高中数学公式

高中数学常用结论及公式大全元素与集合的关系xAxA,xAxA.德摩根公式CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.包含关系ABAABBABCUBCUAACUBCUABR1 n集合a,a的子集个数共有2n个；真子集有2n–11 n非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.二次函数的解析式的三种形式f(x)ax2bxc(a0);(2)f(x)a(xh)2k(a0);(3)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).闭区间上的二次函数的最值二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在xb处2a及区间的两端点处取得，具体如下：a>0xb2a

p

f(x)

min

f(

b),f(x)2a

maxmax

f(p),f(q)；若xb2a

p,q，f(x)

maxmax

f(p),f(q)，f(x)

minmin

f(p),f(q).a<0xb2a

pqf(x)

min

minf(p),f(q)，若xb2a

pqf(x)

maxf(p),f(q)，f(x)

min

minf(p),f(q).定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据在给定区间f(xt0t为参数)恒成立的充要f(xt)min0(xL)在给定区间f(xt0t为参数)恒成立的充要f(xt)man0(xL.a0

a0f(x)ax4bx2c0恒成立的充要条件是b0或 .c

b24ac0四种命题的相互关系原命题若ｐ则ｑ互否否命题

互逆 逆命题若ｑ则ｐ互 互为 为 互否逆 逆否 否逆否命题若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ充要条件pqp是q充分条件.必要条件：若qpp是q必要条件.pq，且qpp是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.函数的单调性(1)设x1x2a,b,x1x2那么(xx)f(x)f(x)0

f(x1)f(x2)0

f(x)在a,b上是增函数；1 2 1 2

x1x2(xx)f(x)f(x)0

f(x1)f(x2)0

f(x)在a,b上是减函数.1 2 1 2

x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如f(x0f(x为减函数.奇偶函数的图象特征yyy

f(x)(xR),f(xa)

f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xab2xab对称.2

;两个函数

yf(xa)与

yf(bx)

的图象关于直线两个函数图象的对称性y

f(xy

f(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.y

f(mxay

f(bmx)的图象关于直线xab对称.2my

f(x)y

f1(x)的图象关于直线y=x对称.y

f(x的图象右移a、上移by

f(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.几个常见的函数方程f(x)cxf(xy

f(x)f(y),fc.(2)指数函数f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.(3)f(x)logaxf(xy)

f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f'(1).有理指数幂的运算性质arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.指数式与对数式的互化式alogNbabN(a0,a1,N0).a对数的换底公式log

NlogmN

a0,且a1m0,且m

N0).ma logamaloga

bn

nlogm

ba0,且a1mn0,且m1n1

N0).对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则loga(MN)logaMlogaN;MlogaN

aMlogaN;a logMnnlogM(nR)a 等差数列的通项公式aa(n1)ddna

d(nN*)；n 1 1其前n项和公式为sn(a1an)nan(n1)dn 2 1 2dn2(a1d)n.2 1 2等比数列的通项公式aaqn1a1qn(nN*)；n 1 q其前n项的和公式为a(1qn)s1n 1s1n

,q1na,q1 1常见三角不等式（1）x

(0, 2

，则sinxxtanx.x

(0, 222

，则1sinxcosx .|sinx||cosx1.同角三角函数的基本关系式sin2cos21，tan=sincos

，tan1.正弦、余弦的诱导公式和角与差角公式)sincoscossin;)coscossinsin;)tantan1tantana2b2asinbcos= )所在象限由点(a2b2tanb).a二倍角公式sin2sincos.cos2cos2sin22cos2112sin2.tan2tan.1tan2.三角函数的周期公式yx，x∈Ryx，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T2；yxxkkZ(A,ω为常数，且A≠0，ω＞0)2的周期T.正弦定理asinA

bsin

csin

2R.（R是外接圆的半径）余弦定理a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.面积定理S1ah1bh1ch（h、h、ha、b、c）.2 a 2 b 2

a b cS1absinC1bcsinA1casinB.2 2 2三角形内角和定理在△ABC中，有ABCC(AB)C AB 2C2(AB).2 2 2向量的数量积的运算律：a·bb·a（交换律）;(2)（a·b=（a·b）=a·b=a（(3)（a+b·c=a·c+b·c.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．ab的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ．数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．平面向量的坐标运算(1)a(x1,b(x2y2a+b(x1x2y2.(2)a(x1,b(x2y2a-b(x1x2y2.(3)A(xy，B(xy,则xxyy.1 1 2

AB OB

2 1 2 1(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2y1y2).xx2y2x2y2 x2y21 1 2 2cos

