2024-2025学年北京市丰台区第十二中学高三上学期10月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市丰台区第十二中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=−1,0,1，集合B={x∈Z|x2−2x≤0}，那么A∪BA.−1 B.0,1 C.0,1,2 D.−1,0,1,22.设复数z满足2−iz=2+i，则z在复平面内所对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是(

)A.f(x)=−lnx B.f(x)=12x 4.在x−1x24的展开式中，xA.−4 B.4 C.−6 D.65.设a,b∈R,ab≠0，且a>b，则(

)A.ba<ab B.ba+6.已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，若a2−b2=bc，sinC=2A.5π6 B.2π3 C.π37.函数fx=2x+x，gx=log2x+x，ℎx=x+x的零点分别为A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b8.在▵ABC中，角A，B，C所对的过分别为a，b，c，则“cos2A>cos2B”是“a<b”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值(精确到0.001)，可得N的值为(

)M2371113lg0.3010.4770.8451.0411.114A.13 B.14 C.15 D.1610.已知函数fx=−x3+3x&x≥aA.a的最小值为−2，Fa的最大值为2

B.a的最大值为2，Fa的最小值为2

C.a的最大值为2，Fa的最大值为2

D.a二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数fx=1x−1+12.点Pcosθ,sinθ与Qcosθ+π4,13.已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=3,a14.已知函数f(x)=Asinωx+φ(A,ω,φ是常数，A>0，ω>0).若f(x)在区间π4,3π4上具有单调性，且f15.已知函数f(x)=x①函数f(x)是奇函数；②∀k∈R，且k≠0，关于x的方程f(x)−kx=0恰有两个不相等的实数根；③已知P是曲线y=f(x)上任意一点，A−12④设Mx1,y1为曲线y=f(x)上一点，Nx2,y其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)已知函数fx=asin(1)求a的值和fx(2)求fx在0,π上的最大值和最小值．17.(本小题12分)在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA(1)求sinC(2)若b=3，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得▵ABC存在唯一确定，求▵ABC的面积.条件①：sinC=154；条件②：cosB=1116注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.(本小题12分)某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过科普测试获得相应科普过程性积分.现从该校随机抽取60名学生，获得其科普测试成绩(百分制，且均为整数)及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x科普过程性积分人数90≤x≤10032075≤x<9021060≤x<751150≤x<60015用频率估计概率．(1)从该校全体学生中随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不低于2分的概率；(2)从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为6分的概率；(3)从该校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不超过1的概率估计值记为p1，这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不低于1的概率估计值记为p2，试判断p1和p2的大小(19.(本小题12分)已知函数fx(1)求函数fx(2)求证：当x∈0,+∞时，f(3)过原点是否存在曲线fx的切线，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．20.(本小题12分)已知函数f(x)=m(x−1)(1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)若f(x)在(2,+∞)上存在极值，求实数m的取值范围；(3)求f(x)的零点个数．21.(本小题12分)对于数列an，定义an∗=1,an+1(1)设an=n2n，写出a1∗(2)证明：“对任意n∈N∗，有Sn∗=(3)已知首项为0，项数为m+1m≥2的数列a①对任意1≤n≤m且n∈N∗，有②S求所有满足条件的数列an的个数．

参考答案1.D

2.A

3.C

4.A

5.C

6.C

7.C

8.C

9.C

10.B

11.0,1∪1,+∞12.7π8(答案不唯一13.6

14.3215.②③④

16.(1)fx=a−1因为fπ4=12所以fx=12sin(2)当x∈0,π时，π当2x+π3=π2当2x+π3=3π2即x=7π12时fx最小值为−1，x=π12

17.(1)因为sinAcosB=2即2sinA=sin所以2sinA=sin(2)由(1)得sinC=2sinA若选条件①：sinC=154，因为若C为锐角，则cosC=由余弦定理有cosC=a2即14=a2+9−4解得a=32，则若C为钝角，则cosC=−由余弦定理有cosC=a2即−14=a2解得a=2，则c=4；综上所述▵ABC存在，但不唯一确定，不合题意．若选条件②：cosB=1116即a2+4a2−94a此时▵ABC存在且唯一确定，因为cosB=所以B∈0,π2所以S▵ABC若选条件③：▵ABC的周长为9，由题意有a+b+c=9，即a+3+2a=9，解得a=2，则c=4，此时▵ABC存在且唯一确定，由余弦定理得cosB=即cosB=4+16−92×2×4=11所以S▵ABC

18.(1)由图表可知从样本空间中随机抽取一名学生，科普过程性积分不低于2分的人数的频率为20+1060所以估计全校学生中随机抽取一人，该生科普过程性积分不低于2分的概率为12(2)随机抽取三人，得分为6分的可能有：情况1：1人0分，2人3分；情况2：1人1分，1人2分，1人3分；情况3：3人都是2分，结合图表知得0分，1分，2分，3分的概率分别为p=15所以随机抽取3人得6分的概率为p=C(3)根据题意从样本中科普过程性积分不低于1分的学生中抽取1人，得1分、2分、3分的频率依次为13所以从全校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取1名学生其积分，为1分、2分、3分的概率估计依次为13则任意取2名同学，其积分之差的绝对值不超过1的可能有：{1分，1分}；{1分，2分}；{2分，2分}；{2分，3分}；{3分，3分}五种可能，即p1任意取2名同学，其积分之差的绝对值不低于1的可能有：{1分，2分}；{1分，3分}；{2分，3分}三种可能，即p2显然p2

19.(1)f′x则当x∈−∞,0时，f′x>0，当x∈即fx在−∞,0上单调递增，在0,+∞故fx有极大值f(2)令gx=x+1则g′x由x∈0,+∞，则1−1ex>0故gx在0,+∞则gx即当x∈0,+∞时，f(3)不存在，理由如下：假设曲线fx存在过原点的切线，且切点坐标为x由f′x=−x即该切线方程为y−x即有0−x0+1Δ=1−4=−3<0，该方程无解，故过原点不存在曲线fx

20.(1)当m=1时，f(x)=1则f′x故f′2=−2+1=−1，y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y−1=−x−2，即(2)f′x当m≤0时，f′x>0,fx当m>0时，令f′x=−2m+(x−1要使得f(x)在(2,+∞)上存在极值，则需要x=1+2m(3)令f(x)=m令t=x−1>0，则m=−t记gt=−t当t>e−1当0<t<e−12时，当t<1时，gt而当t=e2时，作出gt故当m>1当m=12e或当0<m<1

21.解：(Ⅰ)因为a1=12，a2=12，a3=38，a4=14，a5=532，

根据题意可得a1∗=1，a2∗=−1，a3∗=−1，a4∗=−1．

(Ⅱ)证明：必要性：对n=1，有S1∗=a2−a1，

因此|a2−a1| = |S1∗| = |a1∗| =1．

对任意n∈N∗且n≥