数学教材梳理任意角、弧度

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱丁巧解牛知识·巧学1.任意角的概念在日常生活及生产和科学实验中，还要经常用到大于360°的角以及按不同方向旋转而成的角.如自行车的车轮在转动的过程中形成的角.为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫负角.特别地，当一条射线不作任何转动时，我们也认为这时也形成了一个角叫零角.这样就把角的概念推广到了任意角，它包括正角、负角和零角.深化升华正角和负角是表示具有相反意义的量，它的正负规定纯系习惯,同正负数的规定一样，零角无正负，就好像数字零无正负一样。记忆要诀掌握角的概念应注意角的三要素：顶点、始边、终边,且现在所说的角可以是任意大小的,并强调了角的旋转方向。2.象限角与轴线角为了便于研究，我们常在平面直角坐标系内讨论角，为此使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合,则角的终边在第几象限(除顶点外），则该角就是第几象限的角。例如：30°的终边在第一象限,则它就是第一象限的角；—30°角的终边在第四象限,则它就是第四象限的角。若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任一象限，称之为轴线角。例如:90°角的终边落在y轴的正半轴上,则它就是一个轴线角。误区警示象限角及轴线角都是相对于坐标系而言的,应注意平面直角坐标系的建立方法，即角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，只有在这一前提下，才能讨论象限角与轴线角.3.角的分类按旋转方向分：正角、负角和零角。按终边位置分:第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角和轴线角。第一象限的角的集合为{α｜k·360°＜β＜k·360°+90°,k∈Z}。第二象限的角的集合为｛α|k·360°+90°＜β＜k·360°+180°，k∈Z｝.第三象限的角的集合为｛α｜k·360°+180°＜β＜k·360°+270°，k∈Z｝.第四象限的角的集合为{α|k·360°+270°＜β＜（k+1)·360°,k∈Z｝.4.终边相同的角的表示方法一般地，所有与角α终边相同的角，连同α角在内可以用式子k·360°+α(k∈Z）来表示.因此与角α终边相同的角的集合是{β｜β=k·360°+α(k∈Z)}，即任何与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.对此表示方法应注意以下几点：(1）k∈Z；(2)α是任意角；（3）k·360°与α之间是“+”,如β=k·360°—α（k∈Z）表示的则是与角—α终边相同的角；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同,例如：180°角和-180°角的终边相同但它们不相等；（5）终边相同的角有无穷多个，它们相差360°的整数倍.学法一得利用与角α终边相同的角的集合，可把任一角β转化成β=α+k·360°(k∈Z，0°≤α≤360°)的形式.如课本的例1，它的化简也可用草式除法进行.①—120°=240°-360°；②640°=280°+360°；③-950°12′=129°48′—3×360°。除数是360°,当被除数是正的角度时,商是正值；当被除数是负的角度时，商是负值,它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，这样可得到其余数为正值。5。弧度制的概念长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。弧度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制.如图1—图1当圆心角为周角时，它所对的弧长l=2πr,所以周角是=2πrad。记忆要诀与1°角的定义类比来记忆和理解1弧度角的定义。正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.深化升华任意0°-360°的角的弧度数x=必然适合不等式0≤x＜2π。角的概念推广以后,弧度数的概念也随之推广，任一正角的弧度数为正数.如果角α是一个负角，则它的弧度数是一个负数.零角的弧度数是0。辨析比较用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同(都是0)；用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，数量也不同.6.角度制与弧度制的换算（1）角度换成弧度：抓住360°=2πrad，∴180°=πrad。∴1°=rad≈0。01745rad.(2）弧度换成角度:把上面三个关系式的第三个反过来写,就可以得到1rad=(）°≈57。30°=57°18′。记忆要诀记忆公式要抓住:360°=2πrad这一关键进行计算。应熟记以下一些特殊角的角度数与弧度数的对应值.角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π角度210°225°240°270°300°315°330°360°弧度2π注意:以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”两字可以省略不写，但用度为单位表示角时，度就不能省去.