数学教材习题点拨：第二章平面向量

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨复习参考题A组1．(1）√(2)√(3）×（4)×2．(1)D(2)B（3）D（4）C（5）D(6)B3．解：eq\o（AD,\s\up6（→)）＝eq\f(1，2)（a＋b),eq\o（AB,\s\up6(→））＝eq\f(1，2）（a－b）．（第3题图)4．解：DE＝BA＝MA－MB＝－eq\f（2，3）a＋eq\f(1，3）b，（第4题图)AD＝eq\f(2,3）a＋eq\f（2,3）b，BC＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1，3）b，EF＝－eq\f（1，3)a－eq\f(1,3）b，FA＝DC＝eq\f（1,3)a－eq\f(2,3）b，CD＝－eq\f（1,3）a＋eq\f（2,3)b，AB＝eq\f(2，3）a－eq\f(1，3)b，CE＝－a＋b.5．解：（1)eq\o(AB,\s\up6（→))＝(8，－8），|eq\o(AB,\s\up6（→))|＝8eq\r（2）;（2)eq\o（OC,\s\up6（→))＝（2,－16），eq\o(OD,\s\up6（→））＝(－8,8）；(3）eq\o（OA,\s\up6(→））·eq\o（OB，\s\up6(→)）＝33.6．解：eq\o(AB,\s\up6（→))与eq\o(CD，\s\up6(→）)相等．证明如下：eq\o(AB，\s\up6(→））＝（1，0)－(0，1）＝（1，－1),eq\o(CD，\s\up6（→))＝(2，1)－（1，2）＝（1，－1),∴eq\o(AB，\s\up6（→))＝eq\o（CD,\s\up6(→)).7．解：因为A(1，1）,B(－1，0)，C（0,1)，D(x，y),所以eq\o(AB，\s\up6(→))＝(－2,－1），eq\o(CD,\s\up6（→)）＝（x,y－1）．又因为eq\o（AB,\s\up6(→））＝eq\o（CD，\s\up6（→）)，所以eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝－2，，y－1＝－1.))所以eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝－2,,y＝0。))所以D(－2，0）．8．解：由题意知n2＝4，得n＝±2.但n＝－2时,两向量方向相反．故n＝2。9．解：因为a＝(1，0），b＝(1,1)，所以λa＋μb＝λ（1,0)＋μ（1,1）＝(λ,0)＋（μ，μ)＝(λ＋μ，μ)．又因为c＝λa＋μb＝(－1,0），所以eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（－1＝λ＋μ，,0＝μ。））所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝0.)）10．解：因为A（1,1）,B（4,1），C(4,5)，所以eq\o（AB,\s\up6(→))＝（3，0），eq\o(AC，\s\up6（→)）＝（3，4)，eq\o（BC,\s\up6（→))＝(0，4）．所以cosA＝eq\f（\o（AB，\s\up6(→））·\o(AC，\s\up6(→)），|\o（AB，\s\up6(→）)|｜\o(AC，\s\up6（→))｜）＝eq\f（9，3×5)＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f（\o（BA,\s\up6（→))·\o（BC，\s\up6（→）)，｜\o（BA，\s\up6(→))｜|\o（BC，\s\up6(→)）｜)＝0，cosC＝eq\f(\o(CA,\s\up6（→）)·\o（CB，\s\up6（→）)，｜\o（CA，\s\up6（→））｜｜\o（CB，\s\up6(→)）｜)＝eq\f(16,5×4)＝eq\f(4，5)。11．证明:因为（2n－m)·m＝2n·m－m2＝2×1×1×cos60°－1＝0，所以(2n－m)⊥m.其几何意义是向量m，2n,2n－m构成一个锐角为60°的直角三角形．12．解：a＋λb＝(1，0)＋λ（1，1）＝（1＋λ,λ)．因为（a＋λb）⊥a,所以（a＋λb）·a＝0，即(1＋λ，λ）·（1，0)＝0。所以1＋λ＝0.所以λ＝－1。13．