条直线与椭圆交于M、N两点,△MF1N的周长为42
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)经过点B(1,1)参考答案1.D
2.C
3.B
4.C
5.D
6.C
7.B
8.A
9.ACD
10.CD
11.AD
12.1013.5x−y−8=0
14.(0,+∞)
15.解:(1)因为a=bcosC+csinB,
所以sinA=sinBcosC+sinCsinB,
所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,
所以sinBcosC+sinCcosB=sinBcosC+sinCsinB,
所以sinCcosB=sinCsinB,
因为sinC>0,
所以cosB=sinB,即tanB=1,
所以B=45°;
(2)因为b=2,a+c=4,
由余弦定理得,b2=a2+c2−2ac=(a+c16.解:(1)由已知Sn−Sn−1=1(n≥2,n∈N),
且S2−S1=1,S1=a1=1,
∴数列{Sn}为首项为1,公差为1的等差数列,
∴Sn=n,即S17.(1)证明:∵AB=BC,D为AC的中点,∴BD⊥CD,
∵PB⊥CD,BD∩PB=D,BD、PB⊂平面PBD,
∴CD⊥平面PBD,
∵PD⊂平面PBD,∴CD⊥PD,
又PD⊥DB,CD∩DB=D,CD、DB⊂平面BCD,
∴PD⊥平面BCD.
(2)解:由(1)知,PD⊥平面BCD,BD⊥AC,
故以D为原点,DA,DB,DP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(0,2,0),C(−2,0,0),P(0,0,2),
∴PA=(2,0,−2),PB=(0,2,−2),PC=(−2,0,−2),
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则n18.解:(Ⅰ)在区间(0,+∞)上,f′(x)=a−1x=ax−1x.
①若a≤0,则f′(x)<0,f(x)是区间(0,+∞)上的减函数;
②若a>0,令f′(x)=0得x=1a.
在区间(0,1a)上,f′(x)<0,函数f(x)是减函数;
在区间
上,f′(x)>0,函数f(x)是增函数;
综上所述,①当a≤0时,f(x)的递减区间是(0,+∞),无递增区间;
②当a>0时,f(x)的递增区间是(1a,+∞),递减区间是(0,1a).
(II)因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以f′(1)=0
解得a=1,经检验满足题意.
由已知f(x)≥bx−3,则x+1−lnxx≥b
令g(x)=19.解:(Ⅰ)由已知可知△MF1N
的周长为4a,∴4a=42,得a=2,
又椭圆经过点A(0,−1),得b=
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