2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题（新八省专用测试范围：人教A版2019选择性必修第一册1.1-3.2）（全解全析）

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册1.1~3.2。5．难度系数：0.75。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线经过点，且法向量，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意知直线l的法向量是，可得其斜率为，所以直线的方程为，即.故选：C2．已知，且，则的值为（）A．5 B． C．3 D．4【答案】D【详解】由题意可得，则，解之可得.故选：D．3．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（

）A．10 B．3 C． D．【答案】C【详解】由题得，所以到平面的距离为，故选：C.4．以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：由题意，圆心坐标为点，半径为，则圆的方程为．故选：D．5．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】如图，连结，因，点为的中点，则，于是，.故选：B.6．已知椭圆的两个焦点分别为，上的顶点为P，且，则此椭圆长轴为（）A． B． C．6 D．12【答案】D【详解】因为椭圆的两个焦点分别为，则，又上顶点为P，且，所以，所以，故长轴长为12.故选：D7．如图，平行六面体的各棱长均为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由已知可得，，两边平方得，，所以.故选：B.8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（

）

A． B． C．2 D．【答案】A【详解】令，由对称性，不妨设直线的方程为，由，解得，，即点的坐标为，由为的中点，，得为的中点，则点的坐标为，代入双曲线的方程，有，即，，解得，所以双曲线的离心率为．故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角为B．若直线经过第三象限，则，C．点在直线上D．存在使得直线与直线垂直【答案】ACD【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确；对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误；对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确；对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确.故选：ACD.10．已知直线与双曲线交于两点，为双曲线的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有（

）A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为C．双曲线的渐近线方程为 D．【答案】BCD【详解】由题意知：，不妨取，由，即，所以，所以，所以以为直径的圆过点，圆心为，半径为，所以圆的方程为：，设，连接，则四边形为矩形，则，则的面积为：，且，联立，解得，再由，所以离心率，故A错误，B正确；对于C，双曲线的渐近线方程为：，故选项C正确；对于D，不妨设点在第一象限，由对称性可知，，代入中，得，所以，由对称性知：当，，所以，故选项D正确.故选：BCD.11．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（

）

A．在中点时，平面平面B．异面直线所成角的余弦值为C．在同一个球面上D．，则点轨迹长度为【答案】ACD【详解】对于选项A：取的中点，连接，

在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，易知，平面，在面内，所以，面，面，，所以面，面，所以，连接，是正方形，，因为面，面，所以，因为面，面，，所以面，因为面，所以，综上，面，面，又，所以面，面，故平面平面，故A正确；对于选项B：取的中点，连接，则，所以是异面直线所成的角，又，则，故B错误；对于选项C：记正方体的中心为点，则，所以在以为球心，以为半径的球面上，故C正确；对于选项D：因为，且为的中点，所以，故，所以点轨迹是过点与平行的线段，且，所以，故D正确；故选：ACD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若直线和直线垂直，则．【答案】【详解】易知直线的斜率为，直线的斜率为,由两直线垂直可得，解得.故答案为：13．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为．【答案】3【详解】，，①又②①-②得：，的面积为9，，故答案为：3.14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则.【答案】【详解】解：连接，如图所示：因为是的中点，分别是，的中点，所以,又因为，所以，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．(1)求所在直线的方程；(2)求高所在直线的方程.【详解】（1）因为是边的中点，所以，所以直线的斜率，所以所在直线的方程为：，即，（2）因为是边AB的中点，所以，因为是边上的高，所以，所以，所以，因此高所在直线的方程为：，即.

16．（15分）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求：(1)的长；(2)直线与所成角的余弦值.【详解】（1）由题意得，所以；（2），所以，，,，故，由于异面直线所成角的范围为大于小于等于，所以直线与AC所成角的余弦值为.17．（15分）已知平面直角坐标系内两定点，满足的点形成的曲线记为.(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线相交与两点，当的面积最大时，求直线的方程（为坐标原点）【详解】（1）由题设知，两边化简得，所以点的轨迹的方程为（2）由题意知直线的斜率一定存在，设，即，因为原点到直线的距离，，所以，当且仅当时，取得等号，又当时，由，得到，解得，所以直线的方程为．

18．（17分）如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.

(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.【详解】（1）以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

则,，，设平面的一个法向量为，则，取，得，因为，所以平面；（2），，设平面的一个法向量为，则，取，得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为：．19．（17分）已知椭圆的右焦点的坐标为，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.【详解】（1）由题