(a=(x,y),b=(x,y)).1 1 2 2ABABABdA,B(x(xx)2(yy)22 12 1

=|AB|

(A(x,y)，B(x,y)).1 1 2 2向量的平行与垂直a(x1,b(x2y2b0，则a||b

x1y2x2y10.ab(a0)a·b=0x1x2y20.线段的定比分点公式P(xy，P(xy，P(xyPP是实数，且1 1

2 2 2 12

1P 2xx1x2

OPOPy

1y21

OP1OP21

（t

1 ）.P t

1三角形的重心坐标公式△ABCA(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC心的坐标是G(x1x2x3,y1y2y3).3 3OA OB 0O为ABC的重心OA OB 0x'xh

xx'h

y'y

yy'

OP'OPPP'.FP(x，y)FP(xy，且的坐标为(hk.“按向量平移”的几个结论（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(xh,yk).yf(x的图象C按向量a(hk平移后得到图象C',则C'的函数解析式为yf(xh)k.图象C'按向量a(hk)平移后得到图象C,若Cy

f(x),则C'的函数解析式为yf(xh)k.曲线Cf(xy)0按向量a(hk)平移后得到图象C',则C'的方程为f(xh,yk)0.m(xya(hkm(xy.常用不等式：abRa2b22aba＝bababRab a＝bab2（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).（4）柯西不等式：(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.（5）ababab.最值定理（积定和最小）xyp若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2 ；pxy是定值sxyxy1s2.4推广已知x,yR，则有(xy)2(xy)22xyxy是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大；当|xy|最小时,|xy|最小.若和|xy|是定值,则当|xy|

|xy|最小；当|xy|最小时,

|xy|最大.(1)当a1时,af(x)ag(x)

f(x)g(x);f(x)0logaf(x)loga

g(x)g(x)0 .f(x)g(x)(2)当0a1af(x)ag(x)

f(x)g(x);f(x)0logaf(x)loga

g(x)g(x)0f(x)g(x)斜率公式ky2y1（P(x,y)、P(x,y)）.xx

1 1

2 2 22 1直线的五种方程

yk(x

(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．斜截式ykxb(bly

y

x(

y)(P(x,y)P(x,y

(xx

)).yy xx 1 2

1 1

2 2 2 1 2(4)截距式（5）

2 1 2 1xy1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)a bAxByC0(其中A、B不同时为0).两条直线的平行和垂直若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①||l2k2,;②l2k1k21.到l2的倒角公式tan

k2k1.1k2k1(:yx，l2:yk2x,k1k21)两种常用直线系方程平行直线系方程：与直线AxByC0AxBy0(0)，λ是参变量．

平行的直线系方程是AxByC0方程是BxAy0,λ是参变量．

(A≠0，B≠0)垂直的直线系|Ax|Ax0By0C|A2B2d

(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).AxByC0或0所表示的平面区域设直线l:AxByC0，则AxByC0或0所表示的平面区域是：B0BAxByC同号时，表示直线lB与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.B0AAxByC同号时，表示直线lA与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.圆的四种方程圆的标准方程圆的一般方程圆的参数方程圆的直径式方A(x1,y1)、B(x2,y2)).

(xa)2(yb)2r2.x2y2DxEyF0(D2E24F＞0).xarcosybrsin.(x)(xx2yyy20(圆的直径的端点是直线与圆的位置关系直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种:dr0dr相切0dr0AaBbCAaBbC A2B2x2 y2

xacos椭圆 a2

1(ab0)的参数方程是ybsin.yx2 2yx椭圆 b0)焦半径公式a2 b2

e(x

a2c)，

e(ax).2c2椭圆的的内外部

x2 y2

x2 y2（1）点P(x,y)在椭圆 b0)的内部001.0 0 a2 b2x2 y2

a2 b2x2 y2（2）点P(x,y)在椭圆 b0)的外部001.0 0 a2 b2 a2 b22x2a2

y2 b2 0 PF1

e(x

a2c)|，

a2|e(c

x)|.双曲线的内外部

x2 y2

x2 y2(1)点P(x,y)在双曲线 0,b0)的内部001.0 0 a2 b2x2 y2

a2 b2x2 y2(2)点P(x,y)在双曲线 0,b0)的外部001.0 0 a2 b2 a2 b2双曲线的方程与渐近线方程的关系x2 y2 x2 y2 b(1）若双曲线方程为 a2 b2

