2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题（湘教版2019选择性必修第一册第1章-第3章数列 直线与圆 圆锥曲线）（全解全析）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第1章数列+第2章平面解析几何初步+第3章圆锥曲线与方程。5．难度系数：0.69。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】直线可化为，设倾斜角为，则.故选：A2．记为等差数列的前项和．若，，则（

）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】C【解析】由等差数列的性质得①，②，由①得，代入②得，解得，故，故.故选：C3．若表示圆的方程，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为方程表示一个圆，所以，解得，所以的取值范围是.故选：D4．以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】椭圆化为标准方程为，焦点为，双曲线的半焦距，离心率，，，双曲线的标准方程为．故选：A．5．在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（

）A．30 B．35 C．40 D．75【答案】B【解析】因为正项等比数列中，为其前项和，则也是等比数列，即，又，，所以，解得.故选：B.6．已知两条直线和相互垂直，则（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【解析】易知的斜率为，的斜率为，所以；解得.故选：C7．已知实数满足方程，则的最大值是（

）A． B． C．0 D．【答案】B【解析】的方程可化为，它表示圆心，半径为1的圆，表示圆上的点与点的连线的斜率，设过圆上点与点的直线方程为，则圆心到直线的距离，可得，即最大值为，故选：B.8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【解析】由，得，则，则，则，即，解得，则，因为，所以，即，整理得，则，解得或，故或．故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由题意知为等比数列，设其公比为q；对于A，，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确；对于B，，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；对于C，当时，，数列不是等比数列，故C错误；对于D，当时，，数列不是等比数列，故D错误.故选：AB.10．已知直线：和圆：，则（

）A．存在k使得直线与直线：垂直B．直线恒过定点C．直线与圆相交D．直线被圆截得的最短弦长为【答案】ACD【解析】由题意可知：圆：的圆心为，半径，对A：因为直线：的斜率为，当直线的斜率为时，此时直线与直线垂直，满足题意，A正确；对B：由可得，，令，解得，所以直线恒过定点，故B错误；对C：因为定点到圆心的距离为，所以定点在圆内，所以直线与圆O相交，C正确；对D：直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为，此时直线被圆O截得的弦长最短为，D正确；故选：ACD.11．在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（

）A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切C． D．【答案】BC【解析】由题意可知，抛物线的焦点，准线为，直线的斜率不为零，设直线为，，由x=my+1因为，所以，所以x1所以AB=对于A，因为AB=4(m2所以AB的最小值为4，所以A错误，对于B，因为线段的中点为M(x1+1到轴的距离为d=x1+12，而以线段为直径的圆的半径为所以圆心到轴的距离等于圆的半径，所以以线段为直径的圆与轴相切，所以B正确，对于C，因为1FA所以C正确，对于D，因为OA=(m第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线与之间的距离是.【答案】【解析】易知直线与平行，这两条直线间的距离为.故答案为：.13．已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是.【答案】【解析】由题意知，，则，因为圆与圆有公共点，所以，即，解得，所以实数a取值范围是.故答案为：.14．镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折5次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折次，那么．【答案】；【解析】第一空：由对折2次共可以得到，三种规格的图形，所以对折三次的结果有：，，共4种不同规格；对折4次可得到如下规格：，，，，共5种不同规格；对折5次可得到如下规格：，，，，，共6种不同规格；第二空：由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为,对于第次对折后的图形的规格形状种数为种，第次对折后的图形面积之和为，则，，两式作差得：，因此.故答案为：①；②.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知，在中，(1)求边的方程；(2)求边上的中线所在直线的方程．【解析】（1）边过两点由两点式，得，即，............................................................4分故边的方程是．............................................................6分（2）设的中点为，则，，所以，............................................................9分又边的中线过点，所以，即，所以边上的中线所在直线的方程为．............................................................13分16．（15分）已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且．(1)求数列与数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【解析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由得即即，解得或．............................................................3分当时，，不满足单调递增，当时，，满足单调递增，故，所以．............................................................6分又，所以，所以，即数列与数列的通项公式为，.................................................8分（2）利用等比数列前项和公式可得，数列的前项和为，............................................................11分数列的前项和为，............................................................14分所以数列的前项和，即............................................................15分17．（15分）已知圆C与y轴相切，圆心在直线上，且被x轴截得的弦长为．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l过点，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程．【解析】（1）设圆C的标准方程为，∵圆心C在直线上，，①............................................................2分∵圆C与y轴相切，，②............................................................4分又∵圆C被x轴截得的弦长为，，③............................................................6分联立①②③解得，，，，圆C的方程为．............................................................7分（2）∵圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，圆心C到直线l的距离．............................................................9分当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，圆心C到直线l的距离为1，符合题意；............................................................11分当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，即，圆心C到直线l的距离，解得，直线l的方程为．综上，所求直线l的方程为或．............................................................15分18．（17分）已知平面内两个定点，，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点；(1)求曲线的轨迹方程；(2)若直线和的斜率之积为，求证：直线过定点；(3)若直线与直线分别交于，求证：.【解析】（1）设，由题有，化简得到，所以曲线的轨迹方程为.............................................................3分（2）因为直线和的斜率之积为，所以直线的斜率存在，设，，，由，消得到，则，，............................................................6分，化简整理得到，得到或，当时，，直线过定点与重合，不合题意，当，，直线过定点，所以直线过定点...........................10分（3）由（2）知，，所以的中点坐标为，............................................................12分又易知直线是双曲线的渐近线，设，由，得的坐标为，由，得的坐标为，得到的中点坐标为，............................................................15分所以的中点与的中点重合，设中点为，则，从而有.............................................................17分19．（17分）如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”．若数列还满足：数列项数有限为；则称数列为“阶可控摇摆数列”.(1)若某6阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项；(2)若某13阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式；(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，其前n项和为，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.【解析】（1）设成公比为的等比数列，显然，则有，得，解得，由，得，解得，所以数列或为所求6阶“归化数列”；...........................3分（2）设等差数列的公差为，由，所以，所以，即，............................................................5分当时，与归化数列的条件相矛盾，............................................................6分当时，则，所以，即，所以，............................................................8分当时，由，所以，即，所以，故或；................................................