数学教材习题点拨：第一章计数原理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨复习参考题A组1．(1）n2点拨:这里的“一件事情”是“得到展开式中的一项”．由于项的形式是aibj，而i，j都有n种取法．（2)525点拨：.(3)或点拨：第一种方法是先考虑有限制的这名歌手的出场位置；第二种方法是先考虑有限制的两个位置．(4)5点拨：因为足球票无座，所以与顺序无关,是组合问题．(5)35点拨：对于每一名同学来说，有3种讲座选择，而且允许5名同学听同一个讲座,因此是一个“有重复排列”问题，可以用分步乘法原理解答．（6)54点拨：对角线的条数等于连结正十二边形中任意两个顶点的线段的条数Ceq\o\al（2,12)，减去其中的正十二边形的边12条：.(7）n＋1点拨：展开式共有2n＋1项，且各项的系数与相应的二项式系数相同．2．解：(1)1956；（2)240。点拨：（1)只要数字是1,2，3,4，5,6中的，而且数字是不重复的一位数、二位数、三位数、四位数、五位数和六位数都符合要求．（2)只有首位数是6和5的六位数才符合要求．3．解:（1）56；(2）30.点拨：（1)；(2).4．解：98。点拨：所请的人的地位没有差异,所以是组合问题．按照“其中两位同学是否都请”为标准分为两类．5．解：(1)；（2).点拨：(1）任意两条直线都有交点，而且交点各不相同；（2）任意两个平面都有一条交线，而且交线各不相同．6．解：（1)64446024；（2)442320；(3）446976.点拨：(1)＝64446024；(2)；(3）。7．解：103680.点拨：由于不同类型的书不能分开，所以可以将它们看成一个整体，相当于是3个元素的全排列．但同类书之间可以交换顺序,所以可以分步对它们进行全排列．8．解:（1)－26x2。（2）Tk＋1＝(9x）18－k，由题意有18－k－＝0，解得k＝12，T13＝18564。（3)由题意，得,即，化简，得n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23。（4）解法一:设Tk＋1′是(1－x）10展开式的第k＋1项，由题意,知所求展开式中x4的系数为T4＋1′，T3＋1′与T2＋1′的系数之和．T4＋1′＝（－x）4，T3＋1′＝（－x）3，T2＋1′＝（－x)2，所以x4的系数＝。解法二：原式＝（1－x3）(1－x)9＝(1－x3)（1－9x＋－＋＋…），所以x4的系数＝＋9＝135.点拨：（1）问，第三项是含x2的项,其系数是。9．证明：因为5555＋9＝(56－1)55＋9＝5655－·5654＋…＋·56－1＋9＝5655－·5654＋…＋·56＋8.因为5655－·5654＋…＋·56＋8中各项都能被8整除,所以5555＋9也能被8整除．B组1．（1）6点拨：，即(n＋1）·n＝21,解得n＝6.(2）192点拨：先排有特殊要求的,再排其他的．(3)34，43点拨：根据映射定义，只要集合A中任意一个元素在集合B中能够找到唯一对应的元素，就能确定一个映射，对应的元素可以相同，所以是“有重复排列”问题．(4）6500000点拨:注意数字可以相同．根据分步乘法原理，有·104＝6500000种牌照．（5）58点拨：在从正方体的8个顶点中任取4个的所有种数Ceq\o\al(4，8）中，排除四点共面的12种情况,即正方体表面上的6种四点共面的情况，以及对角面上的四点共面的6种情况，因此三棱锥的个数为－12＝58.（6）1或－1点拨:令x＝1，这时（1－2x）n的值就是展开式中各项系数的和，其值是(1－2)n＝（－1)n＝2．解：（1）先从1,3，5中选1个数放在末位，有种情况；再从除0以外的4个数中选1个数放在首位，有种情况；然后将剩余的数进行全排列，有种情况；所以能组成的六位奇数有个．(2）解法一：由0,1，2，3,4，5组成的所有没有重复数字的正整数的个数是，其中不大于201345的正整数的个数，当首位数字是2时，只有201345这1个；当首位数字是1时，有个．因此，所求的正整数的个数是。解法二:由0,1,2，3，4,5组成的所有没有重复数字的正整数中，大于201345的正整数分为以下几种情况：前4位数字为2013，只有201354,个数是1；同理，前3位数字为201，个数为；前2位数字为20，个数为；首位数字为2，个数为；首位数字为3，4，5中的一个,个数为。根据分类加法计数原理,所求的正整数的个数是.点拨：(2)解法一应用间接法，解法二应用分类加法计数原理．3．解:（1)；(2)．点拨：(1)分别从两组平行线中各取两条平行线，就可构成一个平行四边形．（2)分别从三组平行平面中各取两个平行平面,便可构成一个平行六面体．4．解：（1）种；(2).点拨:(1)先排不能放在最后的那道工序,有种排法；再排其余的4道工序，有种排法，根据分步乘法计数原理可得;(2)先排不能放在最前和最后的两道工序，有种排法；再排其余的3道工序，有种排法，根据分步乘法计数原理可得．5．解：由等比数列求和公式得(1＋x)3＋（1＋x）4＋…＋(1＋x)n＋