1渐近线方程： a2 b2

0

y x.ab x y

x2 y2若渐近线方程为y xa

0双曲线可设为 a b a2 b

.2x2a2

yb2

1有公共渐近线，可设为x2a22

yb2

（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.y22px的焦半径公式y22pxp0)CFxp.0 2过焦点弦长CDxpxpxxp.1 2 2 2 1 2直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB

|xx|

|yy|(1k(1k2)(xx)22 11tan21cot2（A(xyB(x

)，由方程ykxb

消去y得到ax2bxc0，1 1 2

F(x,y)00,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.证明直线与直线的平行的思考途径转化为判定共面二直线无交点；转化为二直线同与第三条直线平行；转化为线面平行；转化为线面垂直；转化为面面平行.证明直线与平面的平行的思考途径转化为直线与平面无公共点；转化为线线平行；转化为面面平行.证明平面与平面平行的思考途径转化为判定二平面无公共点；转化为线面平行；转化为线面垂直.证明直线与直线的垂直的思考途径转化为相交垂直；转化为线面垂直；转化为线与另一线的射影垂直；转化为线与形成射影的斜线垂直.证明直线与平面垂直的思考途径转化为该直线与平面内任一直线垂直；转化为该直线与平面内相交二直线垂直；转化为该直线与平面的一条垂线平行；转化为该直线垂直于另一个平行平面；转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.证明平面与平面的垂直的思考途径转化为判断二面角是直二面角；转化为线面垂直.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．、、B三点共线AP||ABAPtABOP1t)OAtOB.ABCDAB AB||CD、、CD不共线、CDABCDAB 共面向量定理pa、b共面的xypaxby．推论:空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对xyMPxMAyMB，或对空间任一定点 O，有序实数对x,y，使 OP OM xMA yMB.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C

OP xOA yOB zOC（xyzk，则当k1时，对于空间任一点OPABC当k1时，若OPABCOPAB、C四点共面

与、

、C、D

AD AB

AD xAByACOD1xy)OAxOByOC（OABC）.空间向量基本定理abcx，y，z，p＝xa＋yb＋zc．推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的OP xOA yOB x，y，z，使OP xOA yOB

.向量的直角坐标运算a＝(a1a2，b＝则(1)a＋b＝a2；(2)a－b＝a2；(3)λa＝(a1,a2,a3

(λ∈R)；(4)a·b＝；A(x1，B(x2y2z2，则

(xx,yy,zz).AB OB

2 1 2 1 2 1空间的线线平行或垂直设a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，则x1x2a||bab(b0)yy；1 2zz1 2abab0

x1x2y1y2z1z20.夹角公式a2a2a2 b2a2a2a2 b2b2b21 2 3 1 2 3cos〈a，b〉= .推论(ababab)2(a2a2a2)(b2b2b2)，此即三维柯西不等式.11 22 33 1 2 3 1 2 3异面直线所成角rrcos|cosa,b|rr x2 x2y2z2 x2y2z21 1 12 2 2=r r|a||b|

|x1x2y1y2z1z2|（其中（0o90o为异面直线ab分别表示异面直线的方向向量）AB与平面所成角ABmarcsin(m为平面的法向量).|AB||m|70..二面角l的平面角mn

mn

arccos或arccos（mn为平面的法向量）.|m||n| |m||n|空间两点间的距离公式ABABA(x1，B(x2y2ABABdA,B

(xx)2(y(xx)2(yy)2(zz)22 12 12 11|a|(|a1|a|(|a||b|)2(ab)2hb=PQ).异面直线间的距离||CDn|

P在直线l上，直线la，向量d l2是两异面直线，其公垂向量为n、D分别是l2上任一|n|点，d为l1,l2间的距离).B到平面的距离|ABn|d （n为平面AB是经过面A）.|n|hhmn2mncosEA,AF2 2 2'd .(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA'的长度为h.在直线a、bE、F，AEmAFnEFd). (ab

2 2 2|a|2|a||b|a,b2|b||c|b,c2|c||a|c,

2ab2bc2caaa

2

面积射影定理S'SS .cos(平面多边形及其射影的面积分别是S、S'，它们所在平面所成锐二面角的为).欧拉定理(欧拉公式)VFE2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：E1nF；2（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E1mV.2R，则其体积V4R3,3其表面积S4R2．

1Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.3.组合数公式mAmmC=n=

n(n1)(nm

n！ n∈N*mN，且mn).Amn m 12Am

(nm！性质：(1)CmCnm;n nCm+Cm1=Cm.n n n1n注:规定C01.nnnnnn(3)C0C1C2CrCn2n.nnnnn81.nkn P(k)CkPk(1P)nkn 离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(i;（2）1.数学期望1122nn数学期望的性质:（1）E(ab)aE()b.（2）若～B(n,pnp.若P(kg(k,pqkp1.p84.方差x2px2px