且用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式。引入弧度制后第一、二、三、四象限的角的集合又可以分别表示为{α|2kπ＜α＜2kπ+,k∈Z｝；{α|2kπ+＜α＜2kπ+π，k∈Z}；{α｜2kπ+π＜α＜2kπ+，k∈Z}；{α｜2kπ+＜α＜2kπ+2π,k∈Z}.终边在x轴上的角的集合S1={β|β=kπ,k∈Z｝。终边在y轴上的角的集合S2=｛β|β=kπ+,k∈Z}.终边在坐标轴上的角的集合S3=｛β｜β=，k∈Z｝。误区警示有了弧度制后，表示与角α终边相同的角时，要注意单位的统一.若α的单位是弧度，则应写成2kπ+α（k∈Z）；若α的单位是角度，则应写成k·360°+α(k∈Z）.7。弧长公式与扇形面积公式设长度为r的线段OA绕端点O旋转形成角α(α为任意角，单位为弧度），若将此旋转过程中点A所经过的路径看成是圆心角α所对的弧长，设弧长为l，则有|α|=，即l=r·｜α|,这就是圆心角为α的圆弧的弧长公式,即弧长等于圆弧所对的圆心角（的弧度数)的绝对值与半径的积.扇形面积公式:当|α|≤2π，以｜α｜为圆心角的扇形的面积公式S=lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径.证明：如图1-1—2，圆心角为1rad的扇形面积为图1弧长为l的扇形圆心角为rad,∴S=··πR2=lR。比较它与扇形面积公式S扇=，该公式要简单些.又由于l=r·|α|，∴S=lR=S=｜α|R2.角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。任意角的集合实数集R图1典题·热题知识点1任意角例1从上午9点到上午10点半，分针所转过的角度是______________________.思路解析：解题时要注意角的旋转方向,由于钟表中时针、分针、秒针都是顺时针旋转的，所以它们转过的角度均为负值.从上午9点到上午10点半时间间隔为一个半小时，则分针转动了一周半，所以其旋转角度的大小为360°×1.5=540°，又角为负角,故从上午9点到上午10点半，分针所转过的角度是-540°.答案:—540°方法归纳角的概念推广后，求角的大小时，一定要注意角的旋转方向.巧妙变式本题是一个时钟问题，时钟的分针、时针和秒针都是顺时针转动的，将角的概念推广后，它们所转过的角都是负角.因此本题可以变换题目的条件,使时、分针逆时针转动。如：晚上看新闻联播时,小明发现自已的手表快了5分钟，他根据电视上的时间将手表对准，则手表的分针转过的角度应是____________________.思路解析：要将表对准，则需要逆时针转动分针，其转过的角为正角，而5分钟为一周的,则应为30°。答案：30°例2在与1010°角终边相同的角中,分别求符合下列条件的角：(1)最大的负角；(2）最小的正角；(3）-720°—720°的角。思路分析：在—720°—720°的角有四个,求这些角的方法都采用赋值法，即将与1010°角终边相同的角表示出来，再对k赋值即可。解：与1010°角终边相同的角的集合为｛α｜α=k·360°+1010°,k∈Z}.(1)最大的负角在—360°—0°的范围内,则应有—360°＜k·360°+1010°＜0°,k∈Z解得k=—3，则最大的负角为—70°角;（2)最小的正角在0°—360°的范围内，则应有0°＜k·360°+1010°＜360°,k∈Z解得k=-2，则最大的正角为290°角；（3)由-720°＜k·360°+1010°＜720°，k∈Z可得k=-4,-3,-2,-1，则-720°-720°的角有：1010°—4×360°=—430°；1010°-3×360°=-70°;1010°-2×360°=290°;1010°—1×360°=650°.方法归纳求某角在某一范围内终边相同的角时，可根据已知条件建立不等式，解不等式求出k的值即可。其中最大的负角的范围应在-360°—0°,而最小的正角的范围在0°—360°。例3已知角α的终边与60°角的终边相同,则2α和分别是第几象限角？思路分析：利用终边相同角的表示方法将角α表示出来，然后求出2α和，再表示为k·360°+β(k∈Z）的形式即可。解：因为角α的终边与60°角的终边相同，则α=k·360°+60°(k∈Z).所以2α=2k·360°+120°(k∈Z），则2α为第二象限的角。又=k·120°+20°(k∈Z)，则当k=3n(n∈Z）时，=n·360°+20°（n∈Z），此时是第一象限角；当k=3n+1（n∈Z）时，=n·360°+140°（n∈Z)，此时是第二象限角；当k=3n+2（n∈Z）时，=n·360°+260°(n∈Z),此时是第三象限角.误区警示判断一个角的终边位置时，一定要将角化为k·360°+α（k∈Z)的形式，否则就要出错.例4如图1—1-图1思路分析：先由y=（x≥0）与60°角的终边相同,确定y=（x≤0）与240°角的终边相同，即在0°到360°之间找到以O为原点的两条射线终边相同的角，先写出与其终边相同的角的集合，再求并集。解：终边落在y=(x≥0）上的角的集合是S1={α|α=60°+k·360°，k∈Z｝，终边落在y=(x≤0）上的角的集合是S2=｛α｜α=240°+k·360°，k∈Z｝.于是，终边落在y=上的角的集合是S=S1∪S2=｛α｜α=60°+k·360°，k∈Z｝∪{α｜α=240°+k·360°，k∈Z}=｛α|α=60°+2k·180°，k∈Z}∪{α｜α=60°+（2k+1)·180°，k∈Z｝＝｛α|α=60°+180°的偶数倍｝∪{α|α=60°+180°的奇数倍}={α|α=60°+180°的整数倍}=｛α|α=60°+n·180°,n∈Z｝。