解：|a＋b｜＝eq\r（（a＋b）2)＝eq\r（a2＋2a·b＋b2）＝eq\r（3＋4＋2×2×\r（3）×cos30°）＝eq\r(13），|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r（3＋4－2×2×\r（3）×\f(\r(3）,2)）＝1。14．解：cosθ＝eq\f(5,8),cosβ＝eq\f（19，20)，则θ≈51°，β≈18°。B组1．(1）A(2)D(3)B(4)C（5）C（6)C(7）D2．解：a⊥b⇔a·b＝0⇔a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2⇔(a＋b)2＝（a－b）2⇔｜a＋b|＝｜a－b|。其几何意义是以向量为邻边的矩形的对角线相等．3．解:c⊥d⇔(a＋b)·（a－b）＝0⇔a2－b2＝0⇔a2＝b2⇔|a|＝｜b｜。其几何意义是菱形的对角线互相垂直．4．解:eq\o（AM,\s\up6(→)）＝eq\f(1，2）a＋eq\f（1,2）b.5．证明：由eq\o(OP1，\s\up6（→））＋eq\o(OP2，\s\up6（→））＋eq\o(OP3,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OP1,\s\up6（→))＋eq\o（OP2，\s\up6(→））＝－eq\o（OP3，\s\up6(→)），∴|eq\o(OP1，\s\up6（→）)＋eq\o（OP2，\s\up6(→）)|＝｜－eq\o(OP3，\s\up6（→）)|＝｜eq\o(OP3，\s\up6（→)）|.∴(eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\o(OP2，\s\up6（→))）2＝eq\o（OP3,\s\up6（→））2，即eq\o（OP,\s\up6（→）)eq\o\al（2,1)＋eq\o（OP2,\s\up6(→)）2＋2eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2，\s\up6(→)）＝eq\o(OP3,\s\up6(→）)2。由｜eq\o（OP1，\s\up6（→)）｜＝｜eq\o(OP2，\s\up6(→)）|＝|eq\o（OP3,\s\up6(→））|＝1，得eq\o(OP1，\s\up6(→))·eq\o(OP2，\s\up6(→）)＝－eq\f（1,2)。同理可得，eq\o(OP2,\s\up6(→)）·eq\o(OP3，\s\up6（→）)＝eq\o(OP1，\s\up6（→))·eq\o(OP3,\s\up6(→）)＝－eq\f（1，2）.∴△P1P2P3为正三角形．6．解：eq\o（MN，\s\up6(→）)＝2（b－a）．7．解:(1）该人实际前进的速度为8km/h，方向与水流间的夹角为60°；（2）该人实际游泳的方向与水流成90°＋arccoseq\f(\r(6),3)角,大小为4eq\r(2）km/h.8．解：点O是△ABC的垂心．9．解：（1)a2x－a1y＋a1y0－a2x0＝0.（2)向量(A，B)⊥直线Ax＋By＋C＝0.（3）当A1B2－A2B1＝0时,l1∥l2；当A1A2＋B1B2＝0时，l1⊥l2.当A1B2≠A2B1时，直线l1与l2相交，l1与l2的方向向量分别为v1＝(－B1，A1)，v2＝（－B2,A2)．通过两直线l1与l2的方向向量的夹角即可求得l1与l2的夹角θ，由cosθ＝eq\f(v·v2，|v1｜|v2|)＝eq\f(A1A2＋B1B2，\r(Aeq\o\al（2，2)＋Beq\o\al（2,2))\r(Aeq\o\al（2，1）＋Beq\o\al(2，1)））。(4)如图所示,P0(x0，y0)是直线外一定点，P(x,y）是直线上任意一点,(第9题图)由直线l:Ax＋By＋C＝0，取它的方向向量v＝（B，－A）．设n＝（A，B），因为n·v＝(A,B)·（B，－A)＝AB－AB＝0，所以n⊥v.故称n为l的法向量,与n同向的单位向量n0＝eq\f（n,|n|）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（A，\r（A2＋B2))，\f（B,\r（A2＋B2））))。于是，点P0（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0的距离等于向量eq\o（PP0,\s\up6(→)）在n0方向上射影的长度d＝|eq\o（PP0,\s\up6(→)）·n0｜＝eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（（x0－x，y0－y）·\b\l