巧妙变式上题中，角的终边落在了一条直线上，对于本题可以变换条件,将直线变换成一个范围，找出角终边在某一范围内角的集合。如：若角α的终边落在y=x(x≥0)与y=-x(x≤0)所夹的小区域内，求角α的集合.分析：应先写出终边落在y=x（x≥0）与y=-x(x≤0)上的角的集合，再运用不等式写出所在小区域内的角的集合。知识点2弧度制例5把67°30′化成弧度。思路分析：利用角度制与弧度制的转化公式进行计算。解：67°30′=(67）°，∴67°30′=rad×67=πrad。方法归纳化角度制为弧度制时，需要将用角度表示的角化为以度为单位的角，然后再利用角度制与弧度制的转化公式进行运算.例6把πrad化成度.思路分析:利用角度制与弧度制的转化公式进行计算.解：πrad=×180°=144°。方法归纳弧度制化角度制直接代公式即可.但应注意几点：（1)度数与弧度数的换算也可借助“计算器"《中学数学用表》进行；（2）今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad"可以省略.如:3表示3rad、sinπ表示πrad角的正弦；(3)一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住.例7一条弦的长度等于半径r，求：(1)这条弦所对的劣弧长；（2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积．思路分析：由已知可知圆心角的大小为，然后用公式求解即可．解：（1）如图1—图1∴∠AOB=．∴弦AB所对的劣弧长为r．(2）∵S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=r2,S扇形OAB=|α|r2=××r2=r2,∴S弓形=S扇形OAB—S△AOB=r2—r2=(—）r2。误区警示1弧度角是弧长等于半径的圆弧所对的圆心角，并非弦长等于半径的弦所对的圆心角.例8已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大，最大面积是多少？思路分析：利用扇形的弧长公式和面积公式.利用扇形面积的最大值就应建立扇形面积的目标函数，而建立目标函数时,可以选半径为自变量。解:设扇形的半径为rcm,弧长为l，面积为S，则由已知有l+2r=30，即l=30-2r。所以有S=lr=(30-2r)r=—r2+15r=—()2+。所以当r=cm时扇形的面积最大，为cm2，此时，扇形的圆心角为α===2.方法归纳本题的关键是设出自变量,建立以面积为函数的函数关系式，利用函数知识来处理。深化升华求函数最值的关键是先把实际问题转化成数学问题，建立目标函数，把数学问题的解还原说明实际问题的解，它的定义域除了使解析式有意义外，还要考虑其实际意义.巧妙变式本题是扇形的周长是一个常数,若将常数换成一个字母,该题该怎样处理？如：已知扇形的周长为定值l，则当扇形的圆心角为多少时扇形的面积最大，并求最大面积是多少？思路解析:利用弧长公式和扇形的面积建立起扇形的面积与圆心角的函数关系式，以圆心角为自变量，然后再求自变量取何值时面积最大,最大值是多少即可。问题·探究误区陷阱探究问题“第一象限角和小于90°的角都是锐角.”这句话是否正确？探究过程：角的概念推广以后，小于90°的角由锐角、零角和负角组成，而第一象限的角包含了锐角和其他终边在第一象限的角。之所以出现错误，是对任意角的概念理解不够透彻,这主要是受初中所学知识的影响，总认为角的范围是0°—360°。探究结论：这句话不正确.由于第一象限的角包含了大于90°和小于0°的角，而小于90°的角可能是锐角、零角或负角，故它们不一定是锐角.交流讨论探究问题是否只有弧度才能将角与实数一一对应?探究过程：学生甲:角的概念推广以后，出现了正角、负角和零角.而正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零，故在弧度制中我们不难得出角与实数是一一对应的.学生乙：在角度制中,我们可以将角的单位利用度、分、秒之间进(退)位关系统一化为度,这样一个角就有一个度数与之对应，也可以建立起角与实数之间的一种一一对应关系。探究结论：角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集之间建立一种一一对应关系.说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个数可以是角的弧度也可以是角的度数.所以对应法则不是唯一的,但每一个对应法则下对应的实数都是唯一的,因此不只有弧度才能将角与实数一一对应，角度也可以。材料信息探究已知半径为1的圆的圆心在坐标原点，点P从点A(1,0）出发，依逆时针方向等速沿这个半径为1的圆周绕圆心旋转.已知点P在1秒钟内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°,经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点.问题根据上面材料试求θ的值。探究过程：首先要读懂材料，“点P在1秒钟内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°),经过2秒钟到达第三象限",就是说180°＜2θ＜270°。点P经过14s回到A点的数学语言为14θ角的终边与x轴的非负半轴重合。由已上两点，就可以确定出